Sezione d'urto

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In fisica nucleare, la sezione d'urto di un processo di scattering o di assorbimento è una grandezza che permette di esprimere la probabilità dell'interazione tra particelle.
La sezione d'urto, indicata con $σ$ , è l'area misurata attorno ad una particella bersaglio all'interno della quale la presenza di una seconda particella genera fenomeni di interazione tra i due corpi.

La maggior parte degli esperimenti in fisica nucleare avvengono per bombardamento di un bersaglio fisso (o targhetta, anglismo dall'inglese target) tramite un fascio di particelle proiettili. I dati sulla diffusione dei proiettili permettono di risalire alla forma del bersaglio, del proiettile e al tipo di interazione presente tra le particelle. Una misura di queste forme avviene grazie allo studio della sezione d'urto, che esprime la probabilità che il processo di scattering si riscontri ad una fissata energia del fascio di particelle incidente.

[modifica] Definizione

Si consideri un fascio di $N 0$ particelle, il cui flusso è dato da:

$\Phi = \frac {N_0}{\Delta S \Delta t} = \frac {N_0 \Delta x}{\Delta S \Delta t \Delta x} = \frac {N_0 v}{V} = n_i v$

dove $Δ S$ è l'unità di superficie, $Δ t$ l'unità di tempo, V il volume, v la velocità e $n i$ la densità volumica di particelle.

Si consideri poi un bersaglio di spessore $Δ x$ e composto da $N b$ particelle, delle quali

$\frac {N_b}{\Delta S \Delta t} = \frac {N_b \Delta x}{V} = n_b \Delta x$

sono quelle investite dal fascio per unità di superficie, dove $n b$ è la densità volumica di particelle del bersaglio.

La sezione d'urto è la quantità $σ$ definita dalla relazione

$n_b \sigma \Delta x = - \frac {\Delta \Phi}{\Phi}$

dove $ΔΦ$ è la varizione del flusso dopo essersi scontrato con il bersaglio, anche chiamata "attenuazione".

L'unità di misura della sezione d'urto è il barn, mentre nelle unità naturali (ovvero con c = $\hbar$ = 1) si misura in $[e V - 2].$

La legge che descrive la variazione del flusso è

$\Phi (x) = \Phi_0 e^{-n_b \sigma x}$

ed è inoltre possibile definire il coefficiente di assorbimento

$\mu = \sigma_{r} \cdot n_{b}$

e la lunghezza di attenuazione

$\lambda = \frac {1}{\mu}$

Se si considerano le interazioni tra le particelle del fascio con il bersaglio, si ha la relazione:

$\frac {\operatorname{d} n}{\operatorname{d} t} = I_0 n_T \frac {\sigma}{S}$

dove dn/dt è il numero di interazioni al secondo, $I 0$ il numero di particelle incidenti per secondo, $n T$ il numero di particelle del bersaglio e S la sezione del fascio.

Tale relazione si può scrivere introducendo la densità $ρ T$ del bersaglio:

$\frac {\operatorname{d} n}{\operatorname{d} t} = I_0 \rho_T \sigma \operatorname{d} z$

si ottiene che il numero di interazioni è:

$\operatorname{d} n = \rho_T \sigma \operatorname{d} z I_0 \operatorname{d} t = \rho_T \sigma \operatorname{d} z N_0$

dove $N 0$ è l'integrale nel tempo dell'intensità del fascio, e rappresenta il numero totale di particelle del fascio.

[modifica] Sezione d'urto differenziale

Si supponga che le particelle deviate dal bersaglio vengano rivelate in un angolo solido

$\operatorname{d}\Omega = 2 \pi \sin \theta \operatorname{d}\phi$

Le particelle diffuse nell'unità di tempo nell'angolo solido sono

$\operatorname{d}\dot{N_f} = \dot{N_f}\operatorname{d}\Omega = \Phi N_b \operatorname{d}\sigma$

dove l'indice f indica lo stato finale. La sezione d'urto differenziale è data da

$\frac {\operatorname{d}\sigma}{\operatorname{d}\Omega} = \frac {\dot{N_f}}{\Phi N_b}$

Che è il rapporto tra il numero di particelle diffuse nell'unità di tempo e la luminosità

$\operatorname{L} = \Phi N_b$

Lo stato finale è caratterizzato da diverse variabili; se per esempio si conosce l'impulso delle particelle del fascio incidente nello stato finale, la sezione d'urto sarà data dall'integrale sull'intervallo delle variabili nello sato finale, cioè

$\sigma = \int_f \frac {\operatorname {d}\sigma}{\operatorname {d}p}\operatorname {d}p'$

Nel paragrafo precedente si è visto che

$\operatorname {d}n (\theta) = N_0 \rho_T \operatorname {d}z \operatorname {d} \sigma$

Tale relazione si può scrivere:

$\operatorname {d}n (\theta) \operatorname {d} \Omega = N_0 \rho_T \operatorname {d}z \operatorname {d} \sigma \operatorname {d} \Omega$

che, considerando un solo nucleo ed introducendo la densità del fascio $n 0$ =N/S, diventa:

$\operatorname {d}n (\theta) = n_0 \frac{\operatorname {d} \sigma \operatorname {d} \Omega}{\operatorname {d} \Omega}$

Dal momento che le particelle deflesse ad un angolo $θ$ entro l'angolo solido $d Ω$ sono quelle che attraversano l’anello

$\operatorname {d}S = 2 \pi b \operatorname {d}b$

si ha che:

$\operatorname {d}n (\theta) = n_0 \operatorname {d}S = n_0 \frac{\operatorname {d} \sigma \operatorname {d} \Omega}{\operatorname {d} \Omega}$

utilizzando l'espressione esplicita dell'angolo solido si ottiene l'espressione per la sezione d'urto differenziale:

$\frac{\operatorname {d} \sigma}{\operatorname {d} \Omega} = - \frac{b \operatorname {d} b}{sin \theta \operatorname {d} \theta}$

[modifica] Probabilità di transizione

Un propagatore è una funzione matematica che consente di seguire l'evoluzione temporale di una particella che si muove all'interno di un campo. Per poter studiare processi di interazione tra particelle si fa, così, ricorso ad un particolare operatore, detto propagatore di Feynman, che consente di descrivere la così detta ampiezza di transizione:

$w_{fi} = \frac {\left | S_{fi} \right |^2}{TV}$

dove S_fi è la matrice di Feynman (anche detta matrice S).

Con questa rapidità di transizione - che altro non è se non il rapporto tra la probabilità di transizione, ovvero il rapporto tra eventi favorevoli ed eventi possibili, e il tempo tipico della stessa, ovvero quanto tempo questa persiste - si può dare una nuova definizione di sezione d'urto:

$\operatorname {d} \sigma = \frac {w_{fi}}{\left \| \vec J_{inc} \right \|} \operatorname {d} n_f$

dove J_inc è il flusso incidente e dn_f il numero di stati finali nel cono dΩ.

[modifica] Flusso incidente

Il flusso incidente altro non è se non la densità delle particelle che si scontrano. Si possono definire due flussi differenti, a seconda del sistema di riferimento in cui si calcola tale flusso.

Nel sistema del laboratorio, ovvero il sistema in cui il bersaglio è fermo e i proiettili in moto, il flusso risulta:

$\left \| \vec J_{inc} \right \| = j_p \rho_t$

dove j_p è la densità di flusso delle particelle proiettile e ρ_t la densità delle particelle bersaglio.

Vediamo un esempio: supponiamo che due particelle si scontrino una contro l'altra. Definita con v_r la velocità relativa tra le particelle e con V il volume a disposizione delle stesse, la prima densità sarà pari al rapporto tra il modulo della velocità e il volume stesso, il cui inverso è anche pari alla densità del bersaglio. Di conseguenza:

$\left \| \vec J_{inc} \right \| = \frac {\left \| \vec v_r \right \|}{V^2}$

Questa espressione diventa anche il flusso incidente nel sistema del centro di massa o baricentro, ovvero il sistema in cui sia i proiettili sia il bersaglio sono in movimento, quando al posto della velocità relativa si inserisce la velocità calcolata in questo secondo sistema:

$\left \| \vec v_{r(CM)} \right \| = \left ( \frac {\left \| \vec P_a \right \|}{E_a} + \frac {\left \| \vec P_b \right \|}{E_b} \right )$

dove con P viene indicato l'impulso, e con E l'energia, mentre i pedici a e b consentono di distinguere tra i due fasci, che generalmente sono composti da particelle differenti.

[modifica] Bibliografia

J.D.Bjorken, S.D.Drell, Relativistic Quantum Mechanics, 1964
P.Roman, Introduction to Quantum Theory, 1969
W.Greiner, J.Reinhardt, Quantum Electrodinamics, 1994

Sezione d'urto

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Indice

[modifica] Definizione

[modifica] Sezione d'urto differenziale

[modifica] Probabilità di transizione

[modifica] Flusso incidente

[modifica] Bibliografia

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