Energia cinetica

L'energia cinetica è l'energia posseduta da un corpo a causa del suo movimento. Corrisponde al lavoro che si deve compiere su un corpo di massa m, inizialmente fermo, per portarlo ad una certa velocità assegnata. L'energia cinetica quindi è associata alla massa e alla velocità di un corpo in movimento. L'energia cinetica di un punto materiale può essere espressa matematicamente dal semiprodotto della sua massa per il quadrato del modulo della sua velocità; in coordinate cartesiane si esprime di consueto come:

$T = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} m (v^2_x + v^2_y + v^2_z)$

L'energia cinetica di un corpo rigido a simmetria assiale in rotazione attorno all'asse di simmetria con velocità angolare $\omega$ e che trasla nello spazio con velocità $v$ è:

$T = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2} I \omega ^2$

dove $m$ è la massa totale del corpo ed $I$ il momento d'inerzia rispetto all'asse di rotazione.

L'energia cinetica dipende dal sistema inerziale di riferimento. In un sistema di riferimento stazionario l'energia cinetica assume un valore inferiore di quello assumibile in un sistema di riferimento in movimento. L'energia cinetica aggiuntiva è quella corrispondente all'energia cinetica di traslazione della massa m alla velocità v di spostamento del sistema inerziale di riferimento.

Una utile relazione tra l'energia cinetica T e il modulo della quantità di moto p è data dalle seguenti equazioni:

$T=\frac{p^2}{2m}\, ; \quad p=\sqrt{2m T}$

La dimostrazione è immediata sostituendo nell'espressione di T quella di p.

Teorema delle forze vive

In meccanica classica, l'energia cinetica di un corpo di massa m è il lavoro necessario per portarlo da una velocità iniziale nulla ad una velocità finale v. Questa definizione può essere formalizzata grazie a quello che storicamente prende il nome di teorema delle forze vive, oggi più noto come teorema dell'energia cinetica. Ne vediamo ora una rapida dimostrazione, rimandando per approfondimenti alla voce specifica.

Consideriamo un punto materiale di quantità di moto p. Sia F la forza risultante agente su di esso. Vale il secondo principio della dinamica:

$\mathbf{F} = \frac{\operatorname{d} \mathbf{p}}{\operatorname{d}t}$

Consideriamo ora il lavoro elementare sotto questo aspetto. Si ha:

$\operatorname{d} W = \mathbf{F} \cdot \operatorname{d}\mathbf{r} = \frac{\operatorname{d} \mathbf{p}}{\operatorname{d}t} \cdot \operatorname{d}\mathbf{r} = \frac{\operatorname{d} \mathbf{r}}{\operatorname{d}t} \cdot \operatorname{d}\mathbf{p} = \mathbf v \cdot \operatorname{d}(m \mathbf{v})$

nel caso in cui la massa del sistema sia costante nel tempo in ogni punto:

$\frac{\operatorname{d}m}{\operatorname{d} t} = 0 \rightarrow \operatorname{d}W = m \mathbf v \cdot \operatorname{d}\mathbf{v} = \operatorname{d}{(\frac{m \mathbf{v}^2}{2})} = \operatorname{d} T$

ovvero la variazione infinitesima di energia cinetica di un punto materiale tra un istante iniziale e uno finale è uguale al lavoro elementare delle forza risultante.

A livello globale ciò significa che il lavoro compiuto dalla forza F quando il corpo si sposta da uno stato iniziale ed uno stato finale è uguale alla variazione dell`energia cinetica del corpo.

$W = \Delta T = \frac{m}{2} {(v_f^2 - v_i^2)}$

Espressione in coordinate generalizzate

Per approfondire, vedi la voce Coordinate generalizzate.

In meccanica analitica (non relativistica) è possibile estendere il concetto di energia cinetica, mantenendo al contempo inalterato il suo peculiare aspetto di funzione dipendente dal modulo quadrato della velocità.

Per fare questo, è necessario passare dalle consuete coordinate cartesiane ad un sistema generico di coordinate: siano dunque

$\mathbf{ q}(t) = (q_1(t), q_2(t), ..., q_n(t))$

le coordinate generalizzate, tutte dipendenti dal tempo. Queste coordinate individuano la posizione di una singola particella (punto materiale) in uno spazio $n$-dimensionale (solitamente in fisica le dimensioni sono 1, 2 o 3): formalizzando il concetto, si definisce la funzione

$\mathbf q : \R \to \mathcal C \, ,$

che cioè manda un numero reale in quello che viene chiamato lo spazio delle configurazioni e che descrive le traiettoria della particella in tale spazio. È bene notare che non si sta parlando di traiettorie della particella nello spaziotempo, bensì nello spazio delle configurazioni. Un cambiamento di coordinate è allora una funzione

$\mathbf x : \mathcal C \times \R \to \mathcal C \, , \qquad \mathbf{ x} = \mathbf{ x}(\mathbf{ q}(t),t)$

in generale dipendente sia dal vettore posizione che dal tempo, con particolari caratteristiche (un diffeomorfismo), che esprime la relazione esistente tra le vecchie coordinate e le nuove.

Introduciamo l'energia cinetica

$T(v^2) = \frac{m}{2} v^2$

che a questo punto ha una forma diversa rispetto a quella solitamente usata: la differenza discende dalla nuova forma che assume la velocità, che sebbene sia come al solito definita da

$\mathbf{ v} = \frac{\operatorname{d}\mathbf{ x}}{\operatorname{d}t} \, ,$

stavolta è una funzione composta, dunque

$\mathbf{ v}(\mathbf{ q}(t),t) = \frac{\operatorname{d}\mathbf{ x}}{\operatorname{d}t}(\mathbf{ q}(t),t) = \sum_{i = 1}^n \frac{\partial \mathbf{ x}}{\partial q_i}(\mathbf{ q}(t),t) \cdot \dot{q}_i(t) + \frac{\partial \mathbf{ x}}{\partial t}(\mathbf{ q}(t),t) \, .$

Calcolando esplicitamente l'energia cinetica grazie alle proprietà di linearità e simmetria del prodotto scalare standard, si ha

$\begin{align} T & = \frac{m}{2} \langle \mathbf v \, , \mathbf v \rangle = \\ & = \frac{m}{2} \left\{ \left \langle \sum_{i = 1}^n \frac{\partial \mathbf{ x}}{\partial q_i} \cdot \dot{q}_i \, , \sum_{j = 1}^n \frac{\partial \mathbf{ x}}{\partial q_j} \cdot \dot{q}_j \right \rangle + 2 \left \langle \sum_{i = 1}^n \frac{\partial \mathbf{ x}}{\partial q_i} \cdot \dot{q}_i \, , \frac{\partial \mathbf{ x}}{\partial t} \right \rangle + \left \langle \frac{\partial \mathbf{ x}}{\partial t} , \frac{\partial \mathbf{ x}}{\partial t} \right \rangle \right\} = \\ & = \frac{m}{2} \left\{ \sum_{i = 1}^n \sum_{j = 1}^n \dot{q}_i \left \langle \frac{\partial \mathbf{ x}}{\partial q_i} , \frac{\partial \mathbf{ x}}{\partial q_j} \right \rangle \dot{q}_j + 2 \sum_{i = 1}^n \left \langle \frac{\partial \mathbf{ x}}{\partial q_i} , \frac{\partial \mathbf{ x}}{\partial t} \right \rangle \dot{q}_i + \left \| \frac{\partial \mathbf{ x}}{\partial t} \right \|^2 \right\} = \\ & = \sum_{i = 1}^n \sum_{j = 1}^n \dot{q}_i \, H_{ij} T_{(0)} \, \dot{q}_j + \, \sum_{i = 1}^n \nabla_i T_{(0)} \, \dot{q}_i + T_{(0)} \, . \end{align}$

Abbiamo così ottenuto una forma quadratica operando le sostituzioni

$H_{ij} T_{(0)} = \frac{m}{2} \left \langle \frac{\partial \mathbf{ x}}{\partial q_i} , \frac{\partial \mathbf{ x}}{\partial q_j} \right \rangle \, , \nabla_i T_{(0)} = m \left \langle \frac{\partial \mathbf{ x}}{\partial q_i} , \frac{\partial \mathbf{ x}}{\partial t} \right \rangle \, , \quad T_{(0)} = \frac{m}{2} \left \| \frac{\partial \mathbf{ x}}{\partial t} \right \|^2 \, .$

Il risultato è davvero notevole se si pensa alla generalità da cui si è partiti nella trattazione: è bastato fornire alcune condizioni di regolarità (di norma verificate nel caso di condizioni fisiche) per ottenere una formula che amplia quella di uso comune. Nel caso in cui si tratti di particella libera, perciò, possiamo scrivere immediatamente la lagrangiana:

(:$\mathbf F = \nabla U = 0 \rightarrow U(q_i) = U$)

$\mathcal L = \sum_{i = 1}^n \sum_{j = 1}^n \dot{q}_i \, H_{ij} T_{(0)} \, \dot{q}_j + \, \sum_{i = 1}^n \nabla_i T_{(0)} \, \dot{q}_i + ( T_{(0)} - U) \,= \sum_{i = 1}^n \sum_{j = 1}^n \dot{q}_i \, H_{ij} T_{(0)} \, \dot{q}_j + \, \sum_{i = 1}^n \nabla_i T_{(0)} \, \dot{q}_i + T_{(0)}\,$

mentre l'eventuale presenza di energia potenziale $U(q_i)$ dipendente dalla sola posizione, non fa altro che aggiungere un termine:

$\mathcal L = \sum_{i = 1}^n \sum_{j = 1}^n \dot{q}_i \, H_{ij} T_{(0)} \, \dot{q}_j + \, \sum_{i = 1}^n \nabla_i T_{(0)} \, \dot{q}_i + T_{(0)} - U(q_i)\, .$

Un'altra caratteristica interessante discende dal considerare cambiamenti di coordinate indipendenti dal tempo: in questi casi l'energia cinetica diventa semplicemente un caso particolare di quella già trovata sopra

$T = \sum_{i = 1}^n \sum_{j = 1}^n \dot{q}_i \, H_{ij} T_{(0)} \, \dot{q}_j \, ,$

ma dato che i versori coordinati dello spazio delle configurazioni sono per definizione

$\mathbf e_i = \frac{\partial \mathbf x}{\partial q_i} \, , \; \forall \, i = 1,2,\ldots,n \, ,$

i coefficienti $H_{ij} T_{(0)}$ costituiscono una matrice quadrata che rappresenta il prodotto scalare rispetto alla base coordinata scelta.

La naturale estensione ad un sistema costituito da più punti viene eseguita assegnando ad ognuno di essi un vettore velocità ed un vettore posizione: quindi per $k$ particelle libere vengono prodotti $2k$ vettori, ciascuno di $n$ coordinate e poi si procede come si è fatto per la particella singola, ottenendo il risultato che l'energia cinetica totale è la somma delle energie cinetiche delle singole particelle:

$T = \sum_{i = 1}^k T_i \, .$

Meccanica relativistica

Nella meccanica relativistica di Einstein (impiegata particolarmente nelle velocità prossime alla velocità della luce) la massa è sempre costante, ma il lavoro necessario a portare ad una velocità v una particella di massa (propria) m inizialmente in quiete non dipende dal quadrato della velocità come nel caso classico, anzi diverge per $v\rightarrow c$. Posti:

$v\,\!$ il modulo della velocità del corpo,

$c\,\!$ la velocità della luce nel vuoto,

$m\,\!$ la massa (a riposo) del corpo,

$m c^2\,\!$ l'energia del corpo in quiete e

$\gamma mc^2\,\!$ l'energia del corpo in movimento

il lavoro W necessario per accelerare una particella di massa m inizialmente in quiete fino ad una velocità v è pari a:

$W=\Delta T=\gamma mc^2-mc^2=(\gamma -1)m c^2\,\!$

in cui $\gamma$ è il seguente fattore di Lorenz:

$\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^2}}$

Espandendo in serie di Taylor per piccoli $\frac{v}{c}$:

$W=(\gamma-1)m c^2=\left(\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}-1\right) m c^2=$

$=\left(1+\frac{1}{2} \frac{v^2}{c^2}+\frac{3}{8} \frac{v^4}{c^4}+.....-1\right) m c^2=$

$=\frac{1}{2} m v^2+\frac{3}{8} m \frac{v^4}{c^2}+....$

Lo sviluppo in serie rende evidente che per valori piccoli della velocità $v$ tutti i termini superiori al primo sono trascurabili e la serie assume il valore

$W=\frac{1}{2} m v^2$

che, tenendo conto della velocità iniziale nulla, è proprio l'espressione del teorema dell'energia cinetica in meccanica classica. La formula di Einstein generalizza quindi l'energia cinetica alle alte velocità.

È immediato dallo sviluppo in serie notare che quando $v$ tende a 0 il rapporto tra l'energia cinetica relativistica e quella Newtoniana data da $\frac{1}{2} m v^2$ si approssima ad 1:

$\lim_{v\rightarrow 0}\frac{\left(\gamma-1\right)m c^2}{\frac{1}{2}m v^2}=\lim_{v\rightarrow 0} \frac{\frac{1}{2}mv^2 + \mathcal{O} \left( v^4 \right) }{\frac{1}{2}mv^2}=1$

La teoria della relatività afferma che l'energia cinetica di un oggetto tende all'infinito per velocità che si avvicinano alla velocità della luce, e diventa pertanto impossibile accelerare il corpo fino a raggiungere tale velocità. In altri termini la velocità della luce non può essere raggiunta da alcun corpo materiale mediante accelerazione.

Bibliografia

• C. Mencuccini e V. Silvestrini, Fisica I (Meccanica e Termodinamica), 3^a ed., ISBN 88-207-1493-0, Liguori Editore, 1996.
• Herbert Goldstein, Meccanica Classica, Zanichelli, 2005....

Voci correlate

• Teoria della relatività
• Kerma

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