Equazione di campo di Einstein

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L'equazione di campo di Einstein è il risultato finale della teoria della relatività generale, sviluppata da Albert Einstein nel 1915. È stata al centro di una polemica di priorità tra lo stesso Einstein ed il matematico David Hilbert, risolta solo recentemente a favore di Einstein[1].

In breve, le equazioni di campo di Einstein descrivono la curvatura dello spaziotempo, in funzione della densità di materia, dell'energia e della pressione, rappresentate tramite il tensore stress-energia T.

Nella forma con la costante cosmologica, l'equazione di campo è

R_{\mu \nu} - {1 \over 2} g_{\mu \nu} R + \Lambda g_{\mu \nu} = \frac{8 \pi G}{c^4} T_{\mu \nu}

dove:
Rμν: tensore di curvatura di Ricci,
R: curvatura scalare, cioè la traccia di Rμν
gμν: tensore metrico,
Λ: costante cosmologica,
Tμν: tensore stress-energia,
c: velocità della luce,
G: costante di gravitazione universale.

Il tensore gμν descrive la metrica dello spazio-tempo ed è un tensore simmetrico 4x4, che quindi ha 10 componenti indipendenti; date le 4 coordinate utilizzate, le equazioni indipendenti si riducono a 6.

Indice

[modifica] Contrazione o espansione dell'universo

Trascurando per un attimo la costante cosmologica, ed utilizzando unità di misura per cui c sia pari ad uno, se supponiamo che l'universo sia, a grandi scale, isotropo ed omogeneo, l'equazione tensoriale si può ridurre all'equazione differenziale

\left ( \frac {R'}{R} \right ) ^2 + \frac k {R^2}=\frac {8 \pi G} 3 \rho

dove R è il fattore di scala, che se l'universo è chiuso ne rappresenta il raggio, R' la sua velocità di variazione, ρ la densità media dell'universo e k è la curvatura (positiva, negativa o nulla). È facile allora calcolare la densità critica dell'universo, ponendo k=0, per cui risulta

\rho= \frac {3 {R'}^2 } {8 \pi G R^2}

Se la densità è maggiore di questo valore, l'universo si ricontrarrà, se pari o inferiore, si espanderà per sempre. In questo tipo di universo la distanza tra due punti è data dalla metrica di Robertson - Walker. Reintroducendo la costante cosmologica, a tutti gli effetti si comporta come se ci fosse una densità di energia negativa che permea tutto lo spazio, e quindi possiamo riconsiderare la densità critica come somma di due quantità: una derivante dalla materia, visibile ed oscura, più l'energia oscura o quintessenza. Le più recenti osservazioni ci indicano che la densità dell'universo è pari alla densità critica, e che la costante cosmologica lo sta facendo espandere. La costante cosmologica, quindi, deciderà il destino ultimo dell'Universo, e pertanto trovare conferme della sua esistenza e, ancor di più, una sua spiegazione, sono importanti campi d'indagine per la cosmologia. I modelli di universo in cui è presente una costante cosmologica sono generalizzazioni del modello precedente, la cui metrica è detta di Friedmann - Lemaître - Robertson - Walker, o FLRW.

L'assunto che l'universo sia isotropo ed omogeneo, a grandi scale, è noto come principio cosmologico.

[modifica] Altre equazioni di campo

L'equazione di campo indicata da Einstein non è l'unica possibile, ma si distingue per la semplicità dell'accoppiamento tra materia/energia e curvatura.

Tale equazione contiene un termine Λ, chiamato costante cosmologica, introdotto da Einstein per permettere un universo statico. Nella decina di anni successiva, osservazioni di Hubble mostrarono che l'universo in effetti è in espansione ed il termine cosmologico venne omesso (lo stesso Einstein giudicò un errore la sua introduzione). Sembra però che Einstein fosse condannato ad avere ragione anche quando sbagliava: come successe per la teoria dei quanti, che fondò ma ritenne sempre sbagliata, anche la costante cosmologica è stata riabilitata. Nel 1998, l'osservazione dello spostamento verso il rosso di supernovae lontane, ha costretto gli astronomi a impiegare una costante cosmologica per spiegare l'accelerazione dell'espansione dell'Universo.

[modifica] Soluzioni delle equazioni di campo

Le soluzioni particolari dell'equazione di campo hanno dato origine ai vari modelli cosmologici, tra cui ricordiamo:

  • l'universo di de Sitter, che postulava un universo vuoto, in cui le forze gravitazionali fossero trascurabili.
  • il modello di Friedmann, direttamente legato alla densità di materia presente nell'universo ed ancora oggi il modello comunemente accettato.
  • la soluzione di Lemaitre, una prima rozza formulazione della teoria del Big Bang, in cui le galassie sono frammenti eiettati dall'esplosione di un "atomo primordiale" da cui ha avuto origine l'universo.

[modifica] Voci correlate

[modifica] Note

  1. ^ L. Corry, J. Renn, J. Stachel, Belated Decision in the Hilbert-Einstein Priority Dispute, Science n. 278, 14 novembre 1997
Estratto da "http://it.wikipedia.org/wiki/Equazione_di_campo_di_Einstein"
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