Gamma di Dirac

Le gamma o matrici di Dirac sono matrici 4×4 utilizzate all'interno dell'equazione di Dirac, un'equazione scritta per portare il linguaggio della relatività einsteiniana nella meccanica quantistica. In effetti le scelte per le matrici da utilizzare sono varie, a patto che tali matrici rispettino alcune regole importanti. Prima di tutto devono seguire una regola di anticommutazione:

$\left \{ \gamma^\mu; \gamma^\nu \right \} = 2g^{\mu \nu} I$

quindi deve accadere che:

$\gamma^0 = \left ( \gamma^0 \right )^{+}, \gamma^i = - \left ( \gamma^i \right )^{+}$

$\gamma^0 \gamma^0 = I, \gamma^i \gamma^i = -I \$

dove I è la matrice identità, ⁺ è il trasposto coniugato ed i un indice che va da 1 a 3. Da ciò, in quattro dimensioni:

$\gamma^\rho \gamma_\rho = 4 I \$.

Si ha in pratica che le matrici di Dirac soddisfano l'Algebra di Clifford.

La rappresentazione di Dirac

Una delle rappresentazioni più diffuse per le matrici di Dirac è la seguente, detta appunto rappresentazione di Dirac, costruita a partire dalla matrice identità e dalle matrici di Pauli $\left ( \sigma^i \right )$ :

$\gamma^i = \begin{pmatrix} 0 & \sigma^i \\ - \sigma^i & 0 \end{pmatrix}$

$\gamma^0 = \begin{pmatrix} I & 0 \\ 0 & -I \end{pmatrix}$

In questa rappresentazione le quattro matrici di Dirac controvarianti sono:

$\gamma^0 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}, \gamma^1 \!=\! \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

$\gamma^2 \!=\! \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & -i \\ 0 & 0 & i & 0 \\ 0 & i & 0 & 0 \\ -i & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \gamma^3 \!=\! \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}.$

Da queste quattro matrici è possibile costruire 16 prodotti differenti, linearmente indipendenti uno dall'altro, e che potranno essere utilizzati per costruire le osservabili fisiche dell'equazione di Dirac:

$\Gamma^S = I; \Gamma^V = \gamma^\mu; \Gamma^T_{\mu \nu} = \sigma_{\mu \nu}; \Gamma^P = i \gamma^0 \gamma^1 \gamma^2 \gamma^3 = \gamma^5; \Gamma^A = \gamma^5 \Gamma^V$

dove

$\sigma_{\mu \nu} = \frac {i}{2} \left [ \gamma_\mu , \gamma_\nu \right ]$

Queste Γ, oltre ad essere una base per lo spazio delle matrici 4×4, rispettano alcune regole:

1. $\left ( \Gamma^n \right )^2 = \pm 1$
2. $\Gamma^n \ne \Gamma^S, \exists \Gamma^m : \Gamma^n \Gamma^m = - \Gamma^m \Gamma^n$
3. $\Gamma^n \ne \Gamma^S, \operatorname {tr} \Gamma^n = 0$
4. $\Gamma^a, \Gamma^b, \exists \Gamma^n \ne \Gamma^S : \Gamma^a \Gamma^b = \Gamma^n$
5. $\mbox{se } \sum_{i=1}^{16} a_i \Gamma^i = 0, \mbox{ allora } a_i = 0 \forall i$

Infine, combinando le γ con gli spinori, è possibile definire una quadricorrente:

$j^\mu (x) = \bar {\psi} (x) \gamma^\mu \psi (x)$

dove

$\bar {\psi} (x) = \psi^{+} (x) \gamma^0$

Bisogna notare che gli indici che distinguono queste matrici non sono dei veri e propri indici tensoriali, perché $\gamma^\mu$ non è un quadrivettore che trasforma sotto una generica trasformazione di Lorentz $\Lambda^\mu _\nu$ secondo:

$\gamma^\mu \rightarrow \left( \gamma^\mu \right)^\prime = {\Lambda ^\mu} _\nu \gamma^\nu$

bensì rimane invariato, per definizione:

$\left( \gamma^\mu \right)^\prime = \gamma^\mu$

Spesso con la "covarianza" delle matrici gamma si intende la seguente relazione:

$S^{-1}\gamma^\mu S= {\Lambda^\mu}_\nu\gamma^\nu$

dove $S=S(\Lambda)$ è la rappresentazione della trasformazione sugli spinori che intervengono nell'equazione di Dirac, ma questa è una proprietà soddisfatta in virtù della forma esplicita delle S. Una conseguenza di questo fatto è che la grandezza $\gamma^{\mu} p_{\mu}$ non è invariante, ma si trasforma come:

$\left( \gamma^\mu p_\mu \right)^\prime =\gamma ^\mu \left( \Lambda ^{-1} \right)^\nu _\mu p_\nu=S \left( \gamma^ \mu p_ \mu \right)S^{-1}$

e con lei lo stesso operatore di Dirac $(i\partial \!\!\!/\ -m)$ e il propagatore del campo fermionico. Si noti che l'invarianza della densità di lagrangiana e delle sezioni d'urto è conservata perché in queste grandezze la parte che trasforma con le S è racchiusa tra una $\bar \psi$ e una $\psi$, in modo da mantenere il tutto invariante. Si noti anche che:

$p \! \! \! \, / \equiv \gamma^\mu p_\mu = \gamma_\mu p^\mu$

$\left( \Lambda^{-1} \right) ^\nu_\mu \gamma^\mu p_\nu = S\left( \gamma^\mu p_\mu \right) S^{-1}= \left( p \! \! \! \, / \right) ^ \prime =\left( \gamma^\mu p_\mu \right) ^ {\prime} \neq \left( \gamma_\mu p^\mu \right) ^{\prime} = \Lambda ^\mu_\nu \gamma_\mu p^\nu$

Equazione di Dirac

Per approfondire, vedi Equazione di Dirac.

L'equazione di Dirac, che descrive in modo relativisticamente invariante il moto delle particelle a spin semi-intero (fermioni), nasce come tentativo di ovviare agli inconvenienti generati dall'equazione di Klein-Gordon. Tale equazione di Klein-Gordon, infatti, non solo aveva soluzioni ad energia positiva ma anche soluzioni ad energia negativa, ma soprattutto presentava una difficoltà nell'interpretazione della funzione d'onda: tale difficoltà nasceva dal fatto che la densità di probabilità poteva anche assumere valori negativi o nulli, ovvero non era definita positiva.

Le matrici di Pauli

Per approfondire, vedi Matrici di Pauli.

Le matrici di Pauli sono un insieme di matrici 2×2 complesse hermitiane unitarie. Usualmente indicate dalla lettera greca σ (sigma), esse possono anche essere indicate con τ (tau) quando utilizzate in connessione con la simmetria di isospin. Devono il loro nome al fisico Pauli e sono così definite:

$\sigma_1 \equiv \sigma_x \equiv \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

$\sigma_2 \equiv \sigma_y \equiv \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}$

$\sigma_3 \equiv \sigma_z \equiv \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$

Bibliografia

• Feynman, R.P., QED: La strana teoria della luce e della materia, Adelphi, ISBN 88-459-0719-8
• Claude Cohen-Tannoudji, Jacques Dupont-Roc, Gilbert Grynberg, Photons and Atoms: Introduction to Quantum Electrodynamics (John Wiley & Sons 1997) ISBN 0-471-18433-0
• Jauch, J. M., F. Rohrlich, F., The Theory of Photons and Electrons (Springer-Verlag, 1980)
• Feynman, R. P. Quantum Electrodynamics (Perseus Publishing, 1998) [ISBN 0-201-36075-6]

Voci correlate

• Algebra di Clifford
• Bosone (fisica)
• Bosoni vettore
• Bosoni vettori assiali
• Diagramma di Feynman
• Equazione di Dirac
• Fotoni
• Lista delle particelle
• Modello Standard
• Notazione slash di Feynman
• Propagatore
• Scattering

Altri progetti

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• Wikiquote contiene citazioni di o su Gamma di Dirac

Collegamenti esterni

• Marcello Ciafaloni Complementi di Fisica Teorica: Introduzione alla teoria dei campi (Università di Firenze)
• Roberto Casalbuoni Elettrodinamica Quantistica (Università di Firenze)
• Roberto Casalbuoni Teoria dei campi: Storia e Introduzione (Università di Firenze, 2001)

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