Contrazione di un tensore

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

In geometria differenziale, la contrazione di un tensore è una operazione che trasforma un tensore di tipo (h,k) in un tensore di tipo (h-1,k-1).

Questa operazione è a volte detta traccia. Se il tensore è di tipo (1,1), questa equivale effettivamente al calcolo della traccia di una matrice associata.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

La contrazione di un tensore misto di tipo (h,k) è definita nel modo seguente: si scrive il tensore iniziale usando gli indici, quindi se ne prendono due, uno superiore e l'altro inferiore, si indicano con la stessa lettera, e si interpreta il tensore risultante secondo la notazione di Einstein. Ad esempio, dato

T^{ab}_{\ \ cd}

poniamo  b=c=i e scriviamo

T^a_{\ d} = T^{ai}_{\ \ id}.

Il tensore risultante equivale a

T^a_{\ d} = \sum_{i=1}^n T^{ai}_{\ \ id} = T^{a1}_{\ \ 1d} +\ldots + T^{an}_{\ \ nd}.

Costruzioni come questa, effettuate usando coordinate, dipendono sempre dalla scelta di una base. Il punto importante in questa costruzione specifica sta nel fatto che non dipende dalla base usata: questo è dovuto al fatto che i due indici contratti sono ad altezze diverse, e quindi le due matrici corrispondenti A e  C nell'espressione che descrive la mutazione del tensore al cambiamento di base sono una inversa dell'altra e si elidono.

Esempio[modifica | modifica wikitesto]

Se T^a_b è un tensore di tipo (1,1) , il tensore contratto T^i_i è di tipo (0,0) , cioè uno scalare. Interpretando T^a_b come endomorfismo, lo scalare è la traccia dell'endomorfismo, definita come la somma degli elementi T^i_i che stanno sulla diagonale principale di una matrice associata T^a_b.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) Donald H. Menzel. Mathematical Physics. Dover Publications, New York.
  • (EN) Richard L. Bishop and Samuel I. Goldberg, Tensor Analysis on Manifolds, Dover, 1980, ISBN 0486640396.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]