Delta di Kronecker

In matematica per delta di Kronecker si intende una funzione di due variabili discrete, in particolare di due variabili sugli interi o sugli interi naturali, che vale 1 se i loro valori coincidono, mentre vale 0 in caso contrario. Solitamente si utilizza il simbolo $\delta_{ij} \,$ e si definisce come segue:

$\delta_{ij} := \left \{\begin{matrix} 1 & \mbox{se } i=j \\ 0 & \mbox{se } i \ne j \end{matrix}\right .$

Con il suo nome si ricorda il matematico tedesco Leopold Kronecker (1823-1891).

Essa si incontra in numerose formule concernenti sequenze, matrici o altri complessi di numeri espressi mediante indici. Ad esempio la matrice identità di aspetto n × n si può definire come:

$[\,\delta_{ij} | i,j=1,2,...,n\,]$

Essa si può considerare come una notazione di uso piuttosto comune. Ad esempio serve per esprimere una relazione di ortonormalità fra vettori costituenti una base ortonormale $\{ e^{(i)} | i=1, ..., n \}$

$\sum_{k=1}^n e_k^{(i)}e_k^{(j)} = \delta_{ij}$

Nel calcolo tensoriale si incontra spesso insieme al simbolo di Levi-Civita: $1- \delta_{ij}$ può considerarsi una sorta di simbolo di Levi-Civita bidimensionale. Una variante della delta di Kronecker nel continuo è data dalla funzione delta di Dirac.

Può essere utile introdurre generalizzazioni della delta numerica quando si trattano strutture algebriche dotate di zero e unità, ad esempio quando si considera il semianello dei linguaggi nel quale il linguaggio vuoto funge da zero e l'insieme di tutte le stringhe su un dato alfabeto A funge da unità. Per applicazioni come le descrizioni di certi automi può essere conveniente servirsi di una delta di Kronecker sui linguaggi L e M definita come:

$\delta_{LM} := \left\{\begin{matrix} A^* & \mbox{se } L = M \\ \emptyset & \mbox{se } L \ne M \end{matrix}\right.$

Voci correlate

• Parentesi di Iverson

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