Relatività ristretta

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La teoria della relatività speciale (RS) o ristretta è una teoria fisica pubblicata nel 1905 da Albert Einstein, allo scopo di rendere compatibili tra loro la meccanica e l'elettromagnetismo per trasformazioni del sistema di riferimento. L'aggettivo speciale si riferisce al fatto che vengono considerate trasformazioni solo tra sistemi di riferimento inerziali, escludendo quindi i sistemi accelerati, come, per esempio, quelli sotto l'azione della forza gravitazionale.
Dieci anni più tardi, Einstein pubblicò la teoria della relatività generale, in cui estese il concetto di invarianza anche ai sistemi sottoposti alla forza della gravità.

[modifica] Spazio e tempo assoluti

La fisica classica pre-relativistica postulava l'esistenza di spazio e tempo assoluti, in particolare sia la teoria della relatività galileiana di Galilei, sia la più completa teoria di Newton prevedevano l'esistenza di un sistema di riferimento inerziale al quale potevano essere ricondotti tutti gli altri attraverso le trasformazioni di Galileo. Tale sistema era solitamente identificato con le stelle fisse^[1].

Ciò vuol dire che in un esperimento le lunghezze misurate (per esempio di un regolo) o gli intervalli di tempo (tra due eventi, come per esempio l'accensione di due lampadine) sono gli stessi. Allo stesso modo, in meccanica classica, due eventi simultanei in un sistema di riferimento lo sono in ogni sistema di riferimento inerziale.

La teoria dell'elettromagnetismo elaborata da James Clerk Maxwell, riassunta nelle equazioni che portano il suo nome, si scontrava tuttavia con la teoria precedentemente nota, infatti, la teoria prevedeva che le soluzioni delle equazioni di Maxwell, ossia il campo elettrico e magnetico, si propagassero nello spazio ad una velocità finita e costante:

$c = \frac{1}{\sqrt{\epsilon_0 \mu_0}}$

dove $ε 0$ è la costante dielettrica del vuoto e $μ 0$ è la permeabilità magnetica del vuoto, $c$ è la velocità della luce.

Questo era in contrasto con la relatività galileiana, infatti secondo questa teoria era contradittorio che un osservatore fermo rispetto alla sorgente dell'onda misurasse la stessa velocità di propagazione rispetto ad un esservatore in moto rispetto alla sorgente: secondo la relatività galileiana la velocità misurata da un osservatore in moto doveva rispettare la legge di trasformazione delle velocità di Galileo.

Questa contraddizione risulta dal fatto che le equazioni di Maxwell non sono invarianti in forma rispetto al gruppo delle trasformazioni di Galileo, ovvero due osservatori inerziali in moto relativo avrebbero dovuto usare equazioni diverse per descrivere i fenomeni elettromagnetici.

Per risolvere questi problemi si postulò che la propagazione del campo elettromagnetico avvenisse in un sistema di riferimento privilegiato e assoluto^[2], ossia di un mezzo attraverso il quale le onde si propagavano^[3] che venne chiamato etere. Questo mezzo doveva avere delle caratteristiche molto particolari come, per esempio, permeare tutto lo spazio senza offrire nessuna resistenza meccanica al moto dei corpi che si muovevano immersi in esso.

Iniziarono quindi degli esperimenti che tentarono di provare l'esistenza dell'etere, di testarne le proprietà e di misurarne la velocità rispetto alla Terra. Questi esperimenti si rivelarono però in contrasto con le toerie che ammettevano l'esistenza dell'etere.

Nel 1905, in un lavoro dal titolo "sull'elettrodinamica dei corpi in movimento" Albert Einstein espose una teoria che, invece di introdurre un sistema privilegiato, richiedeva la revisione dei concetti di spazio e tempo della fisica classica, introducendo nuovi postulati. Questa teoria è la relatività ristretta. Il primo postulato stabilisce la covarianza delle leggi della fisica in tutti i sistemi di riferimento, mentre il secondo stabilisce che la velocità della luce è costante in tutti i sistemi di riferimento.

Questa teoria risulta essere un'espansione della meccanica classica, che è contenuta nella relatività speciale e può essere ritrovata se le velocità in gioco sono molto inferiori della velocità della luce. La perdita dei concetti di spazio e tempo assoluti porta alla nascita di alcuni fenomeni, verificati sperimentalmente, ed apparentemente paradossali come la contrazione relativistica delle lunghezze, la dilatazione dei tempi o il paradosso dei gemelli. Tutti questi fenomeni sono spiegati dalla relatività ristretta.

Inoltre, nella meccanica classica lo spazio ed il tempo sono trattati come entità sostanzialmente distinte, invece nella relatività lo spazio ed il tempo sono descritti in maniera analoga, per questo si parla di spaziotempo^[4].

[modifica] Esperimenti reali

Un interferometro Michelson
L'esperimento originale utilizzò più specchi di quelli mostrati, la luce veniva riflessa avanti e indietro diverse volte prima di ricombinarsi.

Dovevano quindi esistere esperimenti di EM (elettromagnetismo) in grado di mostrare lo stato di moto del sistema di riferimento rispetto all'etere, assoluto (infatti le equazioni di Maxwell dovevano valere solo nell'etere!). Ma l'esperimento di Michelson-Morley mostrò che entro il limite dell'errore di misura, la velocità del nostro riferimento terrestre era nulla rispetto all'etere, anche ripetendo l'esperimento 6 mesi dopo, con la Terra in moto in direzione opposta rispetto a un sistema solidale col Sole.
La possibilità che l'etere fosse trascinato dalla Terra (e quindi si ottenesse per questo velocità nulla) non resse all'effetto dell'aberrazione delle stelle fisse.
La prospettiva di modificare le equazioni di Maxwell per renderle invarianti non funzionò, perché Hippolyte Fizeau mostrò che queste fornivano risultati in disaccordo con l'esperimento di trascinamento della luce nell'acqua in movimento: la composizione delle velocità non veniva rispettata dalla luce.

Era allora chiaro che la teoria dell'EM era corretta, le misure di EM non potevano mostrare alcuna velocità rispetto all'etere. Allora occorreva trovare delle nuove trasformazioni con le quali sostituire quelle di Galileo e di conseguenza modificare tutta la meccanica classica per renderla invariante rispetto a queste nuove trasformazioni.

La strada era lunga ma concettualmente semplice. Per questo motivo, Einstein non considerò mai la relatività speciale come un punto d'onore: disse invece che chiunque vi sarebbe prima o poi giunto, solo considerando le evidenze sperimentali.
Il titolo originale del lavoro di Einstein avrebbe dovuto essere teoria degli invarianti, proprio a sottolineare la ricerca di equazioni che non cambiavano forma nel passaggio tra sistemi diversi. Fu Max Planck a suggerire la parola relatività, per indicare la trasformazione delle leggi fisiche tra osservatori in moto relativo tra loro.

[modifica] Postulati della relatività speciale

Einstein per la sua definizione partiva da due postulati:

Primo postulato (principio di relatività): tutte le leggi fisiche sono le stesse in tutti i sistemi di riferimento inerziali;
Secondo postulato (invarianza della luce): la velocità della luce nel vuoto ha lo stesso valore in tutti i sistemi di riferimento inerziali, indipendentemente dalla velocità dell'osservatore o dalla velocità della sorgente di luce.

Il primo postulato è un'estensione di quello di Galilei. Il secondo postulato deriva da quanto ricavato dalle equazioni di Maxwell che permettono di trovare che la velocità della luce dipende da due costanti: la costante dielettrica e la permeabilità magnetica del vuoto. Ciò si riconduce al fatto che lo spazio è omogeneo e isotropo. La luce, inoltre, non è un'oscillazione meccanica, infatti, non ha bisogno di un mezzo per propagarsi, potendo anche viaggiare nel vuoto.

[modifica] Punto di partenza e prime conseguenze

Questo significa anche la fine del concetto di etere, non solo come mezzo che trasmette la luce (sostituito dal campo elettromagnetico), ma anche come riferimento assoluto: se ogni osservatore inerziale può dire a ragione di essere fermo rispetto all'etere, cade definitivamente il concetto di spazio assoluto.

Ma anche il concetto di simultaneità perde la sua assolutezza; infatti, se la velocità della luce è finita ed è la stessa per ogni osservatore, due eventi simultanei in un sistema inerziale non lo sono più se osservati da un altro sistema inerziale in moto rispetto a quello.

Se la luce emessa da due lampadine (chiamiamole A e B) equidistanti da un osservatore O, fermo rispetto ad esse, lo raggiungerà allo stesso istante, allora O considererà i due eventi come simultanei.

Un osservatore O' in un diverso stato di moto, ovvero in un sistema di riferimento inerziale in moto rettilineo uniforme rispetto a quello in cui O, A e B sono fermi, in generale percepirà la luce delle due lampadine in istanti diversi. Anche la meccanica classica prevede che la luce abbia una velocità finita, dunque che a seconda della posizione di un osservatore l'informazione luminosa di due eventi distanti simultanei possa giungere prima o dopo.

Nell'ambito della meccanica classica, però, tutto si deve risolvere svolgendo gli opportuni calcoli che tengano nel debito conto la distanza dagli eventi e la velocità della luce: l'osservatore O', sapendo di essere (ad esempio) più vicino ad A che a B, calcolando il tempo che intercorre tra il momento in cui riceve l'impulso luminoso di A e quello di B, e conoscendo le distanze relative e la velocità della luce, dovrebbe concludere che "in realtà" gli eventi erano contemporanei. Per fare un altro esempio, se noi vedessimo un semaforo accendersi a pochi metri da noi e, circa otto minuti dopo, vedessimo il Sole diventare blu, pur avendo percepito in istanti diversi la luce dei due eventi, concluderemmo secondo la meccanica classica (sapendo che la luce del Sole impiega proprio 8 minuti per giungere sulla Terra) che i due eventi sono avvenuti nel medesimo istante.

Ciò non risulta valido nell'ambito della Relatività speciale. Se O' è in moto rispetto a O, A e B (ad una velocità sufficientemente alta da apprezzare gli effetti relativistici), anche tenendo nel debito conto come precisato sopra gli effetti della velocità della luce dovrà concludere (ad esempio) che A precede B. Un altro osservatore $O''$ , con stato di moto opposto, dovrà invece concludere che B precede A.

La situazione è apparentemente paradossale, a causa della concezione "classica" dell'esistenza di un tempo assoluto, uguale per tutti i sistemi di riferimento. Venendo a mancare questo, sostituito dallo spazio-tempo relativistico, la simultaneità di due eventi distanti risulta essere legata allo stato di moto dell'osservatore di tali eventi, e non più assoluta.

Questa situazione si verifica soltanto tra eventi tra i quali intercorre un intervallo di tipo spaziale, tali cioè che è impossibile per un raggio di luce (o per qualcosa di più lento) essere presente ad entrambi gli eventi: nell'esempio delle lampadine, in effetti, se esse sono distanti tra loro d, e la loro accensione risulta contemporanea per un osservatore fermo rispetto ad esse, un raggio di luce non potrà essere presente sia all'accensione di A che a quella di B, avendo velocità finita.

Le coppie di eventi per i quali invece la luce (o qualcosa di più lento) può presenziare ad entrambi, sono dette separate da un intervallo di tipo temporale: questi eventi saranno visti da tutti gli osservatori, qualunque sia il loro stato di moto, nello stesso ordine cronologico (anche se l'intervallo di tempo potrà apparire più breve o più lungo ai diversi osservatori). Per queste coppie di eventi sussiste dunque una definita relazione cronologica di prima/dopo, indipendente dall'osservatore.

[modifica] Le nuove trasformazioni

Le trasformazioni che rendono invarianti le equazioni di Maxwell, sono indicate con l'espressione trasformazioni di Lorentz (TL) e si ottengono in modo concettualmente semplice applicando la costanza della velocità della luce. Rimandando alla voce specifica per i dettagli, è importante comunque osservare che:

le TL non trattano separatamente il tempo e lo spazio, ma che questi vengono invece correlati tra loro;
tali nuovi effetti dipendono da un termine β definito come β² = v² / c² (dove v è la velocità del corpo e c è la velocità della luce). Tale termine diventa trascurabile per velocità non confrontabili con quelle della luce;
- Viene anche definito per comodità il termine $\gamma = \frac {1} {\sqrt {1-\beta ^2} }$ , detto fattore di Lorentz;
al limite di piccole velocità, le TL si riducono alle già note di Galileo, spiegando perché negli esperimenti di meccanica classica non si possano misurare differenze.

$\lim_{v\to 0} \gamma = 1$

$\lim_{v\to c} \gamma = \infty$

Come diretta conseguenza, le TL portano a due importanti modifiche, poiché introducono il concetto di relatività in grandezze normalmente considerate assolute:

Contrazione delle lunghezze
- La lunghezza L di un corpo in movimento non è invariante, ma subisce una contrazione nella direzione del moto, data dalla formula
  
  $L = \gamma ^{-1} L_0 = L_0 \times \sqrt{1 - \beta ^2}$
- La lunghezza massima del corpo L₀ è misurata nel sistema in cui il corpo è in quiete e viene chiamata lunghezza propria.
Dilatazione dei tempi
- L'intervallo di tempo Δt tra due eventi non è invariante, ma subisce una dilatazione se misurato da un orologio in moto rispetto agli eventi. Tale dilatazione è data dalla formula
  
  $\Delta t = \gamma \Delta t_0 = \frac { \Delta t_0} {\sqrt{1 - \beta ^2} }$
- La durata minima dell'intervallo di tempo è misurata da un orologio solidale con gli eventi; tale intervallo Δt₀ viene chiamato tempo proprio.
Si noti come in entrambi i casi le formule si riducano all'uguaglianza per velocità piccole rispetto a c (Velocità della luce). Si noti come questo limite, chiamato limite classico, possa essere concettualmente ottenuto sia per v piccolo che per c→∞; infatti, una velocità infinita della luce, significa poter stabilire una simultaneità assoluta e quindi un ritorno alla visione classica. Il limite classico è una condizione necessaria della teoria, poiché per piccoli valori di β gli effetti relativistici non devono essere misurabili, per rendere conto dell'ottimo accordo sperimentale della visione classica. In questo senso, la teoria einsteiniana è una generalizzazione alle alte velocità della fisica di Newton.

Confrontando le due formule, si nota che "dove lo spazio si contrae, il tempo si dilata; e, viceversa, dove il tempo si contrae, lo spazio si dilata", come affermava Einstein. La relazione diventa più evidente se si risolvono le due equazioni rispetto a $γ$ , da cui si ottiene:

$\frac {\Delta t} {\Delta t_0} = \frac {L_0} {L} \!$

Alle alte velocità (v sempre più prossimo a alla velocità della luce c), la contrazione spaziale tende allo zero, mentre la dilatazione temporale tende all'infinito. Ciò equivale ad affermare che alla velocità della luce il tempo "non passa".

La dilatazione del tempo in particolare impone la velocità della luce come limite massimo raggiungibile (discutendo il denominatore diverso da zero).

Velocità superiori a quelle della luce porterebbero all'ulteriore problema di un radicando negativo, e di un radicale (misura di L e T) numero immaginario: il problema è che per i numeri complessi e immaginari non è possibile creare un ordinamento e non ha senso parlare di misure fisiche. Tuttavia, esiste una definizione matematica di spaziotempo che ammette un termine spaziale o uno temporale immaginario.

[modifica] Osservazioni

Nessun corpo massivo può assumere velocità uguali o superiori a c; le trasformazioni di Lorentz per v ≥ c non sono definite (i valori sotto radice diventano nulli o negativi). Il valore nullo non è accettabile, in quanto compare nel denominatore delle formule: un corpo può essere accelerato in tempo finito solo ad una frazione della velocità della luce minore di 1. I corpi senza massa materiale, come i fotoni stessi, viaggiano sin dalla loro emissione alla velocità della luce. Da ciò si può dedurre che qualsiasi elemento di massa zero, si muoverebbe alla velocità della luce. Eventuali particelle più veloci della luce (dette tachioni) non potrebbero invece rallentare al di sotto della velocità della luce.
La contrazione delle lunghezze non deve essere vista come se il metro variasse la sua dimensione o come se l'orologio segnasse un tempo diverso. Le misure infatti saranno differenti solo se effettuate da un altro osservatore in moto relativo: la lunghezza del proprio metro e la durata del proprio minuto è la stessa per tutti gli osservatori. C'è da specificare, inoltre, che il restringimento della lunghezza secondo la teoria della relatività ristretta avviene soltanto nella direzione di avanzamento, e sia lo scorrere più lento del tempo, sia il restringimento dello spazio, si verificano contemporaneamente.
La teoria ammette questi effetti come conseguenza della peculiarità di c e del moto relativo e quindi come conseguenza del nostro modo di guardare le cose. La lunghezza propria è la più grande fra tutte le lunghezze relative ai punti di vista, ma non per questo è più reale delle altre. Sarebbe come notare che più lontani siamo da un oggetto e più piccolo questo ci sembra: niente ci può dire se l'oggetto si rimpicciolisce veramente o se sia un effetto della distanza. Non ha quindi senso domandarsi se si tratti di un fenomeno reale o apparente. Inoltre la persona che ipoteticamente sperimentasse la contrazione dello spazio, non avrebbe la sensazione di sentirsi ristretta, in quanto il suo sistema di misurazione rimarrebbe lo stesso (Il suo metro sarebbe sempre lungo 1 metro, il centimetro uguale etc..)
Le trasformazioni di Lorentz trattano il tempo alla stregua di una qualunque coordinata spaziale; dato che un evento può essere sempre individuato tramite la sua posizione nello spazio e lungo l'asse temporale, il formalismo relativistico può essere formulato in uno spazio a 4 dimensioni (spazio-tempo) di Minkowsky, nel quale le prime 3 coordinate coincidono con le normali coordinate spaziali e la 4 è rappresentata dal tempo. Un evento è individuato quindi dai 4 numeri (r, ct) = (x, y, z, ct).

[modifica] Paradossi relativistici

Per approfondire, vedi la voce paradosso dei gemelli.

Sono indicati come paradossi relativistici alcuni ipotetici esperimenti che sembrano portare a due soluzioni incompatibili tra loro. Vengono usualmente risolti individuando dove la meccanica relativistica si scosta da quella classica ed applicando la costanza di c e le sue conseguenze, specialmente il concetto di simultaneità. Altri paradossi derivano dall'incompletezza della relatività ristretta ma vengono risolti nella teoria della relatività generale.

[modifica] Cinematica e Dinamica relativistiche

Tutta la meccanica classica venne modificata per renderla invariante per trasformazioni di Lorentz, ottenendo risultati diversi dalla visione classica; è comunque sempre valido il limite classico. Basandosi sul fatto che per velocità piccole la dinamica di Newton fornisce risultati corretti, si può supporre che valgano anche in relatività le stesse grandezze, anche se alcune grandezze devono essere ridefinite per accordarsi con la relatività ristretta. In effetti si trova che le stesse leggi di Newton (principio d'inerzia, secondo principio e conservazione della quantità di moto) valgono ugualmente in meccanica relativistica, a patto di ridefinire alcune delle grandezze coinvolte.

È generalmente utilizzato, allo scopo di alleggerire la formulazione e creare degli invarianti per cambiamento di riferimento (quali erano il tempo e l'accelerazione in meccanica classica), un formalismo tensoriale che definisce le grandezze della cinematica non più grazie ai vettori in R³, ma ai quadrivettori nello Spazio-tempo di Minkowski M quadridimensionale. Data una nuova definizione di tempo proprio, uno scalare realmente indipendente dal sistema di riferimento e legato solo al moto del corpo studiato, si possono derivare, dalla posizione di un corpo nello spazio tempo, la sua quadrivelocità e quadriaccelerazione.

[modifica] Cinematica

Chiamiamo $\vec X=(ct, x, y, z)$ il quadrivettore posizione che identifica la posizione della particella rispetto ad un sistema di riferimento inerziale (sistema del laboratorio), dove c è la velocità della luce, t la coordinata temporale e x, y, e z le coordinate spaziali. Differenziando abbiamo:

$d\vec X=(cdt, dx, dy, dz)$

Definiamo tempo proprio il tempo che misurerebbe un orologio posto su una particella in moto vario nello spaziotempo come se si muovesse di moto rettilineo uniforme. In simboli ( |X| indica la norma di Minkowsky):

$d\tau:=\frac{1}{c}|d\vec X|=\frac{1}{c}\sqrt{c^2dt^2-dx^2-dy^2-dz^2}=dt\sqrt{1-\frac{1}{c^2}(v_x^2+v_y^2+v_z^2)}=\frac{dt}{\gamma }$

Il tempo proprio è una grandezza utile a parametrizzare la traiettoria di un corpo.

Definiamo anche il quadrivettore velocità come $\vec U=\frac{d\vec X}{d\tau}$ (quadrivelocità) e il quadrivettore accelerazione $\vec A=\frac{d\vec U}{d\tau}=\frac{d^2\vec X}{d\tau ^2}$ (quadriaccelerazione). Possiamo quindi esprimere quadrivelocità e quadriaccelerazione in funzione delle ordinarie velocità $\vec v$ e accelerazione $\vec a$ come:

$\begin{cases} U_0=\gamma c\,\\ U_{\alpha}=\gamma v_{\alpha}\,\\ A_0=\frac{\gamma^4}{c}\vec v\cdot \vec a\,\\ A_\alpha=\gamma^2a_\alpha+\frac{\gamma^4}{c^2}(\vec v\cdot \vec a)v_\alpha\,\end{cases}$

Di seguito sono riportati due casi notevoli, ottenuti applicando le trasformazioni di Lorentz.

[modifica] Legge di trasformazione degli angoli

Si ricava che la nozione di parallelismo tra due rette è invariante, mentre non lo è quella di perpendicolarità. L'angolo tra due vettori è invariante solo se si trovano entrambi in un piano perpendicolare alla velocità relativa tra i due osservatori.

[modifica] Legge di composizione delle velocità

Per approfondire, vedi la voce composizione delle velocità in relatività speciale.

Come diretta conseguenza delle trasformazioni di Lorentz, le velocità si compongono non come normali vettori (vedi regola del parallelogramma) ma in un modo diverso, che tiene conto dell'insuperabilità della velocità della luce. Se nel sistema S un corpo ha velocità $\vec u$ , e il sistema S* si muove di velocità $\vec v=(v_x, 0, 0)$ , cioè parallela all'asse x del sistema S, la velocità $\vec {u'}$ del corpo nel sistema S* sarà data dalle seguenti formule:

$\begin{cases} {u'_x}=\frac{u_x-v}{1-\frac{vu_x}{c^2}}\,\\ {u'_y}=\frac{u_y}{\gamma(1-\frac{vu_x}{c^2})}\,\\ {u'_z}=\frac{u_z}{\gamma(1-\frac{vu_x}{c^2})} \end{cases}$

[modifica] Dinamica

Storicamente, il termine "massa" venne usato per la quantità E/c². Questa venne chiamata la "massa relativistica", e m era la "massa a riposo". Questa terminologia viene ora disincentivata in ambito scientifico, poiché non c'è bisogno di due termini per descrivere l'energia di una particella, e perché crea confusione quando si parla di particelle senza massa. In questo articolo, ci si riferisce alla massa a riposo ogni volta che si parla di "massa".

Il quadrivettore $\vec P$ quantità di moto (quadrimpulso) è definito, similmente alla meccanica newtoniana, come:

$\vec P=m\vec U$

dove m è la massa (a riposo) del corpo. La quantità di moto nel sistema di riferimento dell'osservatore diventa quindi:

$\vec P=\gamma m\vec v$

A causa del coefficiente $γ$ la quantità di moto di un corpo tende a infinito quando v tende alla velocità della luce c. Analogamente, introducendo la quadriforza $\vec K$ il secondo principio si esprime come

$\vec K=m\vec a$

oppure, ponendo $\vec F=\frac{\vec K}{\gamma}$ chiamata forza relativa (al sistema galileiano considerato):

$\vec F=\frac{d\vec P}{dt}$

Facciamo l'esempio di una particella sottoposta ad una forza costante come, per esempio, un elettrone sottoposto ad un campo elettrico costante. In teoria, secondo il senso comune, continuando a fornire ad esso energia, questo elettrone dovrebbe aumentare linearmente la sua velocità. Nella realtà però, per quanta energia continuiamo a fornirgli, questi elettroni non riusciranno mai a raggiungere la velocità della luce, come se ci fosse qualcosa che li frena. Continuando a fornire sempre la stessa energia, l'accelerazione risultante sarà sempre minore, così via sempre diminuendo. Ciò è ben spiegato dalla dinamica relativistica: chiamando "massa relativistica" il termine $γ m$ , è come se la massa inerziale dell'elettrone aumentasse con l'aumentare della velocità. A velocità prossime a quelle della luce, la massa relativistica tende all'infinito, rendendo così necessarie grandissime quantità di energia per ogni piccola accelerazione dell'elettrone. L'aumento della massa avviene a spese dell'energia fornita per accelerarlo, e la velocità della luce non può essere raggiunta, poiché occorrerebbe una forza infinita. La relazione tra le misure della massa in due sistemi inerziali diversi è data da: $m''' = γ(m - v p / c 2)$ mentre quella della quantità di moto è: $p^\prime = p + v ((\gamma-1)v p/v^2 - m \gamma)$

[modifica] Energia

Definendo l'energia E come $E=\gamma mc^2\,$ si dimostra facilmente il teorema dell'energia cinetica:

$\frac{dE}{dt}=\vec v\cdot \vec F$ .

Espandendo l'energia E in serie di Taylor per piccoli $\frac {v}{c}$ otteniamo:

$E=\gamma m c^2=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} m c^2=$

$=\left(1+\frac{1}{2} \frac{v^2}{c^2}+\frac{3}{8} \frac{v^4}{c^4}+.....\right) m c^2=$

$=mc^2 +\frac{1}{2} m v^2+\frac{3}{8} m \frac{v^4}{c^2}+....$

L'energia, approssimata al second'ordine, risulta essere formata da una componente costante $mc^2\,$ dipendente solo dalla massa del corpo e dal termine $\frac{1}{2} m v^2$ , uguale all'energia cinetica della meccanica newtoniana. L'energia E è quindi la naturale estensione dell'energia cinetica "classica". Questa formula, la più conosciuta della Fisica, dice in sostanza che l'energia può trasformarsi in massa e viceversa: in sintesi, energia e massa sono la stessa cosa.

Questo principio è quello che si verifica nella fissione nucleare, dove per esempio una massa di 10 grammi di uranio, si trasforma in 900.000 miliardi di joule di energia. Tale principio è usato nelle centrali nucleari per produrre energia, ma anche nelle bombe atomiche.

[modifica] Conferme sperimentali

La teoria della relatività speciale è oggi universalmente accettata. Gli effetti sulle lunghezze e sugli intervalli di tempo sono normalmente osservati sia in natura che nei laboratori dove particelle elementari sono accelerate a velocità vicine a quelle della luce.

Una prima conferma provenne dalla maggiore vita media dei pioni o dei muoni generati dai raggi cosmici nell'alta atmosfera terrestre: questi pioni e muoni vivono solo per circa 2 milionesimi di secondo, poi si trasformano in altre particelle. Muovendosi al 99% della velocità della luce, la distanza che dovrebbero percorrere si può calcolare in 300.000×0.99×2 milionesimi = 0.6 km. Quindi, percorrendo solo 600 metri, dovrebbero decadere prima di arrivare sulla superficie della terra. Nella realtà essi arrivano fino al livello del mare, cosa che viene interpretata come un aumento della loro vita media a causa dell'alta velocità: rispetto ad un osservatore sulla superficie terrestre, la loro vita si allunga (perché il loro tempo scorre più lentamente), e sono quindi in grado di percorrere distanze più grandi di quelle attese.

L'equivalenza tra massa ed energia è confermata dal difetto di massa: due particelle legate tra loro hanno una massa totale minore della somma delle stesse particelle libere; la differenza di massa è dovuta al fatto che le particelle appartengono allo stesso sistema cinetico: nel caso opposto entrambe sommano alla loro massa inerziale quella cinetica.

[modifica] Tachioni

Per approfondire, vedi la voce Tachione.

Venne osservato che le formule della relatività ristretta impediscono ad un corpo di raggiungere la velocità della luce, ma non vietano l'esistenza di particelle che viaggino sempre a velocità superiori a c, senza mai scendervi sotto: i cosiddetti tachioni. Pur essendo un'interpretazione interessante, al momento non c'è alcuna evidenza sperimentale di simili particelle: la teoria prevede peraltro che esse non possano interagire con la materia ordinaria (di cui è necessariamente costituito un eventuale strumento rilevatore) senza generare potenziali paradossi causali.

[modifica] Teorie alternative

Esistono alcune teorie alternative alla relatività ristretta, che comunemente vengono considerate falsificate dagli esperimenti, ma che storicamente sono state in competizione con la relatività anche fino agli anni trenta. Non tutte sono basate sull'etere; a tale presunto mezzo di propagazione della luce rinunciano ad esempio le cosiddette teorie balistiche della luce.

[modifica] Bibliografia

(EN) Edwin F. Taylor, John Archibald Wheeler (1992): Spacetime Physics: Introduction to Special Relativity, 2nd ed., W. H. Freeman & Co., ISBN 0-7167-2326-3
(EN) Anadijiban Das (1996): The Special Theory of Relativity: A Mathematical Approach, Springer, ISBN 0-387-94042-1

[modifica] Collegamenti esterni

Corso di RR di Bruno Touschek
(DE)Relatività ristretta Lavoro originale dal periodico Annalen der Physik, Berna 1905
(EN) Animation demonstrating the theory of relativity
(EN) A Special Relativity Simulator
Appunti di Teoria della relatività ristretta
La Teoria della Relatività Ristretta
Ipertesto didattico sulla Relatività Ristretta

[modifica] Note

^ Questo non deve essere confuso con la relatività del moto, che segue dalla teoria di Galileo, ovvero il fatto che osservatori (sistemi di riferimento) diversi descrivano il moto in maniera diversa. A causa di questo carattere assoluto nella fisica classica gli intervalli di lunghezza e di tempo sono invarianti in ogni sistema di riferimento.
^ L'idea di un sistema di riferimento privilegiato era, comunque, in aperto contrasto con quanto trovato da Galielo e Newton, ossia che tutti i sistemi di riferimento inerziali fossero equivalenti poiché era possibile passare da uno all'altro trametite una trasformazione di coordinate.
^ Un'altra caratteristica della luce e delle onde elettromagnetiche che le distingue dalle altri fenomeni ondulatori (come ad es. la propagazione del suono o la propagazione di un'onda in una corda) è che non necessita di un mezzo per la propagazione, ossia le onde EM si posso trasmettere anche nel vuoto.
^ In pratica ciò corrisponde ad usare modelli matematici diversi nelle due teorie per descrivere lo spazio ed il tempo: in meccanica classica lo spazio è rappresentato da uno spazio euclideo tridimensionale fibrato sul tempo (rappresentato dalla retta reale). Invece nella relatività ristretta si una uno varietà euclidea quadridimensionale.

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[0] Questo non deve essere confuso con la relatività del moto, che segue dalla teoria di Galileo, ovvero il fatto che osservatori (sistemi di riferimento) diversi descrivano il moto in maniera diversa. A causa di questo carattere assoluto nella fisica classica gli intervalli di lunghezza e di tempo sono invarianti in ogni sistema di riferimento.

[1] L'idea di un sistema di riferimento privilegiato era, comunque, in aperto contrasto con quanto trovato da Galielo e Newton, ossia che tutti i sistemi di riferimento inerziali fossero equivalenti poiché era possibile passare da uno all'altro trametite una trasformazione di coordinate.

[2] Un'altra caratteristica della luce e delle onde elettromagnetiche che le distingue dalle altri fenomeni ondulatori (come ad es. la propagazione del suono o la propagazione di un'onda in una corda) è che non necessita di un mezzo per la propagazione, ossia le onde EM si posso trasmettere anche nel vuoto.

[3] In pratica ciò corrisponde ad usare modelli matematici diversi nelle due teorie per descrivere lo spazio ed il tempo: in meccanica classica lo spazio è rappresentato da uno spazio euclideo tridimensionale fibrato sul tempo (rappresentato dalla retta reale). Invece nella relatività ristretta si una uno varietà euclidea quadridimensionale.

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