Matrice di trasformazione

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In matematica, e più precisamente in algebra lineare, la matrice di trasformazione, anche detta matrice associata ad una trasformazione o matrice rappresentativa dell'operatore rispetto alle sue basi, è la matrice che rappresenta una trasformazione lineare fra spazi vettoriali rispetto ad una base per ciascuno degli spazi.

Fissata una base per il dominio e una per il codominio, ogni trasformazione lineare è descrivibile tramite una matrice M nel modo seguente:

\mathbf y= M \mathbf x\,\!

dove \mathbf x è il vettore colonna delle coordinate di un punto del dominio rispetto alla base del dominio e \mathbf y è il vettore colonna delle coordinate dell'immagine, mentre il prodotto M \mathbf x è il prodotto righe per colonne.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Siano  V e  W due spazi vettoriali su un campo  K di dimensione finita, e  T:V\to W una applicazione lineare. Siano:

 B = (\mathbf v_1, \ldots, \mathbf v_n) \quad C = (\mathbf w_1, \ldots, \mathbf w_m)

due basi rispettivamente per V e  W .

La matrice  M associata a  T nelle basi B e C è la matrice m \times n avente nella  i -esima colonna le coordinate del vettore  T(\mathbf v_i) rispetto alla base C:[1]

 M = \Bigg(M^1 \Bigg| \cdots \Bigg| M^n \Bigg)

dove la colonna  M^i è l'immagine T(\mathbf v_i) dell'i-esimo vettore della base di partenza B scritta attraverso le coordinate rispetto alla base di arrivo C.[2]

Gli elementi m_{i,j} di  M sono quindi tali che:

T(\mathbf v_1) = m_{1,1} \mathbf w_1 + \dots + m_{m,1} \mathbf w_m
T(\mathbf v_2) = m_{1,2} \mathbf w_1 + \dots + m_{m,2} \mathbf w_m
 \dots
T(\mathbf v_n) = m_{1,n} \mathbf w_1 + \dots + m_{m,n} \mathbf w_m

e si ha:

 \Bigg(T( \mathbf v_1) \Bigg| \cdots \Bigg| T( \mathbf v_n) \Bigg) = (\mathbf w_1 | \cdots | \mathbf w_m )\Bigg(M^1 \Bigg| \cdots \Bigg| M^n \Bigg)

In modo equivalente si può scrivere:

[T(\mathbf v)]_C = M[\mathbf v]_B

Dove le parentesi quadre indicano le coordinate rispetto alla base relativa.

La corrispondenza biunivoca definita fra applicazioni lineari e matrici è un isomorfismo fra lo spazio vettoriale delle applicazioni lineari da V in W e lo spazio delle matrici m\times n:[3]

 \operatorname{Hom}(V,W) \to M(m,n)

Tale isomorfismo dipende dalle basi scelte per entrambi gli spazi.

Composizione di applicazioni lineari[modifica | modifica sorgente]

Nella rappresentazione di applicazioni attraverso le matrici la composizione di funzioni si traduce nell'usuale prodotto fra matrici. Si considerino le applicazioni lineari:

 T:V\to W \quad U:W\to Z

Siano M_U e M_T le rispettive matrici rappresentative rispetto a tre basi dei relativi spazi. Si ha:

 M_{U\circ T} = M_U M_T

ovvero la matrice associata alla composizione è il prodotto delle matrici associate a U e a T.[4]

Dette B, C basi rispettivamente di V e Z si ha:

 [({U\circ T})(\mathbf v)]_C = M_U M_T [\mathbf v]_B

Endomorfismi[modifica | modifica sorgente]

Endomorfismo rappresentato da una matrice. Il determinante della matrice è -1: questo implica che l'endomorfismo è invertibile e inverte l'orientazione del piano. L'angolo orientato infatti viene mandato nell'angolo con orientazione opposta.

In presenza di un endomorfismo T:V\to V è naturale scegliere la stessa base B in partenza ed in arrivo. Sia  B = (\mathbf v_1, \ldots, \mathbf v_n) tale base e sia M = (m_{ij}) la matrice associata a T rispetto alla base B. Si ha allora:[3]

T(\mathbf v_j ) = \sum_{i=1}^n m_{ij} \mathbf v_i

In particolare, M è una matrice quadrata n\times n.

Molte proprietà dell'endomorfismo possono essere lette attraverso la matrice rappresentativa:

Altre proprietà più complesse delle applicazioni lineari, come la diagonalizzabilità, possono essere più facilmente studiate attraverso la rappresentazione matriciale.

Matrici simili[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Similitudine fra matrici.

Due matrici quadrate A e B sono simili quando esiste una matrice invertibile M tale che:[5][6]

\ A = M^{-1}BM

In particolare, la matrice identità e la matrice nulla sono simili solo a se stesse.

Le matrici simili rivestono notevole importanza, dal momento che due matrici simili rappresentano lo stesso endomorfismo rispetto a due basi diverse.[7] Se B e C sono due basi dello spazio vettoriale V, dato un endomorfismo T su V si ha:

[T]_B = M^{-1}[T]_C M \

La matrice M è la matrice di cambiamento di base dalla base B alla base C.

Esempi[modifica | modifica sorgente]

  • Nel piano cartesiano, indicando con (x, y) un punto generico, la trasformazione lineare T(x, y) = (x, y) viene rappresentata rispetto ad una qualsiasi base dalla matrice identità di ordine 2. Una tale trasformazione è conosciuta anche come funzione identità.
  • Nel piano cartesiano, sia T la riflessione rispetto alla bisettrice del I e III quadrante. Le matrici associate a T usando rispettivamente la base canonica e la base B = ((1, 1), (1, -1)) sono:

  \begin{pmatrix}
    0 & 1 \\
    1 & 0
  \end{pmatrix} \qquad
  \begin{pmatrix}
    1 & 0 \\
    0 & -1
  \end{pmatrix}
  • Nel piano la rotazione di un angolo θ in senso antiorario intorno all'origine è lineare e definita da x' = x \cos \theta - y \sin \theta e y' =  x \sin \theta + y \cos \theta. In forma matriciale si esprime con:

\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos \theta &  -\sin\theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}
Analogamente per una rotazione in senso orario attorno all'origine la funzione è definita da x' = x \cos \theta + y \sin \theta e y' =  -x \sin \theta + y \cos \theta ed in forma matriciale è:

\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos \theta &  \sin\theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}
  • La funzione T: \R^2[x] \to \R^2[x] dallo spazio dei polinomi di grado al più due in sé, che associa ad un polinomio p la sua derivata T(p) = p' è lineare. La matrice associata rispetto alla base B = (1, x, x^2) è:

  \begin{pmatrix}
    0 & 1 & 0 \\
    0 & 0 & 2 \\
    0 & 0 & 0
  \end{pmatrix}

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ S. Lang, op. cit., Pag. 106
  2. ^ Hoffman, Kunze, op. cit., Pag. 87
  3. ^ a b Hoffman, Kunze, op. cit., Pag. 88
  4. ^ Hoffman, Kunze, op. cit., Pag. 90
  5. ^ S. Lang, op. cit., Pag. 115
  6. ^ Hoffman, Kunze, op. cit., Pag. 94
  7. ^ Hoffman, Kunze, op. cit., Pag. 92

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992. ISBN 88-339-5035-2.
  • (EN) Kenneth Hoffman, Ray Kunze, Linear Algebra, 2ª ed., Englewood Cliffs, New Jersey, Prentice - Hall, inc., 1971. ISBN 01-353-6821-9.
  • F. Odetti, M. Raimondo, Elementi di Algebra Lineare e Geometria Analitica, ECIG, 1992. ISBN 88-7545-717-4.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

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