Lagrangiana

In meccanica lagrangiana, ogni sistema meccanico è caratterizzato da una lagrangiana che consente di descrivere il moto del sistema per mezzo delle equazioni di Eulero-Lagrange, o del principio di Hamilton.

La sua importanza è fondamentale in meccanica classica e in numerosi ambiti della fisica, in quanto permette di ricavare le equazioni del moto del sistema (esclusa l'influenza delle forze non conservative).

Il XIX° problema di Hilbert (Le soluzioni delle equazioni di Eulero-Lagrange regolari sono sempre analitiche?) fu risolto nel 1957 da De Giorgi fruttandogli il Premio Wolf.

Definizione

Per il principio variazionale di Hamilton, l'evoluzione temporale di un sistema meccanico minimizza l'azione. La sua lagrangiana si dimostra essere la differenza tra l'energia cinetica $T$ e l'energia potenziale totale $U$:

$\mathcal{L}= T -U$,

poiché le equazioni di Eulero-Lagrange per questa differenza equivalgono al secondo principio della dinamica. Più precisamente, indicando gli argomenti delle funzioni:

$\mathcal{L} (\dot q, q, t) = T (\dot q, q, t) - U (q, t)$

dove $q$ denota le coordinate lagrangiane, che individuano i punti del sistema, $t$ è il tempo ed il punto è la derivata rispetto al tempo.

Si considerino una varietà varietà differenziabile n-dimensionale $M$ ed una varietà $T$che costituisce l'obbiettivo. Sia inoltre $\mathcal{C}$ lo spazio delle configurazioni delle funzioni lisce da $M$ a $T$. In meccanica classica, ad esempio, $M$ è la varietà monodimensionale $\mathbb{R}$ che rappresenta il tempo, e lo spazio bersaglio è il fibrato tangente dello spazio delle posizioni generalizzate. Nella teoria dei campi, invece, $M$ è la varietà spaziotempo e lo spazio bersaglio è l'insieme di valori che il campo può assumere in un qualunque punto dato: per esempio, se ci sono m campi scalari a valori reali $\phi_1 , \dots \phi_m$ allora la varietà bersaglio è $\mathbb{R}^m$, mentre se il campo è un campo vettoriale reale allora la varietà bersaglio è isomorfa a $\mathbb{R}^n$.

Si consideri l'azione, un funzionale $S:\mathcal{C}\rightarrow \mathbb{R}$ che mappa su $\mathbb{R}$ (e non su $\mathbb{C}$ per ragioni fisiche). Affinché l'azione sia locale è necessario imporre ulteriori restrizioni sul funzionale: se $\phi\in\mathcal{C}$ si assume che $S(\phi)$ sia l'integrale su $M$ della lagrangiana $\mathcal{L}(\phi,\partial\phi,\partial\partial\phi, ...,x)$, che è funzione di $\phi$, delle sue derivate e della posizione. Esplicitamente, l'azione è definita nel seguente modo:

$S[\phi]\equiv\int_M \mathcal{L}(\phi(x),\partial\phi(x),\partial\partial\phi(x), ...,x)d^nx \qquad \forall\phi\in\mathcal{C}$

La maggior parte delle volte si assume che la lagrangiana dipenda soltanto dal valore del campo e dalla sua derivata prima, dal momento che lo stato meccanico di un sistema dipende soltanto dalle coordinate generalizzate e dalle loro derivate rispetto al tempo.

Date le condizioni al contorno specificando il valore di $\phi$ al bordo di $M$ se questo è compatto (o fornendo opportuni limiti per $\phi$ quando $x$ tende all'infinito) è possibile ottenere il sottoinsieme di $\mathcal{C}$ che consiste delle funzioni $\phi$ tali che tutte le derivate funzionali di $S$ su $\phi$ sono nulle e $\phi$ soddisfa le condizioni al contorno date. Tale insieme è determinato, considerando le condizioni al contorno, dalle soluzioni on shell delle equazioni di Eulero-Lagrange:

$\frac{\delta\mathcal{S}}{\delta\varphi}= - \partial_\mu \left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\right) + \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi}=0$

Il membro sinistro è la derivata funzionale dell'azione rispetto a $\phi$.

Lagrangiana ed equazioni di Eulero-Lagrange

Per approfondire, vedi Principio variazionale di Hamilton e equazioni di Eulero-Lagrange.

I risultati della meccanica lagrangiana prescindono dal fatto che la lagrangiana sia data dalla differenza dell'energia cinetica e dell'energia potenziale, e valgono per lagrangiane generiche $L(q^\lambda,\dot{q}^\lambda,t)$ funzione delle coordinate $q^\lambda$, delle loro derivate rispetto al tempo $\dot{q}^\lambda$ ed eventualmente del tempo. Nel seguito si suppone che le equazioni del moto siano le equazioni di Eulero-Lagrange ordinarie, e quindi il secondo membro sia nullo.

Per il principio di Hamilton le soluzioni delle equazioni di Eulero-Lagrange sono i punti stazionari dell'integrale azione calcolato sulle possibili traiettorie tra due punti fissati, con coordinate rispettivamente $q^\lambda(t_0)$ e $q^\lambda(t_1)$. Questo fatto lega fortemente la meccanica lagrangiana al calcolo delle variazioni e ha svariate applicazioni. In particolare, permette di dare una formulazione lagrangiana alle equazioni delle geodetiche.

Per il teorema di Noether, se una certa quantità è invariante rispetto alla trasformazione di un campo allora la corrispondente lagrangiana è simmetrica sotto tale trasformazione. Ad esempio, se la lagrangiana non dipende da una certa coordinata $q^\lambda$ (detta in tal caso coordinata ciclica) si ha, attraverso le equazioni di Eulero-Lagrange:

$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \mathcal L}{\partial\dot{q}^\lambda}\right)=0$

e quindi $\frac{\partial \mathcal L}{\partial\dot{q}^\lambda}$ è una costante del moto, o integrale primo.

La trasformazione di Legendre della lagrangiana produce la funzione hamiltoniana:

$\mathcal{H} = \sum_i {\dot q_i} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial {\dot q_i}}- \mathcal{L} = \sum_i {\dot q_i} p_i - \mathcal{L}$

Se la lagrangiana non dipende esplicitamente dal tempo allora l'hamiltoniana è una costante del moto. Se la lagrangiana è data dalla differenza di energia cinetica e potenziale, questa quantità risulta pari all'energia totale del sistema.

Se la matrice di componenti $\frac{\partial^2 \mathcal L}{\partial\dot{q}^\lambda\partial\dot{q}^\mu}$ è inoltre invertibile, allora la lagrangiana si dice regolare e le equazioni di Eulero-Lagrange si possono scrivere come un sistema di equazioni differenziali di secondo grado in forma normale. Per una lagrangiana regolare allora la trasformazione di Legendre:

$p_\lambda=\frac{\partial \mathcal L}{\partial\dot{q}^\lambda}$

è invertibile, e le equazioni di Eulero-Lagrange sono equivalenti alle equazioni di Hamilton del sistema.

Densità di lagrangiana

In diversi ambiti della fisica, tra i quali l'elettrodinamica e la teoria quantistica dei campi, si definisce la densità di lagrangiana nel seguente modo:

$\rho_\mathcal{L} = \frac {d \mathcal{L}}{dV}$

dove $dV$ è l'elemento di volume infinitesimo.

In relatività speciale la densità dilagrangiana è utilizzata per il fatto di essere uno scalare di Lorentz locale. Poiché l'azione è l'integrale nel tempo della lagrangiana, e la lagrangiana è a sua volta l'integrale nello spazio tridimensionale della densità di lagrangiana:

$\mathcal{L}= \int_V{\rho_\mathcal{L} \mathrm{d}^3 x}$

segue che l'azione può essere definita attraverso l'integrale sull'intero spazio tempo:

$\mathcal{S} [\varphi_i] = \int{\rho_\mathcal{L} [\varphi_i (x)]\, \mathrm{d}^4x}$

Tale funzione viene frequentemente introdotta al posto della lagrangiana, e nell'uso moderno $\rho_\mathcal{L}$ è spesso chiamata semplicemente "lagrangiana" ed indicata con $\mathcal{L}$.

Esempio

Il concetto di lagrangiana fu introdotto in origine in una riformulazione della meccanica classica nota come meccanica lagrangiana: in questo contesto la lagrangiana è normalmente data dalla differenza fra l'energia cinetica e l'energia potenziale di un sistema meccanico.

Si supponga di avere in uno spazio tridimensionale la lagrangiana:

$\mathcal{L}=\begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix} m\dot{\mathbf {x}}^2 + U(\mathbf x)$

dove la derivata rispetto al tempo è scritta convenzionalmente come un punto sopra la funzione che viene derivata.

Si può mostrare facilmente che l'approccio di Lagrange è equivalente a quello newtoniano, scrivendo la forza in termini di potenziale $(\mathbf F=\nabla U)$: l'equazione risultante è infatti

$\mathbf{F}=m\ddot{\mathbf{x}}$

Supponiamo, ora, di voler rappresentare il moto di un punto materiale nello spazio tridimensionale usando coordinate sferiche r, θ, φ. La forma della lagrangiana è:

$\mathcal{L}=\frac{m}{2}(\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2 +r^2\sin^2(\theta)\dot{\phi}^2) + U(r,\theta,\phi)$.

Il vantaggio più immediato della formulazione lagrangiana in meccanica classica, rispetto a quella newtoniana, consiste nel fatto che nel caso di sistemi vincolati è possibile ottenere le equazioni del moto senza dover tener conto delle reazioni vincolari (che sono per lo più indeterminate): a questo fine basta semplicemente sostituire nella lagrangiana per il sistema non vincolato una opportuna parametrizzazione del vincolo. Ad esempio, per passare dalla descrizione di un punto materiale non soggetto a vincoli a quella di un punto materiale vincolato a restare a distanza fissa L da un centro assegnato (pendolo sferico) è sufficiente porre r = costante = L nella lagrangiana in coordinate sferiche scritta qui sopra e ricavarne le equazioni di Lagrange per le sole funzioni incognite θ(t) e φ(t). In questo modo si ottengono subito le equazioni del moto, senza dover calcolare prima la proiezione delle forze attive sul piano tangente alla sfera di raggio L (come sarebbe necessario fare per poter scrivere le equazioni di Newton).

Bibliografia

• Lev D. Landau; Evgenij M. Lifšic, Fisica teorica, 3^a ed., Roma, Editori Riuniti [1976], 1994, Vol. 1. ISBN 88-359-3473-7 URL consultato il 9 novembre 2012.
• Antonio Fasano; Stefano Marmi, Meccanica analitica, Torino, Bollati Boringhieri, 2002. ISBN 88-339-5681-4
• Valter Moretti, Elementi di Meccanica Razionale, Meccanica Analitica e Teoria della Stabilita http://www.science.unitn.it/~moretti/dispense.html
• Dare A. Wells, Lagrangian Dynamics, McGraw-Hill, (1967) ISBN 007-069258-0. Una "trattazione" esaustiva di 350 pagine dell'argomento.
• (FR) Joseph-Louis Lagrange Mécanique analytique (1788) parte 2, sezione 4, Mallet-Bachelier, Parigi (1853-1855).
• (FR) Joseph-Louis Lagrange Oeuvres de Lagrange v. 11-12 Gauthier-Villars, Parigi (1867-1892).
• (EN) A. G. Webster The dynamics of particles and of rigid, elastic, and fluid bodies. Being lectures on mathematical physics (1912) B. G. Teubner, Leipzig.
• (EN) E. T. Whittaker A treatise on the analytical dynamics of particles and rigid bodies, (1917) Cambridge University Press.
• (EN) A. Ziwet e P. Field Introduction to analytical mechanics (1921) p. 263 MacMillan, New York.

Voci correlate

• Azione
• Calcolo delle variazioni
• Equazioni di Hamilton
• Equazioni di Eulero-Lagrange
• Meccanica hamiltoniana
• Meccanica lagrangiana
• Metodo variazionale
• Principio di Fermat
• Principio di Maupertuis
• Principio variazionale di Hamilton
• Teorema di Noether
• Teoria di Hamilton-Jacobi

Portale Matematica

Portale Meccanica