Trasformazione di Lorentz

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Hendrik Antoon Lorentz in un ritratto di Menso Kamerlingh Onnes
Una visualizzazione della trasformazione di Lorentz. Viene considerata solo una delle coordinate spaziali. Le linee sottili in grassetto che si incrociano con angoli retti indicano le coordinate di tempo e distanza di un osservatore a riposo rispetto a quel riferimento; le linee rette continue oblique indicano la griglia di coordinate di un osservatore in movimento rispetto allo stesso riferimento.

In fisica, in particolare in relatività ristretta, le trasformazioni di Lorentz o trasformazioni di Lorentz-Fitzgerald, che prendono il nome dal fisico e matematico Hendrik Antoon Lorentz, sono delle trasformazioni di coordinate tra due sistemi di riferimento inerziali che permettono di descrivere come varia la misura del tempo e dello spazio quando l'oggetto della misura è in moto uniforme rispetto all'osservatore.

Albert Einstein ricavò a sua volta le trasformazioni di Lorentz nell'articolo Sull'elettrodinamica dei corpi in movimento del 1905, postulando la costanza della velocità della luce in ogni sistema di riferimento inerziale e la validità della relatività galileiana. Il fatto che l'equazione delle onde si conservi sotto trasformazione di Lorentz ha permesso di scrivere le equazioni che governano l'elettromagnetismo, in particolare le equazioni di Maxwell, in una forma invariante nel passaggio tra due sistemi di riferimento in moto relativo tra loro. Questi risultati permisero di rimuovere le contraddizioni esistenti tra elettromagnetismo e meccanica classica, e spiegare i risultati nulli dell'esperimento di Michelson-Morley.

Il gruppo delle trasformazioni di Lorentz, pur comprendendo anche le classiche rotazioni degli assi spaziali, è caratterizzato dalla presenza dei boosts, cioè le trasformazioni fra due sistemi inerziali in moto relativo. Tali trasformazioni consistono essenzialmente in rotazioni, che coinvolgono anche l'orientamento dell'asse temporale.

Storia[modifica | modifica sorgente]

Le trasformazioni di Lorentz furono scoperte e pubblicate per la prima volta da Woldemar Voigt 1887[1] e Joseph Larmor nel 1897. Nel 1905, Henri Poincaré, il famoso matematico francese, battezzò queste trasformazioni in onore del fisico e matematico olandese Hendrik Antoon Lorentz, il quale aveva pubblicato la propria versione finale nel 1904. Fu lo stesso Poincarè che revisionò il formalismo delle trasformazioni per convertirle nella forma coerente e del tutto solida che conosciamo oggi.

Lorentz scoprì nel 1900 che la trasformazione preservava le equazioni di Maxwell. Egli credeva nell'ipotesi dell'etere; fu Albert Einstein, sviluppando la teoria della relatività, che diede un appropriato fondamento alla sua applicazione.

Trasformazioni tra sistemi in configurazione standard[modifica | modifica sorgente]

Una trasformazione di Lorentz è una trasformazione lineare tale per cui, a partire dalle coordinate di un evento nello spaziotempo nel sistema di riferimento cartesiano inerziale S (t, x, y, z), si ricavano le coordinate rispetto ad un analogo sistema di riferimento S'(t', x', y', z') che si muove di moto uniforme rispetto al primo.

L'insieme di tutte le trasformazioni di Lorentz forma un gruppo, il gruppo di Lorentz, anche detto gruppo di Lorentz omogeneo. Si tratta di un sottogruppo del gruppo di Poincarè. Dalle leggi di trasformazione di Lorentz è possibile dimostrare che l'intervallo:

ds^2 = c^2dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2

rimane invariato in seguito ad una trasformazione di Lorentz.[2] Una grandezza che si conserva in tal modo è detta invariante di Lorentz, e l'insieme di trasformazioni che lasciano invariato ds^2 è il gruppo di Lorentz.

Il gruppo di Poincaré, anche detto gruppo di Lorentz non omogeneo, corrisponde all'insieme di trasformazioni che lasciano invariato l'intervallo:

ds^2(x,y) = (x_0 - y_0)^2 - (x_1 - y_1)^2 - (x_2 - y_2)^2 - (x_3 - y_3)^2

Le quantità che si conservano in seguito alle trasformazioni del gruppo di Lorentz sono dette covarianti. Le equazioni che descrivono i fenomeni naturali sono covarianti.[3]

Un osservatore O situato nell'origine di un sistema di riferimento locale F utilizza le coordinate (x, y, z, t) per descrivere un evento nello spaziotempo.

Traslazione in direzione x[modifica | modifica sorgente]

Nella configurazione detta configurazione standard si assume che S' abbia i tre assi spaziali paralleli a quelli di S, che il sistema S' si muova con velocità \mathbf{v} lungo l'asse x di S e che le origini dei due sistemi di riferimento coincidano per t'=t=0. In tale contesto le trasformazioni di Lorentz assumono la forma:[4]


\begin{cases}
t' = \gamma \left(t - \frac{v}{c^{2}}x \right) \\
x' = \gamma \left(x - v t \right) \\
y' = y \\
z' = z
\end{cases}

dove:

\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}

è chiamato fattore di Lorentz, mentre c è la velocità della luce nel vuoto. Introducendo il quadrivettore:

x^\mu = \begin{bmatrix} ct \\ x \\ y \\ z \end{bmatrix}

le quattro equazioni riportate sopra possono essere espresse attraverso una relazione matriciale:


x'^\lambda = \Lambda^\lambda{}_\mu x^\mu

dove \Lambda è la matrice di trasformazione relativa alle trasformazioni in configurazione standard lungo x:


\begin{bmatrix}
c t' \\x' \\y' \\z'
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\gamma&-\frac{v}{c} \gamma&0&0\\
-\frac{v}{c} \gamma&\gamma&0&0\\
0&0&1&0\\
0&0&0&1\\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
c t\\x\\y\\z
\end{bmatrix}

Le trasformazioni \Lambda con \det (\Lambda ^a{}_b) \, = + 1 apparetengono al gruppo proprio di Lorentz, che è formato dai boosts e dalle rotazioni spaziali, mentre quelle con \det (\Lambda ^a{}_b) \, = - 1 sono dette trasformazioni improprie di Lorentz, e non formano un gruppo. Queste ultime includono riflessioni spaziali e/o temporali tali da alterare la parità del sistema dei quattro assi di riferimento. Nel programma di Erlangen, lo spazio di Minkowski può essere visto come la geometria definita dal gruppo di Poincarè che combina le trasformazioni di Lorentz con le traslazioni.

Traslazione in direzione y o z[modifica | modifica sorgente]

Le trasformazioni tra due sistemi che traslano lungo gli assi y o z sono analoghe al caso standard. In direzione y:

\begin{align}
t' &= \gamma \left( t - vy/c^2 \right)  \\ 
x' &= x \\ 
y' &= \gamma \left( y - vt \right)\\
z' &= z
\end{align}

che si può scrivere sinteticamente:


\begin{bmatrix}
c t' \\ x' \\ y' \\ z'
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\gamma&0&-\beta \gamma&0\\
0&1&0&0\\
-\beta \gamma&0&\gamma&0\\
0&0&0&1\\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
c\,t \\ x \\ y \\ z
\end{bmatrix} \qquad \mathbf \beta = \frac{\mathbf v}{c}

dove \mathbf v è in direzione y. In direzione z si ha, analogamente:

\begin{align}
t' &= \gamma \left( t - v z/c^2 \right)  \\ 
x' &= x \\ 
y' &= y \\
z' &= \gamma \left( z - v t \right)\\
\end{align}

che si può scrivere sinteticamente:


\begin{bmatrix}
c t' \\ x' \\ y' \\ z'
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\gamma&0&0&-\beta \gamma\\
0&1&0&0\\
0&0&1&0\\
-\beta \gamma&0&0&\gamma\\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
c\,t \\ x \\ y \\ z
\end{bmatrix}

dove \mathbf v e \mathbf \beta sono in direzione z.

Le trasformazioni di Lorentz sono spesso denotate con \mathbf \Lambda e valgono per ogni generico quadrivettore \mathbf X:[5]

\mathbf{X}' = \boldsymbol{\Lambda}(v)\mathbf{X}

Trasformazioni in direzione generica[modifica | modifica sorgente]

Per una trasformazione in una direzione arbitraria tra due sistemi con assi paralleli ed origini coincidenti nello spaziotempo è conveniente scomporre il vettore spaziale \mathbf{r} in due componenti, rispettivamente perpendicolari e parallele alla velocità \mathbf{v}:

\mathbf{r}=\mathbf{r}_\perp+\mathbf{r}_\|

Si osserva che solo la componente \mathbf{r}_\| nella direzione di \mathbf{v} viene deformata dal fattore \gamma:


\begin{cases}
t' = \gamma \left(t - \frac{\mathbf{v} \cdot \mathbf{r}}{c^{2}} \right) \\
\mathbf{r'} = \mathbf{r}_\perp + \gamma (\mathbf{r}_\| - \mathbf{v} t)
\end{cases}

La seconda espressione può essere riscritta come:

\mathbf{r'} = \mathbf{r} + \left(\frac{\gamma -1}{v^2} (\mathbf{r} \cdot \mathbf{v}) - \gamma t \right) \mathbf{v}

Tale espressione non contempla la rotazione degli assi, e pertanto non identifica la trasformazione di Lorentz più generale.

Forma matriciale[modifica | modifica sorgente]

Tale trasformazione può essere espressa utilizzando una matrice a blocchi:


\begin{bmatrix}
c t' \\
\mathbf{r'}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\gamma & - \gamma \boldsymbol{\beta}^\mathrm{T} \\
-\gamma\boldsymbol{\beta} & \mathbf{I} + (\gamma-1) \boldsymbol{\beta}\boldsymbol{\beta}^\mathrm{T}/\beta^2  \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
c t  \\
\mathbf{r}
\end{bmatrix}

dove \mathbf{I} è la matrice identica, \mathbf \beta = \frac{\mathbf v}{c} è la velocità relativa in unità di c espressa come vettore colonna:

\boldsymbol{\beta} = \frac{\bold{v}}{c} 
\equiv \begin{bmatrix}
\beta_x \\ \beta_y \\ \beta_z
\end{bmatrix} 
= \frac{1}{c}\begin{bmatrix}
v_x \\ v_y \\ v_z
\end{bmatrix}
\equiv \begin{bmatrix}
\beta_1 \\ \beta_2 \\ \beta_3
\end{bmatrix} 
= \frac{1}{c}\begin{bmatrix}
v_1 \\ v_2 \\ v_3
\end{bmatrix}

mentre \mathbf \beta^T = \frac{\mathbf v^T}{c} è la sua trasposta, un vettore riga:

\boldsymbol{\beta}^\mathrm{T} = \frac{\bold{v}^\mathrm{T}}{c} 
\equiv \begin{bmatrix}
\beta_x & \beta_y & \beta_z
\end{bmatrix} 
= \frac{1}{c}\begin{bmatrix}
v_x & v_y & v_z
\end{bmatrix}
\equiv \begin{bmatrix}
\beta_1 & \beta_2 & \beta_3
\end{bmatrix} 
= \frac{1}{c}\begin{bmatrix}
v_1 & v_2 & v_3 \\
\end{bmatrix}

con \beta il modulo di \mathbf{\beta}:

\beta = |\boldsymbol{\beta}| = \sqrt{\beta_x^2 + \beta_y^2 + \beta_z^2}

Esplicitamente:


\begin{bmatrix}
c\,t' \\ x' \\ y' \\ z'
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\gamma&-\gamma\,\beta_x&-\gamma\,\beta_y&-\gamma\,\beta_z\\
-\gamma\,\beta_x&1+(\gamma-1)\dfrac{\beta_x^2}{\beta^2}&(\gamma-1)\dfrac{\beta_x \beta_y}{\beta^2}&(\gamma-1)\dfrac{\beta_x \beta_z}{\beta^2}\\
-\gamma\,\beta_y&(\gamma-1)\dfrac{\beta_y \beta_x}{\beta^2}&1+(\gamma-1)\dfrac{\beta_y^2}{\beta^2}&(\gamma-1)\dfrac{\beta_y \beta_z}{\beta^2}\\
-\gamma\,\beta_z&(\gamma-1)\dfrac{\beta_z \beta_x}{\beta^2}&(\gamma-1)\dfrac{\beta_z \beta_y}{\beta^2}&1+(\gamma-1)\dfrac{\beta_z^2}{\beta^2}\\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
c\,t \\ x \\ y \\ z
\end{bmatrix}

La trasformazione può essere scritta in modo analogo al precedente:

\mathbf{X}' = \boldsymbol{\Lambda}(\mathbf{v})\mathbf{X}

ed ha la seguente struttura matriciale:

\begin{bmatrix}
c\,t' \\ x' \\ y' \\ z'
\end{bmatrix} = 

\begin{bmatrix}
 \Lambda_{00} & \Lambda_{01} & \Lambda_{02} & \Lambda_{03} \\
 \Lambda_{10} & \Lambda_{11} & \Lambda_{12} & \Lambda_{13} \\
 \Lambda_{20} & \Lambda_{21} & \Lambda_{22} & \Lambda_{23} \\
 \Lambda_{30} & \Lambda_{31} & \Lambda_{32} & \Lambda_{33} \\
\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
c\,t \\ x \\ y \\ z
\end{bmatrix}

le cui componenti sono:

 \begin{align} \Lambda_{00} & = \gamma \\
\Lambda_{0i} & = \Lambda_{i0} = - \gamma \beta_{i} \\
\Lambda_{ij} & = \Lambda_{ji} = ( \gamma - 1 )\dfrac{\beta_{i}\beta_{j}}{\beta^{2}} + \delta_{ij}= ( \gamma - 1 )\dfrac{v_i v_j}{v^2} + \delta_{ij} \\
\end{align}

dove \delta_{ij} è la delta di Kronecker.

Relazione tra componenti parallele e perpendicolari[modifica | modifica sorgente]

Per mettere in relazione le componenti parallele e perpendicolari di \mathbf{r} rispetto alla velocità di traslazione dei sistemi di riferimento, si considera la trasformazione per \mathbf{r}:

\mathbf{r}' = \mathbf{r}_\parallel' + \mathbf{r}_\bot' = \gamma \left(\mathbf{r}_\parallel - \mathbf{v}t \right) + \mathbf{r}_\bot

aggiungendo \scriptstyle 0 = \gamma\mathbf{r}_\bot-\gamma\mathbf{r}_\bot per eliminare \scriptstyle \gamma\mathbf{r}_\parallel si ottiene:

\begin{align}
\mathbf{r}' & = (\gamma \mathbf{r}_\parallel {\color{Violet}+\gamma\mathbf{r}_\bot}) - \gamma \mathbf{v}t + \mathbf{r}_\bot {\color{Violet}-\gamma\mathbf{r}_\bot} \\ 
& = \gamma \mathbf{r} - \gamma \mathbf{v} t + (1-\gamma)\mathbf{r}_\bot \\ 
\end{align}

Aggiungendo poi \scriptstyle 0 = (1-\gamma)\mathbf{r}_\parallel -(1-\gamma)\mathbf{r}_\parallel per eliminare \scriptstyle (1-\gamma)\mathbf{r}_\bot:

\begin{align}
\mathbf{r}' & = \gamma \mathbf{r} - \gamma \mathbf{v} t + [(1-\gamma)\mathbf{r}_\bot {\color{Violet}+(1-\gamma)\mathbf{r}_\parallel}] {\color{Violet}-(1-\gamma)\mathbf{r}_\parallel} \\
& = \gamma \mathbf{r} - \gamma \mathbf{v} t + (1-\gamma)\mathbf{r} +(\gamma-1)\mathbf{r}_\parallel \\
\end{align}

e dal momento che \scriptstyle \mathbf{r}_\parallel e \mathbf{r} sono parallele si ha:

\mathbf{r}_\parallel = r_\parallel \dfrac{\mathbf{v}}{v} = \left(\dfrac{\mathbf{r}\cdot\mathbf{v}}{v}\right) \frac{\mathbf{v}}{v}

In tale relazione \mathbf{v} \over v è un vettore unitario adimensionale che ha la stessa direzione di \scriptstyle \mathbf{r}_\parallel , e pertanto:

\begin{align}
\mathbf{r}' & = \mathbf{r} - \gamma \mathbf{v} t + \frac{(\gamma-1)\mathbf{r}\cdot\mathbf{v}}{v^2} \mathbf{v} \\ 
& = \mathbf{r} + \left(\frac{\gamma-1}{v^2}\mathbf{r}\cdot\mathbf{v} - \gamma t \right)\mathbf{v}\\ 
\end{align}

Tale metodo è valido per qualsiasi trasformazione di Lorentz scritta in modo analogo.

Composizione di due boost e rotazioni[modifica | modifica sorgente]

Visione dello spazio tempo lungo la world line di un osservatore che accelera rapidamente muovendosi in una dimensione. La direzione verticale è relativa all'asse temporale, quella orizzontale all'asse spaziale. La linea tratteggiata è la traiettoria (world line) seguita dall'osservatore, mentre i punti sono eventi nello spazio tempo.

La composizione di più boost, ovvero la composizione di due trasformazioni fra due sistemi inerziali in moto relativo uniforme, non produce soltanto un boost, ma anche una rotazione. La trasformazione di Lorentz più generale, pertanto, contiene la possibilità di una rotazione degli assi, detta rotazione di Thomas. Se una successione di boost consente all'origine di una successione di sistemi inerziali di ritornare al punto di partenza, allora l'insieme delle rotazioni di Thomas produce una rotazione complessiva detta precessione di Thomas.[6]

La composizione di due boost B(\mathbf{u}) e B(\mathbf{v}) rispettivamente caratterizzati dalle velocità \mathbf{u} e \mathbf{v}, è data da:[7][8]

B(\mathbf{u})B(\mathbf{v})=B\left ( \mathbf{u}\oplus\mathbf{v} \right )\mathrm{Gyr}\left [ \mathbf{u},\mathbf{v}\right ]=\mathrm{Gyr}\left [\mathbf{u},\mathbf{v} \right ]B \left ( \mathbf{v}\oplus\mathbf{u} \right )

dove \mathbf{u}\oplus\mathbf{v} è la composizione delle velocità e \mathrm{Gyr} la rotazione derivante da tale composizione. Se \mathrm{Gyr} è la matrice 3 × 3 associata alla rotazione delle coordinate spaziali, allora la matrice di rotazione per le quattro coordinate è data da:


\mathrm{Gyr}[\mathbf{u},\mathbf{v}]=
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & \mathrm{gyr}[\mathbf{u},\mathbf{v}]
\end{pmatrix}

La composizione di due trasformazioni di Lorentz generiche L(\mathbf{u},U) e L(\mathbf{u},V) che includa le rotazioni U e V è data da:

L(\mathbf{u},U)L(\mathbf{u},V)=L(\mathbf{u}\oplus U\mathbf{v}, \mathrm{gyr}[\mathbf{u},U\mathbf{v}]UV)

dove \mathrm{gyr} è la precessione di Thomas giroscopica, definita come una operatore della velocità \mathbf w nel seguente modo:

\text{gyr}[\mathbf{u},\mathbf{v}]\mathbf{w}=\ominus(\mathbf{u} \oplus \mathbf{v}) \oplus (\mathbf{u} \oplus (\mathbf{v} \oplus \mathbf{w}))\quad \forall \mathbf w

Rapidità[modifica | modifica sorgente]

Una trasformazione di Lorentz può essere esposta in una forma equivalente definendo il parametro \phi, detto rapidità, tale che:

e^{\phi} = \gamma(1+\beta)  = \gamma \left( 1 + \frac{v}{c} \right) = \sqrt \frac{1 + v/c}{1 - v/c}

Si ha:

e^{-\phi} = \gamma(1-\beta)  = \gamma \left( 1 - \frac{v}{c} \right) = \sqrt \frac{1 - v/c}{1 + v/c}

e in modo equivalente:

\phi =  \ln \left[\gamma(1+\beta)\right] =  -\ln \left[\gamma(1-\beta)\right]

La trasformazione di Lorentz in configurazione standard diventa pertanto la seguente:

\begin{align}
& c t-x = e^{- \phi}(c t' - x') \\
& c t+x = e^{\phi}(c t' + x') \\
& y = y' \\
& z = z'
\end{align}

Espressioni iperboliche[modifica | modifica sorgente]

Dalle espressioni di e^\phi ed e^{-\phi} si ha:

 \gamma = \cosh\phi  =   { e^{\phi} + e^{-\phi} \over 2 }
 \beta \gamma = \sinh\phi  =   { e^{\phi} - e^{-\phi} \over 2 }

e quindi:

 \beta = \tanh\phi   =   { e^{\phi} - e^{-\phi} \over e^{\phi} + e^{-\phi}   }

Sostituendo nella forma matriciale della trasformazione:


\begin{bmatrix}
c t' \\ x' \\ y' \\ z'
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\cosh\phi &-\sinh\phi & 0 & 0 \\
-\sinh\phi  & \cosh\phi & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
c t \\ x \\ y \\ z
\end{bmatrix}

Una trasformazione di Lorentz può essere pertanto vista come una rotazione iperbolica delle coordinate nello spazio di Minkowski, in cui il parametro \phi rappresenta l'angolo iperbolico di rotazione.

Limite galileiano[modifica | modifica sorgente]

Per velocità molto piccole rispetto a quella della luce, le trasformazioni di Lorentz si riconducono a quelle di Galileo:


\begin{cases}
t' = t \\
x' = \left(x - v t \right) \\
y' = y \\
z' = z
\end{cases}

infatti se v \ll c allora  \left( \frac{v}{c} \right) \to 0 .

In questo senso le trasformazioni galileiane rappresentano quindi un caso limite delle trasformazioni di Lorentz. Questo spiega perché effetti relativistici significativi di contrazione/dilatazione dei tempi e degli spazi non possono essere comunemente osservati.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ A. Ernst e J.-P. Hsu, First proposal of the universal speed of light by Voigt 1887 in Chinese Journal of Physics, vol. 39, nº 3, 2001, pp. 211–230.
  2. ^ Jackson, op. cit., Pag. 527
  3. ^ Jackson, op. cit., Pag. 540
  4. ^ Jackson, op. cit., Pag. 525
  5. ^ Gravitation, J.A. Wheeler, C. Misner, K.S. Thorne, W.H. Freeman & Co, 1973, ISBN 0-7167-0344-0
  6. ^ Relativistic velocity space, Wigner rotation and Thomas precession, John A. Rhodes, Mark D. Semon (2005)
  7. ^ Ungar, A. A: The relativistic velocity composition paradox and the Thomas rotation. Found. Phys. 19, 1385–1396 (1989)
  8. ^ The relativistic composite-velocity reciprocity principle, AA Ungar - Foundations of Physics, 2000 - Springer

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]