Delta di Kronecker

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In matematica per delta di Kronecker si intende una funzione di due variabili discrete, in particolare di due variabili sugli interi o sui naturali, che vale 1 se i loro valori coincidono, mentre vale 0 in caso contrario. La distribuzione delta di Dirac può essere considerata la sua estensione al caso continuo.

Con il suo nome si ricorda il matematico tedesco Leopold Kronecker (1823-1891).

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Il delta di Kronecker è abitualmente definito come il tensore \delta_{ij} di componenti:

\delta_{ij} := \left \{\begin{matrix}
1 & \mbox{se } i=j  \\
0 & \mbox{se } i \ne j \end{matrix}\right ..

Applicazioni[modifica | modifica sorgente]

Il simbolo di Kronecker si incontra in numerose formule concernenti sequenze, matrici o altri complessi di numeri espressi mediante indici. Ad esempio la matrice identità di dimensione n si può definire come la matrice:

\bar{\bar 1}=(\delta_{ij})_{i,j=1,...,n},

che sta al posto di:

\bar{\bar 1} = \begin{bmatrix}
1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 1 \end{bmatrix}
.

Esso può anche essere usato per esprimere la relazione di ortonormalità di un sistema di vettori ortonormali \{e_i\}_{i=1,...,n}:

\langle \bar 1_i|\bar 1_j \rangle = \delta_{ij},

dove \langle \cdot | \cdot \rangle indica un prodotto scalare (o hermitiano).

Generalizzazioni[modifica | modifica sorgente]

Può essere utile introdurre generalizzazioni del delta di Kronecker quando si trattano strutture algebriche dotate di zero e unità, ad esempio quando si considera il semianello dei linguaggi nel quale il linguaggio vuoto funge da zero e l'insieme di tutte le stringhe su un dato alfabeto A funge da unità. Per applicazioni come le descrizioni di certi automi può essere conveniente servirsi di una delta di Kronecker sui linguaggi L e M definita come[non chiaro]:

\delta_{LM} := \left\{\begin{matrix}
A^* & \mbox{se } L = M  \\
\emptyset & \mbox{se } L \ne M \end{matrix}\right..

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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