Delta di Kronecker

In matematica per delta di Kronecker si intende una funzione di due variabili discrete, in particolare di due variabili sugli interi o sui naturali, che vale 1 se i loro valori coincidono, mentre vale 0 in caso contrario. La distribuzione delta di Dirac può essere considerata la sua estensione al caso continuo.

Con il suo nome si ricorda il matematico tedesco Leopold Kronecker (1823-1891).

Definizione

Il delta di Kronecker è abitualmente definito come il tensore $\delta_{ij}$ di componenti:

$\delta_{ij} := \left \{\begin{matrix} 1 & \mbox{se } i=j \\ 0 & \mbox{se } i \ne j \end{matrix}\right .$.

Applicazioni

Il simbolo di Kronecker si incontra in numerose formule concernenti sequenze, matrici o altri complessi di numeri espressi mediante indici. Ad esempio la matrice identità di dimensione n si può definire come la matrice:

$I=(\delta_{ij})_{i,j=1,...,n}$,

che sta al posto di:

$I = \begin{bmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{bmatrix}$.

Esso può anche essere usato per esprimere la relazione di ortonormalità di un sistema di vettori ortonormali $\{e_i\}_{i=1,...,n}$:

$\langle e_i|e_j \rangle = \delta_{ij}$,

dove $\langle \cdot | \cdot \rangle$ indica un prodotto scalare (o hermitiano).

Generalizzazioni

Può essere utile introdurre generalizzazioni del delta di Kronecker quando si trattano strutture algebriche dotate di zero e unità, ad esempio quando si considera il semianello dei linguaggi nel quale il linguaggio vuoto funge da zero e l'insieme di tutte le stringhe su un dato alfabeto A funge da unità. Per applicazioni come le descrizioni di certi automi può essere conveniente servirsi di una delta di Kronecker sui linguaggi L e M definita come:

$\delta_{LM} := \left\{\begin{matrix} A^* & \mbox{se } L = M \\ \emptyset & \mbox{se } L \ne M \end{matrix}\right.$.

Voci correlate

• Delta di Dirac
• Parentesi di Iverson

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