Tensore metrico
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In matematica, e più precisamente in geometria differenziale, il tensore metrico è un campo tensoriale che caratterizza la geometria di una varietà. Tramite il tensore metrico è possibile definire le nozioni di distanza, angolo, lunghezza di una curva, geodetica, curvatura.
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[modifica] Definizioni
[modifica] Prodotto scalare non degenere in ogni punto
Un tensore metrico è un campo tensoriale g definito su una varietà differenziabile, di tipo (2,0), simmetrico e non degenere in ogni punto.
Il tensore definisce quindi in ogni punto un prodotto scalare non degenere fra i vettori dello spazio tangente nel punto.
[modifica] Coordinate
Il tensore è indicato in coordinate come gij. Per ogni punto x della varietà, fissato una carta locale, il tensore in x è rappresentato quindi da una matrice simmetrica gij(x) con determinante diverso da zero. Come tutti i campi tensoriali, la matrice cambia in modo differenziabile al variare di x all'interno della carta.
[modifica] Segnatura
Poiché il determinante non si annulla mai, la segnatura della matrice gij(x) è la stessa per ogni x se la varietà è connessa.
Se la segnatura è di tipo (n,0), cioè se il prodotto scalare è ovunque definito positivo, il tensore induce una metrica sulla varietà, che è quindi chiamata varietà riemanniana. Se il tensore non è definito positivo, la varietà è detta pseudo-riemanniana.
Le varietà riemanniane sono le più studiate in geometria differenziale. Localmente, una varietà riemanniana è simile ad uno spazio euclideo, benché possa essere globalmente molto differente. D'altro canto, lo spaziotempo nella relatività generale è descritto come una particolare varietà pseudoriemanniana, con segnatura (1,3). Una tale varietà è localmente simile allo spaziotempo di Minkowski.
[modifica] Esempi
[modifica] Metrica euclidea
Lo spazio euclideo
è dotato della metrica euclidea, che può essere descritta da un tensore metrico g. Lo spazio tangente di ogni punto è identificato naturalmente con
. Rispetto a questa identificazione, il tensore g è la matrice identità per ogni punto dello spazio.
[modifica] Varietà immersa
Sia X una varietà differenziabile in
. Il tensore metrico euclideo induce un tensore metrico su X: si tratta dello stesso prodotto scalare, ristretto in ogni punto di X al sottospazio dei vettori tangenti a X. Poiché il tensore euclideo è definito positivo, lo è anche il tensore indotto, e quindi ogni varietà immersa in
ha una struttura di varietà riemanniana.
Ad esempio, il tensore indotto sulla sfera, scritto in coordinate sferiche (θ,φ), è dato da
e può essere riassunto nella forma
[modifica] Spaziotempo di Minkowski
Lo spaziotempo di Minkowski è lo spazio
dotato del tensore
che può essere riassunto nella forma
- ds2 = − c2dt2 + dx2 + dy2 + dz2.
[modifica] Indici di un tensore
[modifica] Tensore metrico coniugato
Al tensore metrico gij è associato un analogo tensore di tipo (0,2), denotato con la stessa lettera ma con gli indici in alto gij. Il tensore è definito in coordinate come la matrice inversa di gij (questa definizione non dipende dalla scelta delle coordinate; in alcuni contesti si effettua anche la trasposta). Questo tensore è detto a volte tensore metrico coniugato. La relazione fra i due tensori può essere scritta nel modo seguente:
scritta con la notazione di Einstein, dove il tensore δ è la delta di Kronecker definita da
[modifica] Alzamento e abbassamento di indici
Un tensore metrico, oltre ad introdurre concetti geometrici come lunghezze e angoli, permette di semplificare alcune notazioni e strutture. Tramite il tensore è possibile identificare gli spazi tangente e cotangente di una varietà.
Più in generale, il tensore metrico può essere utilizzato per "abbassare" o "alzare" gli indici a piacimento in un tensore, trasformando ad esempio vettori in covettori e viceversa. Questo viene fatto contraendo opportunamente con i tensori gij e gij. Ad esempio, un vettore Aμ viene trasformato in un covettore
Alternativamente,
![g = \left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & \sin^2 \theta\end{array}\right]](http://upload.wikimedia.org/math/4/e/3/4e3d7e1a20c5d6bfa0e9ca7dac5a1a22.png)







