Lagrangiana

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.
bussola Disambiguazione – Se stai cercando la Lagrangiana in ottimizzazione non lineare, vedi Metodo dei moltiplicatori di Lagrange.

In meccanica lagrangiana, ogni sistema meccanico è caratterizzato da una lagrangiana che consente di descrivere il moto del sistema per mezzo delle equazioni di Eulero-Lagrange, o del principio di Hamilton.

La sua importanza è fondamentale in meccanica classica e in numerosi ambiti della fisica, in quanto permette di ricavare le equazioni del moto del sistema (esclusa l'influenza delle forze non conservative).

La soluzione ottenuta nel 1957 da De Giorgi del XIX problema di Hilbert (Le soluzioni delle equazioni di Eulero-Lagrange regolari sono sempre analitiche?) gli fruttò il Premio Wolf.

La formulazione lagrangiana[modifica | modifica wikitesto]

La meccanica lagrangiana è una ri-formulazione della meccanica classica utilizzando il principio di minima azione. Tale formulazione lagrangiana gioca un ruolo importante nel consentire una più "profonda" comprensione della fisica, anche per il fatto che il principio di minima azione si applica anche alla meccanica quantistica. L'azione fisica e la fase quanto-meccanica sono infatti legate dalle costante di Planck, ed il principio dell'azione stazionaria può essere descritto attraverso l'interferenza costruttiva di funzioni d'onda.

Il formalismo lagrangiano e il principio di minima azione sono anche strettamente legati al teorema di Noether, che collega quantità conservate del moto con le simmetrie continue di un sistema fisico. Questo ambiente fornisce un formalismo naturale per la "prima quantizzazione", includendo commutatori tra determinati termini delle equazioni di Lagrangie relative al moto di un sistema fisico.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Per il principio variazionale di Hamilton, l'evoluzione temporale di un sistema meccanico minimizza l'azione. La sua lagrangiana si dimostra essere la differenza tra l'energia cinetica T e l'energia potenziale totale U:

 \mathcal{L}= T -U

poiché le equazioni di Eulero-Lagrange per questa differenza equivalgono al secondo principio della dinamica. Più precisamente, indicando gli argomenti delle funzioni si ha che:

 \mathcal{L} (\dot q, q, t) = T (\dot q, q, t) - U (q, t)

dove q denota le coordinate lagrangiane, che individuano i punti del sistema, t è il tempo ed il punto è la derivata rispetto al tempo.

Se la lagrangiana è conosciuta allora le equazioni del moto del sistema possono essere ottenute con la sostituzione diretta dell'espressione per la lagrangiana all'interno delle equazioni di Eulero-Lagrange. La lagrangiana di un sistema non è unica, e due lagrangiane che descrivono lo stesso sistema possono differire per la derivata totale rispetto al tempo di una qualche funzione f(q,t), ma la corrispondente equazione del moto è la stessa.[1][2]

In un contesto più generale, si considerino una varietà differenziabile n-dimensionale M ed una varietà T che costituisce l'obiettivo. Sia inoltre \mathcal{C} lo spazio delle configurazioni delle funzioni lisce da M a T. In meccanica classica, ad esempio, M è la varietà monodimensionale \mathbb{R} che rappresenta il tempo, e lo spazio bersaglio è il fibrato tangente dello spazio delle posizioni generalizzate. Nella teoria dei campi, invece, M è la varietà spaziotempo e lo spazio bersaglio è l'insieme di valori che il campo può assumere in un qualunque punto dato: per esempio, se ci sono m campi scalari a valori reali \phi_1 , \dots \phi_m allora la varietà bersaglio è \mathbb{R}^m, mentre se il campo è un campo vettoriale reale allora la varietà bersaglio è isomorfa a \mathbb{R}^n.

Si consideri l'azione, un funzionale S:\mathcal{C}\rightarrow \mathbb{R} che mappa su \mathbb{R} (e non su \mathbb{C} per ragioni fisiche). Affinché l'azione sia locale è necessario imporre ulteriori restrizioni sul funzionale: se \phi\in\mathcal{C} si assume che S(\phi) sia l'integrale su M della lagrangiana \mathcal{L}(\phi,\partial\phi,\partial\partial\phi, \dots ,x), che è funzione di \phi, delle sue derivate e della posizione. Esplicitamente, l'azione è definita nel seguente modo:

S[\phi]\equiv\int_M \mathcal{L}(\phi(x),\partial\phi(x),\partial\partial\phi(x), \dots ,x)d^nx \qquad \forall\phi\in\mathcal{C}

La maggior parte delle volte si assume che la lagrangiana dipenda soltanto dal valore del campo e dalla sua derivata prima, dal momento che lo stato meccanico di un sistema dipende soltanto dalle coordinate generalizzate e dalle loro derivate rispetto al tempo.

Date le condizioni al contorno specificando il valore di \phi al bordo di M, se questo è compatto (o fornendo opportuni limiti per \phi quando x tende all'infinito) è possibile ottenere il sottoinsieme di \mathcal{C} che consiste delle funzioni \phi tali che tutte le derivate funzionali di S rispetto a \phi sono nulle, e \phi soddisfa le condizioni al contorno date. Tale insieme è determinato, considerando le condizioni al contorno, dalle soluzioni on shell delle equazioni di Eulero-Lagrange:

\frac{\delta\mathcal{S}}{\delta\varphi}= - \partial_\mu
 \left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\right) + \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi}=0

dove membro sinistro è la derivata funzionale dell'azione rispetto a \phi.

Lagrangiana ed equazioni di Eulero-Lagrange[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Principio variazionale di Hamilton e equazioni di Eulero-Lagrange.

I risultati della meccanica lagrangiana prescindono dal fatto che la lagrangiana sia data dalla differenza dell'energia cinetica e dell'energia potenziale, e valgono per lagrangiane generiche L(q^\lambda,\dot{q}^\lambda,t) funzione delle coordinate q^\lambda , delle loro derivate rispetto al tempo \dot{q}^\lambda ed eventualmente del tempo. Nel seguito si suppone che le equazioni del moto siano le equazioni di Eulero-Lagrange ordinarie, e quindi il secondo membro sia nullo.

Per il principio di Hamilton le soluzioni delle equazioni di Eulero-Lagrange sono i punti stazionari dell'integrale azione calcolato sulle possibili traiettorie tra due punti fissati, con coordinate rispettivamente q^\lambda(t_0) e q^\lambda(t_1) . Questo fatto lega fortemente la meccanica lagrangiana al calcolo delle variazioni e ha svariate applicazioni. In particolare, permette di dare una formulazione lagrangiana alle equazioni delle geodetiche.

Per il teorema di Noether, se una certa quantità è invariante rispetto alla trasformazione di un campo allora la corrispondente lagrangiana è simmetrica sotto tale trasformazione. Ad esempio, se la lagrangiana non dipende da una certa coordinata q^\lambda (detta in tal caso coordinata ciclica) si ha, attraverso le equazioni di Eulero-Lagrange:

\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \mathcal L}{\partial\dot{q}^\lambda}\right)=0

e quindi \frac{\partial \mathcal L}{\partial\dot{q}^\lambda} è una costante del moto, o integrale primo.

La trasformata di Legendre della lagrangiana produce la funzione hamiltoniana:

\mathcal{H} = \sum_i {\dot q_i} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial {\dot q_i}}- \mathcal{L} = \sum_i {\dot q_i} p_i - \mathcal{L}

Se la lagrangiana non dipende esplicitamente dal tempo allora l'hamiltoniana è una costante del moto. Se la lagrangiana è data dalla differenza di energia cinetica e potenziale, questa quantità risulta pari all'energia totale del sistema.

Se la matrice di componenti \partial^2 \mathcal L / \partial\dot{q}^\lambda\partial\dot{q}^\mu è inoltre invertibile, allora la lagrangiana si dice regolare e le equazioni di Eulero-Lagrange si possono scrivere come un sistema di equazioni differenziali di secondo grado in forma normale. Per una lagrangiana regolare allora la trasformazione di Legendre:

p_\lambda=\frac{\partial \mathcal L}{\partial\dot{q}^\lambda}

è invertibile, e le equazioni di Eulero-Lagrange sono equivalenti alle equazioni di Hamilton del sistema.

Densità di lagrangiana[modifica | modifica wikitesto]

In diversi ambiti della fisica, tra i quali l'elettrodinamica e la teoria quantistica dei campi, si definisce la densità di lagrangiana nel seguente modo:

\rho_\mathcal{L} = \frac {d \mathcal{L}}{dV}

dove dV è l'elemento di volume infinitesimo.

In relatività speciale la densità di lagrangiana è utilizzata per il fatto di essere uno scalare di Lorentz locale. Poiché l'azione è l'integrale nel tempo della lagrangiana, e la lagrangiana è a sua volta l'integrale nello spazio tridimensionale della densità di lagrangiana:

\mathcal{L}= \int_V{\rho_\mathcal{L} \mathrm{d}^3 x}

segue che l'azione può essere definita attraverso l'integrale sull'intero spazio tempo:

\mathcal{S} [\varphi_i] = \int{\rho_\mathcal{L} [\varphi_i (x)]\, \mathrm{d}^4x}

Tale funzione viene frequentemente introdotta al posto della lagrangiana, e nell'uso moderno \rho_\mathcal{L} è spesso chiamata semplicemente "lagrangiana" ed indicata con \mathcal{L}.

Esempio[modifica | modifica wikitesto]

Il concetto di lagrangiana fu introdotto in origine in una riformulazione della meccanica classica nota come meccanica lagrangiana: in questo contesto la lagrangiana è normalmente data dalla differenza fra l'energia cinetica e l'energia potenziale di un sistema meccanico.

Si supponga di avere in uno spazio tridimensionale la lagrangiana:

\mathcal{L}=\begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix} m\dot{\mathbf {x}}^2 + U(\mathbf x)

dove la derivata rispetto al tempo è scritta convenzionalmente come un punto sopra la funzione che viene derivata.

Si può mostrare facilmente che l'approccio di Lagrange è equivalente a quello newtoniano. Scrivendo la forza (conservativa) in termini del potenziale:

\mathbf F=\nabla U

l'equazione risultante è infatti:

\mathbf{F}=m\ddot{\mathbf{x}}

Supponendo quindi di voler rappresentare il moto di un punto materiale nello spazio tridimensionale usando coordinate sferiche (r, \theta, \phi), la forma della lagrangiana è:

\mathcal{L}=\frac{m}{2}(\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2 +r^2\sin^2(\theta)\dot{\phi}^2) + U(r,\theta,\phi)

Il vantaggio più immediato della formulazione lagrangiana in meccanica classica, rispetto a quella newtoniana consiste nel fatto che nel caso di sistemi vincolati è possibile ottenere le equazioni del moto senza dover tener conto delle reazioni vincolari (che sono per lo più indeterminate): a questo fine è sufficiente sostituire nella lagrangiana per il sistema non vincolato una opportuna parametrizzazione del vincolo. Ad esempio, per passare dalla descrizione di un punto materiale non soggetto a vincoli a quella di un punto materiale vincolato a restare a distanza fissa L da un centro assegnato (pendolo sferico), è sufficiente porre r = cost = L nella lagrangiana in coordinate sferiche scritta sopra e ricavarne le equazioni di Lagrange per le sole funzioni incognite \theta(t) e \phi(t). In questo modo si ottengono immediatamente le equazioni del moto, senza dover calcolare prima la proiezione delle forze attive sul piano tangente alla sfera di raggio L (come sarebbe necessario fare per poter scrivere le equazioni di Newton).

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Herbert Goldstein, Charles P. Poole e John L. Safko, Classical Mechanics, 3rd, Addison-Wesley, 2002, p. 21, ISBN 978-0-201-65702-9.
  2. ^ L.D. Landau and E.M. Lifshitz ; translated from the Russian by J.B. Sykes and J.S. Bell, Mechanics, 3rd ed., Oxford, Butterworth-Heinemann, 1999, p. 4, ISBN 978-0-7506-2896-9.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]