Energia cinetica

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L'energia cinetica è l'energia che possiede un corpo per il movimento che ha o che acquista: è il lavoro necessario per portare un corpo da una velocità nulla a una velocità v e quindi il lavoro necessario per portarlo da 0 a v. Quando un corpo di massa "m" varia la sua velocità, con questa varia anche la sua energia cinetica. Il lavoro rappresenta questa variazione di energia cinetica. L'energia cinetica quindi è associata alla massa e alla velocità di un corpo in movimento. L'energia cinetica che possiede un corpo di massa m nel suo moto di caduta è uguale al lavoro compiuto per fermarsi.

L'energia cinetica di un punto materiale può essere espressa matematicamente dal semiprodotto della sua massa per il quadrato del modulo della sua velocità;[1] in coordinate cartesiane si esprime di consueto come:

 E_c = \frac{1}{2}  m v^2 = \frac{1}{2} m (v^2_x + v^2_y + v^2_z)

L'energia cinetica di un corpo rigido a simmetria assiale in rotazione attorno all'asse di simmetria con velocità angolare \omega e che trasla nello spazio con velocità v è:

 E_c = \frac{1}{2}  m v^2 + \frac{1}{2} I \omega ^2

dove m è la massa totale del corpo ed I il momento d'inerzia rispetto all'asse di rotazione.

L'energia cinetica dipende dal sistema inerziale di riferimento. In un sistema di riferimento stazionario l'energia cinetica assume un valore inferiore di quello assumibile in un sistema di riferimento in movimento. L'energia cinetica aggiuntiva è quella corrispondente all'energia cinetica di traslazione della massa m alla velocità v di spostamento del sistema inerziale di riferimento.

Una utile relazione tra l'energia cinetica E e il modulo della quantità di moto p è data dalle seguenti equazioni:

E_c=\frac{p^2}{2m}\, ; \quad p=\sqrt{2m E_c}

La dimostrazione è immediata sostituendo nell'espressione di E quella di p.

Teorema delle forze vive[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Teorema dell'energia cinetica.

In meccanica classica, l'energia cinetica di un corpo di massa m è il lavoro necessario per portarlo da una velocità iniziale nulla ad una velocità finale v. Questa definizione può essere formalizzata grazie a quello che storicamente prende il nome di teorema delle forze vive, oggi più noto come teorema dell'energia cinetica.

A livello globale il lavoro compiuto dalla forza F quando il corpo si sposta da uno stato iniziale ed uno stato finale è uguale alla variazione dell`energia cinetica del corpo.

W = \Delta E_c = \frac{m}{2} {(v_f^2 - v_i^2)}

Espressione in coordinate generalizzate[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Coordinate generalizzate.

In meccanica analitica (non relativistica) è possibile estendere il concetto di energia cinetica, mantenendo al contempo inalterato il suo peculiare aspetto di funzione dipendente dal modulo quadrato della velocità.

Per fare questo, è necessario passare dalle consuete coordinate cartesiane ad un sistema generico di coordinate: siano dunque

 \mathbf{ q}(t) = (q_1(t), q_2(t), ..., q_n(t))

le coordinate generalizzate, tutte dipendenti dal tempo. Queste coordinate individuano la posizione di una singola particella (punto materiale) in uno spazio  n -dimensionale (solitamente in fisica le dimensioni sono 1, 2 o 3): formalizzando il concetto, si definisce la funzione

 \mathbf q : \R \to \mathcal C \, ,

che cioè manda un numero reale in quello che viene chiamato lo spazio delle configurazioni e che descrive le traiettoria della particella in tale spazio. È bene notare che non si sta parlando di traiettorie della particella nello spaziotempo, bensì nello spazio delle configurazioni. Un cambiamento di coordinate è allora una funzione

 \mathbf x : \mathcal C \times \R \to \mathcal C \, , \qquad  \mathbf{ x} = \mathbf{ x}(\mathbf{ q}(t),t)

in generale dipendente sia dal vettore posizione che dal tempo, con particolari caratteristiche (un diffeomorfismo), che esprime la relazione esistente tra le vecchie coordinate e le nuove.

Introduciamo l'energia cinetica

 E_c(v^2) = \frac{m}{2} v^2

che a questo punto ha una forma diversa rispetto a quella solitamente usata: la differenza discende dalla nuova forma che assume la velocità, che sebbene sia come al solito definita da

 \mathbf{ v} = \frac{\operatorname{d}\mathbf{ x}}{\operatorname{d}t} \, ,

stavolta è una funzione composta, dunque

 \mathbf{ v}(\mathbf{ q}(t),t) = \frac{\operatorname{d}\mathbf{ x}}{\operatorname{d}t}(\mathbf{ q}(t),t) = \sum_{i = 1}^n \frac{\partial \mathbf{ x}}{\partial q_i}(\mathbf{ q}(t),t) \cdot \dot{q}_i(t) + \frac{\partial \mathbf{ x}}{\partial t}(\mathbf{ q}(t),t) \, .

Calcolando esplicitamente l'energia cinetica grazie alle proprietà di linearità e simmetria del prodotto scalare standard, si ha

 \begin{align}
(E_c) & = \frac{m}{2} \langle \mathbf v \, , \mathbf v \rangle = \\
  & = \frac{m}{2} \left\{ \left \langle \sum_{i = 1}^n \frac{\partial \mathbf{ x}}{\partial q_i} \cdot \dot{q}_i \, , \sum_{j = 1}^n \frac{\partial \mathbf{ x}}{\partial q_j} \cdot \dot{q}_j \right \rangle + 2 \left \langle \sum_{i = 1}^n \frac{\partial \mathbf{ x}}{\partial q_i} \cdot \dot{q}_i \, , \frac{\partial \mathbf{ x}}{\partial t} \right \rangle + \left \langle \frac{\partial \mathbf{ x}}{\partial t} , \frac{\partial \mathbf{ x}}{\partial t} \right \rangle \right\} = \\
 & = \frac{m}{2} \left\{ \sum_{i = 1}^n \sum_{j = 1}^n \dot{q}_i \left \langle \frac{\partial \mathbf{ x}}{\partial q_i} , \frac{\partial \mathbf{ x}}{\partial q_j} \right \rangle \dot{q}_j + 2 \sum_{i = 1}^n \left \langle \frac{\partial \mathbf{ x}}{\partial q_i} , \frac{\partial \mathbf{ x}}{\partial t} \right \rangle \dot{q}_i + \left \| \frac{\partial \mathbf{ x}}{\partial t} \right \|^2 \right\} = \\
 & = \sum_{i = 1}^n \sum_{j = 1}^n \dot{q}_i \, H_{ij} (E_c)_{(0)} \, \dot{q}_j + \, \sum_{i = 1}^n \nabla_i (E_c)_{(0)} \, \dot{q}_i + (E_c)_{(0)} \, .
\end{align}

Abbiamo così ottenuto una forma quadratica operando le sostituzioni

 H_{ij} (E_c)_{(0)} = \frac{m}{2} \left \langle \frac{\partial \mathbf{ x}}{\partial q_i} , \frac{\partial \mathbf{ x}}{\partial q_j} \right \rangle \, , \nabla_i (E_c)_{(0)} = m \left \langle \frac{\partial \mathbf{ x}}{\partial q_i} , \frac{\partial \mathbf{ x}}{\partial t} \right \rangle \, , \quad (E_c)_{(0)} = \frac{m}{2} \left \| \frac{\partial \mathbf{ x}}{\partial t} \right \|^2 \, .

Il risultato è davvero notevole se si pensa alla generalità da cui si è partiti nella trattazione: è bastato fornire alcune condizioni di regolarità (di norma verificate nel caso di condizioni fisiche) per ottenere una formula che amplia quella di uso comune. Nel caso in cui si tratti di particella libera, perciò, possiamo scrivere immediatamente la lagrangiana:

 (\mathbf F = \nabla U = 0 \rightarrow U(q_i) = U )

 \mathcal L = \sum_{i = 1}^n \sum_{j = 1}^n \dot{q}_i \, H_{ij} (E_c)_{(0)} \, \dot{q}_j + \, \sum_{i = 1}^n \nabla_i (E_c)_{(0)} \, \dot{q}_i + ( (E_c)_{(0)} - U) \,= \sum_{i = 1}^n \sum_{j = 1}^n \dot{q}_i \, H_{ij} (E_c)_{(0)} \, \dot{q}_j + \, \sum_{i = 1}^n \nabla_i (E_c)_{(0)} \, \dot{q}_i + (E_c)_{(0)}\,

mentre l'eventuale presenza di energia potenziale  U(q_i) dipendente dalla sola posizione, non fa altro che aggiungere un termine:

 \mathcal L = \sum_{i = 1}^n \sum_{j = 1}^n \dot{q}_i \, H_{ij} (E_c)_{(0)} \, \dot{q}_j + \, \sum_{i = 1}^n \nabla_i (E_c)_{(0)} \, \dot{q}_i + (E_c)_{(0)} - U(q_i)\, .

Un'altra caratteristica interessante discende dal considerare cambiamenti di coordinate indipendenti dal tempo: in questi casi l'energia cinetica diventa semplicemente un caso particolare di quella già trovata sopra

 T = \sum_{i = 1}^n \sum_{j = 1}^n \dot{q}_i \, H_{ij} (E_c)_{(0)} \, \dot{q}_j \, ,

ma dato che i versori coordinati dello spazio delle configurazioni sono per definizione

 \mathbf e_i = \frac{\partial \mathbf x}{\partial q_i} \, , \; \forall \, i = 1,2,\ldots,n \, ,

i coefficienti  H_{ij} (E_c)_{(0)} costituiscono una matrice quadrata che rappresenta il prodotto scalare rispetto alla base coordinata scelta.

La naturale estensione ad un sistema costituito da più punti viene eseguita assegnando ad ognuno di essi un vettore velocità ed un vettore posizione: quindi per  k particelle libere vengono prodotti  2k vettori, ciascuno di  n coordinate e poi si procede come si è fatto per la particella singola, ottenendo il risultato che l'energia cinetica totale è la somma delle energie cinetiche delle singole particelle:

 T = \sum_{i = 1}^k (E_c)_i \, .

Meccanica relativistica[modifica | modifica wikitesto]

Nella meccanica relativistica di Einstein (impiegata particolarmente nelle velocità prossime alla velocità della luce) la massa è sempre costante, ma il lavoro necessario a portare ad una velocità v una particella di massa (propria) m inizialmente in quiete non dipende dal quadrato della velocità come nel caso classico, anzi diverge per v\rightarrow c. Posti:

v il modulo della velocità del corpo,
c la velocità della luce nel vuoto,
m la massa (a riposo) del corpo,
m c^2 l'energia del corpo in quiete e
\gamma mc^2 l'energia del corpo in movimento

il lavoro W necessario per accelerare una particella di massa m inizialmente in quiete fino ad una velocità v è pari a:

W=\Delta E_c=\gamma mc^2-mc^2=(\gamma -1)m c^2

in cui \gamma è il seguente fattore di Lorentz:

\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^2}}

Espandendo in serie di Taylor per piccoli \frac{v}{c}:

W=(\gamma-1)m c^2=\left(\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}-1\right) m c^2=
=\left(1+\frac{1}{2} \frac{v^2}{c^2}+\frac{3}{8} \frac{v^4}{c^4}+.....-1\right) m c^2=
=\frac{1}{2} m   v^2+\frac{3}{8} m \frac{v^4}{c^2}+....

Lo sviluppo in serie rende evidente che per valori piccoli della velocità v tutti i termini superiori al primo sono trascurabili e la serie assume il valore

W=\frac{1}{2} m v^2

che, tenendo conto della velocità iniziale nulla, è proprio l'espressione del teorema dell'energia cinetica in meccanica classica. La formula di Einstein generalizza quindi l'energia cinetica alle alte velocità.

È immediato dallo sviluppo in serie notare che quando v tende a 0 il rapporto tra l'energia cinetica relativistica e quella Newtoniana data da \frac{1}{2} m v^2 si approssima ad 1:

\lim_{v\rightarrow 0}\frac{\left(\gamma-1\right)m c^2}{\frac{1}{2}m v^2}=\lim_{v\rightarrow 0} \frac{\frac{1}{2}mv^2 + \mathcal{O} \left( v^4 \right) }{\frac{1}{2}mv^2}=1

La teoria della relatività afferma che l'energia cinetica di un oggetto tende all'infinito per velocità che si avvicinano alla velocità della luce, e diventa pertanto impossibile accelerare il corpo fino a raggiungere tale velocità. In altri termini la velocità della luce non può essere raggiunta da alcun corpo materiale mediante accelerazione.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ (EN) IUPAC Gold Book, "kinetic energy"

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • C. Mencuccini e V. Silvestrini, Fisica I (Meccanica e Termodinamica), 3ª ed., ISBN 88-207-1493-0, Liguori Editore, 1996.
  • Herbert Goldstein, Meccanica Classica, Zanichelli, 2005.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]