Innalzamento e abbassamento degli indici

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

In relatività, l'operazione di innalzamento e abbassamento degli indici è un'operazione che può essere eseguita su un tensore. Dato un tensore su una varietà M, sul quale è definita una metrica non singolare è possibile innalzare o abbassare gli indici di un tensore T di tipo (k, l), definito da:

\left\{\begin{array}{l}
\displaystyle T:\underbrace{V^*\times\ldots\times V^*}_k\times\underbrace{V\times\ldots\times V}_l\to K \\\\
\displaystyle T_{a_1 a_2 \dots a_k}^{b_1 b_2 \dots b_l}(\omega^{(1)}, \omega^{(2)}, \dots, \omega^{(k)}, X_{(1)}, X_{(2)}, \dots, X_{(l)}) = k
\end{array}\right.

ovvero un'applicazione multilineare su k elementi dello spazio cotangente e su l elementi dello spazio tangente in un punto P della varietà M in un campo K. Si può indicare il prodotto cartesiano

\displaystyle T:\underbrace{V^*\times\ldots\times V^*}_k\times\underbrace{V\times\ldots\times V}_l : \Pi^l_k

L'operazione di innalzamento degli indici permette di passare da tensori di tipo (k, l) a tensori di tipo (k+1, l-1), mentre l'operazione di abbassamento degli indici permette di passare da tensori di tipo (k, l) a tensori di tipo (k-1, l+1).

L'innalzamento e l'abbassamento degli indici si ottengono moltiplicando il tensore metrico nella sua forma covariante o controvarianti e poi contraendo gli indici ripetuti, ovvero sommando sugli indici ripetuti come previsto dalla convenzione di Einstein.

Più precisamente, questa costruzione sulle componenti del tensore sfrutta la presenza della metrica grazie al cosiddetto Isomorfismo musicale, che permette di identificare in modo naturale spazio tangente e cotangente senza ricorrere ad una scelta della base.

Formalmente, dato un tensore T di tipo (k, l), possiamo costruire un tensore P di tipo (k + 1, l - 1) in questo modo:

P(dw^{1}, dw^{2}, \dots , dw^{k}, du, v_{1}, v_{2}, \dots , v_{l-1}) = T(dw^{1}, dw^{2}, \dots , dw^{k}, du^{\sharp}, v_{1}, v_{2}, \dots, v_{l-1})

Dove du^{\sharp} è l'applicazione dell'operatore \sharp al covettore du. Per vedere come questa costruzione sia equivalente alla moltiplicazione per le componenti del tensore metrico(o del suo inverso), notiamo innanzitutto che il diesis di un covettore base dx^{k} è dato da g^{kj} \partial _{j}, dove  \partial _{j} è un elemento della base dello spazio tangente. Dalla linearità dei tensori, segue immediatamente che  P_{b_1 \dots b_{l-1}}^{a_1 \dots a_{k+1}} = g^{a_{k+1} b_l } T_{b_1 \dots b_{l}}^{a_1 \dots a_{k}}

Per quanto riguarda l'abbassamento di un indice, la procedura è analoga sostituendo allo diesis di un covettore il bemolle di un vettore.

Un esempio è dato dalla definizione del Tensore di Riemann in forma completamente covariante. Ricordiamo che il tensore di Riemann in un punto p di una Varietà Riemanniana è un operatore lineare  R : T_p M \times T_p M \times T_p M \to T_p M . Per dualità, otteniamo un operatore  \bar{R} : T_{p}^{*} M \times T_p M \times T_p M \times T_p M \to \mathbb{R} per il quale vale  \bar{R}_{i j k}^{l} = R_{i j k}^{l} .

In questo caso, dobbiamo abbassare l'indice  l , perciò procediamo definendo un nuovo operatore  \hat{R} : T_p M \times T_p M \times T_p M \times T_p M \to { \mathbb{R} } in questo modo:

 \hat{R} (u, v, w, z) = \bar{R} (u^{ \flat }, v, w, z)

Per calcolare le componenti, notiamo che il bemolle di un vettore base  \partial _{l} è dato da  g_{l n} dx^{n} . Sostituendo nelle componenti:

 \hat{R}_{ l i j k } = \hat{R} ( \partial _{l}, \partial _{i}, \partial _{j}, \partial _{k} ) = \bar{R} ( g_{l n} dx^{n} , \partial _{i}, \partial _{j}, \partial _{k} ) = g_{l n} \bar{R}_{ i j k } ^ {n} = g_{l n} R_{i j k} ^ {n} che è la trasformazione classica del tensore di Riemann in forma completamente covariante.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]