Matrice identità

In matematica, la matrice identità o matrice identica o matrice unità è una matrice quadrata in cui tutti gli elementi della diagonale principale sono costituiti dal numero 1, mentre i restanti elementi sono costituiti dal numero 0. Viene indicata con $I$ oppure con $I_n$, dove $n$ è il numero di righe della matrice.

$I_1 = \begin{bmatrix} 1 \end{bmatrix} ,\ I_2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} ,\ I_3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} ,\ \cdots ,\ I_n = \begin{bmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{bmatrix}$

Proprietà

• La proprietà fondamentale di I_n è la seguente:

  $AI_n = A$ e $I_nB = B$

  per ogni matrice $A$ e $B$ per cui sono definite queste moltiplicazioni di matrici.
• In particolare, la matrice identità è invertibile, essendo l'inversa di se stessa.
• La i-esima colonna di una matrice identità è l'i-esimo vettore e_i della base canonica dello spazio euclideo Rⁿ.
• La matrice identità è diagonale, ed ha il solo autovalore 1.

Notazioni

Usando la notazione usata talvolta per descrivere in modo conciso le matrici diagonali, si può scrivere:

$I_n = \mathrm{diag}(1,1,...,1)$

Si può anche scrivere con la notazione delta di Kronecker:

$(I_n)_{ij} = \delta_{ij}$

Anello delle matrici

Dalla proprietà fondamentale segue che la matrice identità è l'elemento neutro della moltiplicazione nell'anello di tutte le matrici n × n a valori in un campo fissato K.

Analogamente, è l'elemento neutro nel gruppo generale lineare GL(n, K) formato da tutte le matrici invertibili n × n a valori in K.

Trasformazioni lineari

Sia K un campo. Ogni matrice quadrata $A$ induce una trasformazione lineare dallo spazio vettoriale Kⁿ in sé, definita nel modo seguente:

$x \mapsto Ax$

La matrice identità è così chiamata perché induce la funzione identità.

Più in generale, la matrice identità è la matrice associata alla funzione identità da uno spazio vettoriale in sé, rispetto ad una qualsiasi base.

Voci correlate

• Identità (matematica)
• Funzione identità
• Risoluzione all'identità

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