Tensore elettromagnetico

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In fisica, in particolare in elettromagnetismo, il tensore elettromagnetico, anche detto tensore del campo elettromagnetico, tensore dello sforzo del campo, tensore di Faraday o bivettore di Maxwell, è un tensore che descrive il campo elettromagnetico.

Il tensore di campo fu usato per la prima volta da Hermann Minkowski, e consente di scrivere le leggi fisiche in maniera molto concisa e generale.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Il tensore elettromagnetico F_{\alpha\beta} è definito come:[1]


F_{ \alpha\beta } \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  \frac{ \partial A_{\beta} }{ \partial x^{\alpha} } - \frac{ \partial A_{\alpha} }{ \partial x^{\beta} } \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ 
\partial_{\alpha} A_{\beta} - \partial_{\beta} A_{\alpha}

dove A_{\alpha} è il potenziale quadrivettoriale:

A^{\alpha} = \left( \frac{\phi}{c} , \mathbf A \right)

in cui \mathbf A è il potenziale magnetico, un potenziale vettore, e  \phi è il potenziale elettrico, un potenziale scalare. La forma del tensore esprime il fatto che il campo elettrico ed il campo magnetico sono definiti a partire dal quadripotenziale nel seguente modo:[2]

\mathbf {E} = -\frac{\partial \mathbf {A}}{\partial t} - \mathbf {\nabla} \phi \qquad \mathbf {B} = \mathbf {\nabla} \times \mathbf {A}

Ad esempio, le componenti x sono:

E_x = -\frac{\partial A_x}{\partial t} - \frac{\partial \phi}{\partial x} \qquad B_x = \frac{\partial A_z}{\partial y} - \frac{\partial A_y}{\partial z}

che si possono riscrivere come:

E_1 = c \left(\partial_0 A_1 - \partial_1 A_0 \right) \qquad B_1 = \partial_2 A_3 - \partial_3 A_2

Il tensore elettromagnetico può quindi essere definito anche come la derivata esterna della forma 1-differenziale A_{\mu}:

F_{ \mu\nu } \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ d A_\mu

Dal momento che il tensore elettromagnetico è una forma 2-differenziale sullo spaziotempo, in un sistema di riferimento inerziale la matrice che lo rappresenta è:[3]

F^{\mu\nu} = \begin{bmatrix}
0 & -E_x/c & -E_y/c & -E_z/c \\
E_x/c & 0 & -B_z & B_y \\
E_y/c & B_z & 0 & -B_x \\
E_z/c & -B_y & B_x & 0
\end{bmatrix}
= \left( {\mathbf {E} \over c},\mathbf {B} \right)

oppure:

F_{\mu\nu} = \begin{bmatrix}
0 & E_x/c & E_y/c & E_z/c \\
-E_x/c & 0 & -B_z & B_y \\
-E_y/c & B_z & 0 & -B_x \\
-E_z/c & -B_y & B_x & 0
\end{bmatrix}
= \left( -{\mathbf {E} \over c},\mathbf {B} \right)

Dalla forma matriciale del tensore di campo si evince che il tensore elettromagnetico è un tensore antisimmetrico:

F_{\alpha\beta} = - F_{\beta\alpha}

la cui traccia è nulla, e possiede sei componenti indipendenti. Il prodotto interno dei tensori del campo è inoltre un invariante di Lorentz:

F_{\alpha\beta} F^{\alpha\beta} = \ 2 \left( B^2 - \frac{E^2}{c^2} \right) = \mathrm{invariante}

mentre il prodotto del tensore F^{\alpha\beta} con il suo tensore duale dà un'invariante pseudoscalare:

 \varepsilon_{\alpha\beta\gamma\delta}F^{\alpha\beta} F^{\gamma\delta} = \frac{2}{c} \left( \mathbf B \cdot \mathbf E \right)  = \mathrm{invariante}

dove \varepsilon_{\alpha\beta\gamma\delta} è il tensore unitario completamente antisimmetrico del quart'ordine o tensore di Levi-Civita. Si noti che:

 \det \left( F \right) = \frac{1}{c^2} \left( \mathbf B \cdot \mathbf E \right) ^{2}

Derivazione[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Principio variazionale di Hamilton e Azione (fisica).

Si consideri una particella con carica elettrica e e massa m posta in una regione in cui è presente un campo elettromagnetico. Sia \mathbf v = \mathbf{\dot{r}} la velocità della particella e e\mathbf{A}(\mathbf{r},t) la quantità di moto, con \mathbf{A} il potenziale vettore. La sua energia potenziale e la sua energia cinetica hanno la forma:

V=e\phi(\mathbf{r},t)-e\mathbf{A}(\mathbf{r},t)\cdot\mathbf{\dot{r}} \qquad T=\frac{m}{2}\mathbf{\dot{r}}\cdot\mathbf{\dot{r}}

dove \phi è il potenziale elettrico. La lagrangiana \mathcal L permette di descriverne il moto, ed è definita come:[4]

\mathcal L=T-V=\frac{m}{2}\mathbf{\dot{r}}\cdot\mathbf{\dot{r}}+e\mathbf{A}\cdot\mathbf{\dot{r}}-e\phi

ovvero:

\mathcal L=\frac{m}{2}(\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2) + e(\dot{x}A_x+\dot{y}A_y+\dot{z}A_z) - e\phi

In notazione relativistica, sfruttando l'intervallo spaziotemporale (scalare) ds=\sqrt{x_i x^i}, dove x^i è la posizione, l'azione \mathcal{S} è definita come l'integrale della lagrangiana nel tempo tra gli istanti iniziale e finale dell'evoluzione del sistema:[5]

\mathcal{S} = \int_{t_1}^{t_2} \mathcal L dt = \int_a^b \left( -mc ds - {e \over c}A_i dx^i \right)

con A_i il quadripotenziale. Il principio di minima azione stabilisce che il moto di un sistema fisico fra due istanti dello spazio delle configurazioni è tale che l'azione sia stazionaria in corrispondenza della traiettoria del moto per piccole perturbazioni dello stesso (\delta \mathcal{S}=0), ovvero:[6]

\delta \mathcal{S} = \delta \int \left( -mc \, ds - {e \over c}A_i dx^i \right) = -\int_a^b \left( mc \, \frac{dx_i d \delta x^i}{ds} + {e \over c}A_i d \delta x^i + {e \over c}  \delta A_i d x^i \right)=0

Se si integra per parti si ottiene:

 \int \left( mc \, du_i \delta x^i + {e \over c} \delta x^i d A_i + {e \over c}  \delta A_i d x^i \right) - \left( mcu_i + {e \over c}A_i \right)\delta x^i | = 0

con u_i = {dx_1 \over ds} la quadrivelocità. Dato che il secondo termine è nullo e che:

\delta A_i = \frac{\partial A_i}{\partial x^k} \delta x^k \qquad d A_i = \frac{\partial A_i}{\partial x^k} d x^k

si ha:

 \int \left( mc \, du_i \delta x^i + {e \over c} \delta x^i \frac{\partial A_i}{\partial x^k} d x^k + {e \over c}  \frac{\partial A_i}{\partial x^k} \delta x^k d x^i \right) = \left[ mc {du_i \over ds} -  {e \over c} \left(\frac{\partial A_k}{\partial x^i} - \frac{\partial A_i}{\partial x^k}\right)u^k \right]\delta x^i ds = 0

dove nel secondo passaggio si è sfruttato il fatto che du_1 = (du_i / ds)ds e dx^i = du_i ds. Ponendo:

F_{ik} \equiv \frac{\partial A_k}{\partial x^i} - \frac{\partial A_i}{\partial x^k}

si ha:

 mc {du_i \over ds} - {e \over c} F_{ik} u_k = 0

che è l'equazione del moto per una particella carica in un campo elettromagnetico.[7]

In elettrodinamica quantistica la lagrangiana estende quella classica, ed in forma relativistica è data da:

\mathcal{L}=\bar\psi(i\hbar c \, \gamma^\alpha D_\alpha - mc^2)\psi -\frac{1}{4 \mu_0}F_{\alpha\beta}F^{\alpha\beta}

incorporando la creazione e l'annichilazione di fotoni (e elettroni).

Equazioni di Maxwell in forma tensoriale[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Equazioni di Maxwell.

L'elettromagnetismo classico e le equazioni di Maxwell possono essere derivati da un principio di azione stazionaria partendo dall'azione:

\mathcal{S} = \int \left( -\begin{matrix} \frac{1}{4 \mu_0} \end{matrix} F_{\mu\nu} F^{\mu\nu} \right) \mathrm{d}^4 x

dove \mathrm{d}^4 x \; è ambientata nello spaziotempo. Questo significa che la densità di lagrangiana è:

\mathcal{L} = -\begin{matrix} \frac{1}{4\mu_0} \end{matrix} F_{\mu\nu} F^{\mu\nu}
 = -\begin{matrix} \frac{1}{4\mu_0} \end{matrix} \left( \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu \right) \left( \partial^\mu A^\nu - \partial^\nu A^\mu \right)
 = -\begin{matrix} \frac{1}{4\mu_0} \end{matrix} \left( \partial_\mu A_\nu \partial^\mu A^\nu - \partial_\nu A_\mu \partial^\mu A^\nu - \partial_\mu A_\nu \partial^\nu A^\mu + \partial_\nu A_\mu \partial^\nu A^\mu \right)

Il primo e il quarto termine sono uguali, perché \mu e \nu sono indici muti. Anche i restanti sono uguali, e quindi la lagrangiana è:

\mathcal{L} = -\begin{matrix} \frac{1}{2\mu_0} \end{matrix} \left( \partial_\mu A_\nu \partial^\mu A^\nu - \partial_\nu A_\mu \partial^\mu A^\nu \right)

Usando l'equazione di Eulero-Lagrange per un campo si ha:

 \partial_\nu \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial ( \partial_\nu A_\mu )} \right) - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial A_\mu} = 0

dove il secondo termine è zero in quanto la lagrangiana non contiene esplicitamente i campi, ma solo le loro derivate. Quindi l'equazione di Eulero-Lagrange assume la forma:

 \partial_\nu \left( \partial^\mu A^\nu - \partial^\nu A^\mu \right) = 0

in cui il termine tra le parentesi è il tensore di campo F^{\mu \nu}, e quindi:

 \partial_\nu F^{\mu \nu} = 0

Questa equazione è un altro modo per scrivere le due equazioni di Maxwell non omogenee in assenza di sorgenti nel vuoto, usando le sostituzioni:

~E^i /c \ \  = -F^{0 i} \qquad \varepsilon^{ijk} B^k = -F^{ij}

dove i and j prendono i valori 1, 2, e 3. In presenza di sorgenti le equazioni di Maxwell non omogenee sono:

\mathbf {\nabla} \cdot \mathbf {E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0} \qquad \mathbf {\nabla} \times \mathbf {B} - \frac{1}{c^2} \frac{ \partial \mathbf {E}}{\partial t} = \mu_0 \mathbf {J}

e si riducono a:[8]

\partial_{\nu} F^{\nu \mu} = \mu_0 J^{\mu}

dove:

J^{\nu} = ( c \, \rho , \mathbf {J} )

è la quadricorrente. Le equazioni omogenee:

\mathbf {\nabla} \cdot \mathbf {B} = 0 \qquad  \frac{ \partial \mathbf {B}}{ \partial t } + \mathbf {\nabla} \times \mathbf {E} = 0

si riducono invece a:


\partial_\gamma F_{ \alpha \beta } + \partial_\alpha F_{ \beta \gamma } + \partial_\beta F_{ \gamma \alpha } = 0

Trasformazioni del campo elettromagnetico[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Trasformazione di Lorentz.

Nel momento in cui si passa dalla descrizione del campo in termini delle coordinare rispetto ad un sistema inerziale K alla medesima descrizione rispetto ad un altro sistema inerziale K', il tensore elettromagnetico si trasforma secondo la legge:

F'^{\alpha\beta}=\frac{\partial x'^\alpha}{\partial x^\gamma}\frac{\partial x'^\beta}{\partial x^\delta}F^{\gamma \delta}

Detta A la matrice di trasformazione della relativa trasformazione di Lorentz, si ha in modo equivalente:

F' = AFA^*

dove l'asterisco denota la matrice trasposta.

Le espressioni spaziali dei campi ottenute per una traslazione di K' rispetto a K lungo l'asse delle ascisse con velocità c\beta sono:

E_1' = E_1 \qquad B_1' = B_1
E_2' = \gamma (E_2 - \beta B_3) \qquad B_2' = \gamma (B_2 - \beta E_3)
E_3' = \gamma (E_3 + \beta B_2) \qquad B_3' = \gamma (B_3 + \beta E_2)

Per una trasformazione di Lorentz generica, si ha:[9]

\mathbf E' = \gamma (\mathbf E + \vec \beta \times \mathbf B) - \frac{ \gamma^2}{ \gamma +1} \vec\beta (\vec\beta \cdot \mathbf E)
\mathbf B' = \gamma (\mathbf B - \vec \beta \times \mathbf E) - \frac{ \gamma^2}{ \gamma +1} \vec\beta (\vec\beta \cdot \mathbf B)

Tali espressioni mostrano come il campo magnetico ed il campo elettrico siano due manifestazioni dello stesso campo, il campo elettromagnetico. A seconda del sistema di riferimento lo stesso campo si osserva in modo diverso, ed è possibile trovare due sistemi tali per cui in uno di essi il campo è puramente magnetico o puramente elettrico, mentre nell'altro si osservano entrambi. Non esistono tuttavia due sistemi in cui il campo elettromagnetico sia contemporaneamente elettrostatico e magnetostatico rispettivamente.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Jackson, Pag. 556
  2. ^ Jackson, Pag. 555
  3. ^ Landau, Lifshits, Pag. 90
  4. ^ Classical Mechanics (2nd Edition), T.W.B. Kibble, European Physics Series, Mc Graw Hill (UK), 1973, ISBN 0-07-084018-0.
  5. ^ Landau, Lifshits, Pag. 69
  6. ^ Landau, Lifshits, Pag. 88
  7. ^ Landau, Lifshits, Pag. 89
  8. ^ Jackson, Pag. 557
  9. ^ Jackson, Pag. 558

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) John D Jackson, Classical Electrodynamics, 3rd Edition, Wiley, 1999, ISBN 0-471-30932-X.
  • Lev D. Landau, Evgenij M. Lifshits, Fisica teorica 2 - Teoria dei campi, Roma, Editori Riuniti Edizioni Mir, 1976, ISBN 88-359-5358-8.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]