Tensore

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In matematica, il tensore è una nozione che generalizza tutte le strutture definite usualmente in algebra lineare a partire da uno spazio vettoriale $V$ . Sono particolari tensori i vettori, gli endomorfismi, i funzionali lineari e i prodotti scalari.

I tensori sono ampiamente usati in geometria differenziale per definire su una varietà differenziabile le nozioni geometriche di distanza, angolo e volume. Questo viene fatto tramite la scelta di un tensore metrico, cioè di un prodotto scalare definito sullo spazio tangente di ogni punto. Tramite questa nozione, vengono quindi definiti e studiati gli aspetti inerenti la curvatura della varietà. Altri tensori, quali il tensore di Riemann ed il tensore di Ricci, sono strumenti importanti per questo studio.

I tensori sono ampiamente utilizzati in relatività generale, per descrivere rigorosamente lo spaziotempo come varietà 4-dimensionale curva. I tensori sono utilizzati in molti altri ambiti della fisica, fra cui in particolare l'elettromagnetismo, la meccanica dei fluidi e la meccanica dei solidi. In particolare il tensore degli sforzi e il tensore delle deformazioni sono usati nella scienza delle costruzioni per definire lo stato tensiodeformativo in ogni punto di una determinata struttura.

[modifica] Introduzione

Da un punto di vista fisico, un tensore è un oggetto molto generale, definito intrinsecamente a partire da uno spazio vettoriale $V$ (che può essere ad esempio lo spazio euclideo 3-dimensionale, oppure lo spaziotempo 4-dimensionale), e quindi non dipendente da un particolare sistema di riferimento.

Rispetto ad un fissato sistema di riferimento, un vettore dello spazio è espresso come una sequenza di componenti numeriche (le sue coordinate), cioè una ennupla ordinata. Cambiando sistema di riferimento, lo stesso vettore è espresso con una sequenza diversa, secondo una legge ben precisa. Un tensore, espresso rispetto ad un particolare sistema di riferimento, è una più generale ennupla di numeri che può avere dimensione 1 (una sequenza), 2 o più alta (una matrice). Al mutare del sistema di riferimento le componenti di un tensore, come quelle di un vettore, sono modificate da leggi precise.

Questa nozione fisica di tensore come "oggetto non dipendente dal sistema di riferimento" è utile ad esprimere molte leggi fisiche, che per loro natura non dipendono dai sistemi di riferimento scelti. La nozione matematica di tensore è realizzata in modo più rigoroso tramite l'algebra lineare. Innanzitutto, nel linguaggio dell'algebra lineare un sistema di riferimento è una base e la legge di trasformazione è fornita dalla matrice di cambiamento di base. Inoltre, la definizione di tensore può essere data senza fare nessun riferimento ai sistemi di riferimento (cioè alle basi), usando le nozioni di applicazione multilineare e di spazio vettoriale duale.

[modifica] Definizione

La definizione di tensore che segue è quella più intrinseca, perché non fa uso di basi, ed è la più usata in matematica. Una definizione alternativa, ampiamente usata in fisica, necessita di una base fissata, ed è descritta successivamente, nella sezione dedicata alle coordinate di un tensore.

Sia $V$ uno spazio vettoriale di dimensione $n$ su un campo $K$ . Lo spazio duale $V *$ è lo spazio vettoriale formato da tutti i funzionali lineari

$f:V \to K. \,\!$

Lo spazio $V *$ ha anch'esso dimensione $n$ . Gli elementi di $V$ e $V *$ sono chiamati rispettivamente vettori e covettori.

Un tensore è una applicazione multilineare

$T:\underbrace{V^*\times\ldots\times V^*}_h\times\underbrace{V\times\ldots\times V}_k\to K$

Un tensore $T$ associa quindi a $k$ vettori $v_1,\ldots,v_k$ e $h$ covettori $w_1,\ldots,w_h$ uno scalare

$T(w_1,\ldots,w_h,v_1,\ldots,v_k).\,\!$

La multilinearità garantisce che la funzione sia lineare in ogni componente.

L'ordine o tipo del tensore è la coppia $(h, k)$ .

[modifica] Esempi

Il tensore generalizza molte nozioni definite in algebra lineare a partire da uno spazio vettoriale $V$ .

[modifica] Vettori e covettori

Un covettore è un funzionale lineare, cioè un tensore di tipo (0,1). D'altra parte, un vettore $v$ può essere interpretato come un tensore $T$ di tipo $(1,0)$ : è il tensore che associa ad ogni covettore $w$ uno scalare nel modo seguente:

$T(w) = w(v). \,\!$

[modifica] Forme bilineari

Una forma bilineare è un tensore di tipo (0,2). Fra queste, troviamo ad esempio i prodotti scalari.

[modifica] Endomorfismi

Un tensore $T$ di tipo $(1,1)$ può essere interpretato come un endomorfismo $f$ su $V$

$f:V\to V \,\!$

tramite la relazione

$T(v,w) = w(f(v)).\,\!$

In particolare, l'identità è rappresentata dal tensore

$T(v,w) = w(v). \,\!$

[modifica] Determinante

Il determinante può essere interpretato come una applicazione multilineare sulle $n$ colonne di una matrice: si tratta di un tensore di tipo $(0, n)$ , definito su $V = K n$ .

[modifica] Coordinate

Un vettore è descritto come una colonna di numeri, cioè un array 1-dimensionale. Una trasformazione lineare è descritta tramite una matrice, detta matrice associata: un array bidimensionale. Più in generale, un tensore di tipo $(h, k)$ è descritto da un array di dimensione $h + k$ . Per fare ciò, è però necessario fissare una base: scelte di basi differenti danno array differenti.

[modifica] Coordinate rispetto ad una base

Il simbolo di Levi-Civita può descrivere (rispetto alla base canonica), un tensore con

h + k = 3

indici sullo spazio euclideo $\R^3$ di dimensione

n = 3

: ha quindi

33 = 27

coordinate.

Sia $B = (v_1,\ldots,v_n)$ una base per $V$ . Questa induce la base duale

$B^* = (v_1^*,\ldots, v_n^*)\,\!$

per $V *$ , definita da

$v_i^*(v_j) = \begin{cases} 1\ {\rm se}\ i=j, \\ 0\ {\rm se}\ i\neq j. \end{cases}$

Un tensore $T$ di tipo $(h, k)$ è determinato dai valori

$T_{i_1,\ldots,i_k}^{j_1,\ldots,j_h} = T(v_{i_1},\ldots,v_{i_k},v^*_{j_1},\ldots,v^*_{j_h})$

che assume sugli elementi della base. Ciascuno dei $h + k$ indici in

$T_{i_1,\ldots,i_k}^{j_1,\ldots,j_h}$

può variare tra $1$ e $n$ . In totale sono quindi $n h + k$ valori. Questi formano le coordinate del tensore rispetto alla base $B$ .

[modifica] Cambiamento di base

Rispetto ad un'altra base $C = (w_1,\ldots,w_n)$ , il tensore è descritto da coordinate differenti

$\hat T_{i_1,\ldots,i_k}^{j_1,\ldots,j_h}.$

Le due basi $B$ e $C$ sono collegate da una matrice di cambiamento di base $A$ , definita dalle relazioni

$w_j = \sum_{i=1}^n A^i_j v_i$

valide per ogni $j$ . L'indice in alto descrive la riga e quello in basso la colonna della matrice. Le coordinate del tensore rispetto alle due basi sono quindi collegate tramite la relazione

$\hat{T}^{i_1\ldots i_k}_{\,j_1\ldots j_h} = \sum_{l_1,\ldots,l_k,m_1,\ldots,m_h=1}^n A^{i_1}_{l_1}\cdots A^{i_k}_{l_k} C^{m_1}_{j_1}\cdots C^{m_h}_{j_h} T^{l_1\ldots l_k}_{m_1\ldots m_h}$

dove $C$ è la matrice inversa di $A$ . La somma è effettuata su tutti gli indici $l_1,\ldots,l_k,m_1,\ldots,m_h$ , ciascuno di questi da $1$ a $n$ : è quindi una somma di $n h + k$ termini.

[modifica] Definizione alternativa di tensore e covarianza

Un tensore è spesso definito direttamente come una quantità $T_{i_1,\ldots,i_k}^{j_1,\ldots,j_h}$ , che muta in presenza di un cambiamento di base esattamente come nella formula appena descritta. Questa definizione, spesso usata in fisica, è equivalente a quella data qui, usata in matematica.

La proprietà di "mutare secondo una certa legge" al cambiamento di base è in alcuni casi detta covarianza o controvarianza: un tensore

$T_{i_1,\ldots,i_k},$

avente solo indici in basso, è detto covariante, perché nella relazione che descrive la mutazione è presente soltanto la matrice $C$ . Un tensore avente indici soltanto in alto è controvariante. Un tensore avente indici sia in alto che in basso è detto misto.

[modifica] Operazioni con i tensori

Per approfondire, vedi la voce Calcolo tensoriale.

I tensori possono essere manipolati in vari modi.

[modifica] Somma e prodotto per scalare

Due tensori dello stesso tipo $(h, k)$ possono essere sommati e moltiplicati per uno scalare: con queste operazioni, i tensori di tipo $(h, k)$ formano uno spazio vettoriale.

[modifica] Contrazione e traccia

La contrazione è una operazione che trasforma un tensore di tipo $(h, k)$ in un tensore di tipo $(h - 1, k - 1)$ . In coordinate, si scelgono due indici (uno superiore e uno inferiore), e si fa una somma al variare di questi indici.

Se il tensore è di tipo $(1,1)$ , tale operazione è detta traccia, ed in coordinate equivale effettivamente alla traccia di una matrice.

[modifica] Permutazione degli indici

Permutando gli indici inferiori o superiori di un tensore, si ottiene un altro tensore dello stesso ordine del precedente.

Se il tensore è di tipo $(2,0)$ , in coordinate la permutazione equivale alla trasposta di una matrice.

[modifica] Prodotto tensoriale

Due tensori di tipo $(h, k)$ e $(h', k')$ possono essere moltiplicati, dando luogo ad un tensore di tipo $(h + h', k + k')$ .

Il prodotto misto di due tensori consiste nell'effettuare un prodotto tensoriale e quindi una contrazione. Ad esempio, un tensore di tipo $(1,1)$ ed un vettore di tipo $(1,0)$ danno luogo prima ad un altro vettore di tipo $(1,0)$ : questa operazione in coordinate corrisponde al prodotto di una matrice per un vettore.

[modifica] Tipologie

La nozione di tensore è molto generale. Oltre al loro ordine, i tensori possono essere distinti da altre proprietà importanti.

[modifica] Tensore simmetrico

Un tensore è simmetrico se non cambia dopo qualsiasi permutazione degli indici in alto o in basso. Un tensore di ordine $(0,2)$ oppure $(2,0)$ è simmetrico se e solo se le sue coordinate formano una matrice simmetrica. Questa proprietà delle matrici non dipende in effetti dalla base scelta (è cioè preservata dalla congruenza fra matrici).

[modifica] Tensore antisimmetrico

Un tensore è antisimmetrico o emisimmetrico se, dopo una qualsiasi permutazione degli indici, cambia soltanto per un segno, pari al segno della permutazione. Un tensore di ordine $(0,2)$ oppure $(2,0)$ è antisimmetrico se e solo se le sue coordinate formano una matrice antisimmetrica.

In un tensore antisimmetrico, le coordinate in cui un indice si ripete almeno due volte sono tutti nulli. Nel caso delle matrici, questo equivale al fatto che i valori sulla diagonale principale sono tutti nulli. Ad esempio, in un tensore $T a b c$ ogni valore $T i i j$ è nullo.

Da questo fatto segue che un tensore di tipo $(h, k)$ con $k > n$ oppure $h > n$ è necessariamente nullo, perché non può avere $k$ (oppure $h$ ) valori differenti nell'insieme $\{1,\ldots,n\}$ . Inoltre, esiste (a meno di moltiplicazione per scalare) un solo tensore antisimmetrico di ordine $(n, n)$ : il determinante.

I tensori antisimmetrici sono utili a costruire le forme differenziali.

[modifica] Campo tensoriale

Similmente al campo vettoriale, un campo tensoriale è ottenuto associando ad ogni punto di una varietà differenziabile (ad esempio, un aperto dello spazio euclideo $\R^n$ ) un tensore definito sullo spazio tangente nel punto. Si richiede inoltre che questo tensore vari con continuità (anzi, in modo differenziabile) al variare del punto nella varietà. Questa condizione può essere espressa chiedendo che le coordinate del tensore espresse in una carta (cioè in un sistema di riferimento locale) varino con continuità (o in modo differenziabile) al variare del punto (questa condizione non dipende dalla carta scelta).

Per la sua importanza in geometria, un campo tensoriale è spesso chiamato più semplicemente tensore.

[modifica] Tensore metrico

Per approfondire, vedi la voce Tensore metrico.

I campi tensoriali sono uno strumento fondamentale in geometria differenziale: sono ampiamente usati per definire su una varietà differenziabile le nozioni di distanza fra punti, angolo, lunghezza di una curva, geodetica, curvatura, volume, etc. Lo strumento che permette di definire questi concetti è il tensore metrico: si tratta di un tensore di tipo $(0,2)$ che misura il prodotto scalare di due vettori dello spazio tangente in un punto.

A partire dal tensore metrico si definiscono altri tensori, spesso più complicati, che catturano la curvatura della varietà. Tra questi, il tensore di Riemann ed il tensore di Ricci. Quest'ultimo è essenziale nella formulazione della relatività generale, poiché è presente nell'equazione di campo di Einstein.

[modifica] Forme differenziali

Per approfondire, vedi la voce Forma differenziale.

Le forme differenziali sono campi tensoriali in cui il tensore associato ad ogni punto è antisimmetrico e di tipo $(0, k)$ . Sono uno strumento utile essenzialmente per un motivo: una forma differenziale di tipo $(0, k)$ può essere integrata su una sottovarietà di dimensione $k$ . Le forme differenziali sono inoltre utili per definire la coomologia di de Rham, uno stumento importante in topologia algebrica, e sono alla base della definizione di struttura simplettica.

[modifica] Bibliografia

(EN) C. T. J. Dodson, Tim Poston (1991): Tensor Geometry. The Geometric Viewpoint and its Use, 2nd ed., Springer, ISBN 3-540-52018-X

In relazione alla geometria differenziale:

(EN) John Lee Introduction to Smooth Manifolds, Springer, 2002. - Copre tutti i risultati fondamentali in modo dettagliato. L'autore si impegna molto per dare anche una visione intuitiva e motivata dell'argomento.
(EN) James Munkres Analysis on Manifolds, Westview Press, 1990. - Semplice da seguire, scritto molto bene (quasi come Topology, dello stesso autore). Tratta solo varietà in ambiente reale. Gli unici prerequisiti sono algebra lineare di base e calcolo in più variabili (non è essenziale ma aiuta).
(EN) Richard Bishop; Samuel Goldberg, Tensor Analysis on Manifolds, Dover, 1980. - Tratta più cose rispetto al Lee (varietà riemanniane e applicazioni fisiche), è scorrevole e chiaro, ma decisamente più sintetico e con meno esrcizi.

Per un punto di vista algebrico:

Serge Lang Algebra, Springer, 2005. - Una classica introduzione all'algebra a livello di laurea specialistica. Si parla di prodotto tensoriale tra spazi vettoriali da una prospettiva algebrica (universale), prerequisito fondamentale per trattare argomenti come l'algebra commutativa e la geometria algebrica.
Saunders Mac Lane; Garrett Birkhoff, Algebra, AMS Chelsea, 1999. - Altro classico, scritto da due matematici che hanno dato contributi importanti in geometria.

[modifica] Voci correlate

[modifica] Collegamenti esterni

Che cos'è un tensore

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