Scalare di Lorentz

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In fisica uno scalare di Lorentz, o invariante di Lorentz, è una grandezza scalare invariante sotto una trasformazione di Lorentz. Uno scalare di Lorentz è generato da scalari, vettori, tensori. Mentre i vettori e i tensori vengono modificati da una trasformazione di Lorentz, gli scalari no.

Introduzione[modifica | modifica sorgente]

La teoria della relatività ristretta è costruita sulle due ipotesi dell'equivalenza dei sistemi di riferimento inerziali e della costanza della velocità della luce (ovvero tutti i sistemi di riferimento inerziali sono indistinguibili fra di loro e in ognuno di essi la velocità della luce nel vuoto è la stessa, e viene indicata con c). Da questi principi segue che la quantità {s}^{2}={c}^{2}{t}^{2}-{x}^{2}-{y}^{2}-{z}^{2}, chiamata "intervallo", assume lo stesso valore in tutti i sistemi di riferimento inerziali; ogni quantità che possiede questa proprietà è detta essere invariante di Lorentz.

L'invarianza di {s}^{2} induce a considerare, in luogo di un spazio quadridimensionale di tipo euclideo, uno spazio a quattro dimensioni (Spazio di Minkowski o spazio-tempo) i cui elementi sono quadruple (ct,x,y,z), che definiscono le coordinate di un evento; in tale spazio è definita una metrica che, nelle coordinate ct,x,y,z (i vettori spaziali della base sono presi ortogonali), assume la forma

g^{\mu \nu} = g_{\mu \nu} = \begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}

e che descrive la geometria dello spazio-tempo così come la metrica euclidea descriveva la geometria dello spazio tridimensionale nella fisica pre-relativistica; questo tensore è detto di tipo tempo, essendo il suo determinante di segno concorde alla componente temporale. A volte è usata la metrica di Minkowski in cui è cambiato il segno.

g^{\mu\nu} =g_{\mu\nu} = \begin{pmatrix}
-1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}.

Questo tensore è dunque di tipo spazio.

Con questa metrica possiamo vedere facilmente che il nostro {s}^{2} coincide con il modulo quadro del vettore x^{\mu}=(ct,x,y,z), inteso come prodotto scalare del vettore con sé stesso:

{s}^{2} = x^\mu x_\mu = x^\mu g_{\mu \nu} x^\nu = \sum_{\mu ,\nu =0}^{3}{x}^{\mu}{\eta}_{\mu \nu}{x}^{\nu}={x}^{\mu}{\eta}_{\mu \nu}{x}^{\nu},

dove {x}^{\mu} è la μ-esima coordinata del quadri-vettore, con μ da 0 a 3; inoltre per scrivere l'ultimo termine si è usata la convenzione di Einstein di somma sugli indici ripetuti.

Le trasformazioni di Lorentz, che sono quelle che descrivono la trasformazione delle quantità fisiche nel passaggio da un sistema di riferimento inerziale all'altro, sono le uniche trasformazioni lineari omogenee che lasciano immutato l'intervallo {s}^{2} di un evento (si dice anche che lasciano invariata la metrica dello spazio) e questo giustifica il fatto che l'intervallo, come detto precedentemente, è un invariante di Lorentz. Le trasformazioni non lineari delle coordinate sono escluse dalla teoria in quanto non soddisfano l'ipotesi dell'indistinguibilità dei sistemi di riferimento inerziali. Le trasformazioni di Lorentz omogenee formano un gruppo detto gruppo di Lorentz; a queste ultime si possono aggiungere le trasformazioni non omogenee, generando un nuovo gruppo detto gruppo di Poincaré.

Esempi di semplici scalari in relatività speciale[modifica | modifica sorgente]

La lunghezza del vettore posizione[modifica | modifica sorgente]

In relatività speciale la posizione di una particella nello spaziotempo quadrimensionale è data da

 x^{\mu} = (ct, \mathbf{x} )

dove \mathbf{x} = \mathbf{v} t è la posizione della particella nello spazio tridimensionale, \mathbf{v} è la velocità nello spazio tridimensionale e  c è la velocità della luce.

La "lunghezza" del vettore è uno scalare di Lorentz ed è dato da

 x_{\mu} x^{\mu} = g_{\mu \nu} x^{\mu} x^{\nu} =  (ct)^2 -  \mathbf{x} \cdot \mathbf{x} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  \tau^2

dove   \tau è c volte il tempo proprio misurato da un orologio nel sistema di riferimento fermo rispetto alla particella.

La lunghezza del vettore velocità[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi trasformazioni di Lorentz.

Passando da un sistema inerziale S ad un altro sistema inerziale S* con velocità relativa \vec v rispetto al primo, il quadrivettore posizione si modifica come segue:

\begin{cases}
t' = \gamma \left(t - \frac{v}{c^{2}}x \right) \\
x' = \gamma \left(x - v t \right) \\
y' = y \\
z' = z \end{cases}

Differenziando:

\begin{cases}
dt' = \gamma \left(dt - \frac{v}{c^{2}}dx \right) \\
dx' = \gamma \left(dx - v dt \right) \\
dy' = dy \\
dz' = dz \end{cases}

Infine, tenendo conto della definizione di velocità, abbiamo che:

\begin{cases}
{u'_x}=\frac{dx'}{dt'}=\frac{\gamma (dx-vdt)}{\gamma (dt-\frac{v}{c^2}dx)}=\frac{u_x-v}{1-\frac{vu_x}{c^2}}\,\\
{u'_y}=\frac{dy'}{dt'}=\frac{dy}{\gamma (dt-\frac{v}{c^2}dx)}=\frac{u_y\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}{1-\frac{vu_x}{c^2}}\,\\
{u'_z}=\frac{dz'}{dt'}=\frac{dz}{\gamma (dt-\frac{v}{c^2}dx)}=\frac{u_z\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}{1-\frac{vu_x}{c^2}} \end{cases}

Energia, massa a riposo, quadrimpulso[modifica | modifica sorgente]

Definendo l'energia E come E=\gamma mc^2 si dimostra facilmente il teorema dell'energia cinetica:

\frac{dE}{dt}=\vec v\cdot \vec F.

Espandendo l'energia E in serie di Taylor per piccoli \frac {v}{c} otteniamo:

E=\gamma m c^2=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} m c^2=
=\left(1+\frac{1}{2} \frac{v^2}{c^2}+\frac{3}{8} \frac{v^4}{c^4}+.....\right) m c^2=
=mc^2 +\frac{1}{2} m v^2+\frac{3}{8} m \frac{v^4}{c^2}+....

L'energia, approssimata al second'ordine, risulta essere formata da una componente costante mc^2 dipendente solo dalla massa del corpo e dal termine \frac{1}{2} m v^2, uguale all'energia cinetica della meccanica newtoniana. L'energia E è quindi la naturale estensione dell'energia cinetica "classica". Questa formula, la più conosciuta della Fisica, dice in sostanza che l'energia può trasformarsi in massa e viceversa: in sintesi, energia e massa sono la stessa cosa.

Questo principio è quello che si verifica nella fissione nucleare, dove per esempio una massa di 10 grammi di uranio, si trasforma in 900.000 miliardi di joule di energia. Tale principio è usato nelle centrali nucleari per produrre energia, ma anche nelle bombe atomiche.

Nella relatività ristretta, il quadrimpulso è la generalizzazione quadrivettoriale della quantità di moto della meccanica classica, cioè è un vettore dello spaziotempo quadrimensionale sempre tangente alla linea d'universo di una particella, cioè tangente alla sua traiettoria nello spaziotempo. Come ogni quadrivettore, è possibile distinguere le componenti spaziali da quella temporale: in un sistema di coordinate ortonormali la parte spaziale del quadrimpulso è formata dalle componenti dell'ordinaria quantità di moto moltiplicata per il fattore di Lorentz, mentre la parte temporale è data dall'energia della particella divisa la velocità della luce.

Data una particella con velocità \vec v=(v_x,v_y,v_z), il corrispondente quadrimpulso p è dato da[1]:

p^\mu= 
\begin{pmatrix}
p^0 \\ p^1 \\ p^2 \\ p^3 
\end{pmatrix} := m u^\mu = \gamma m
\begin{pmatrix}
c \\ v^x \\ v^y \\ v^z
\end{pmatrix} = 
\begin{pmatrix}
\gamma mc \\ \gamma p^x \\ \gamma p^y \\ \gamma p^z
\end{pmatrix}

dove:

Nella meccanica relativistica abbiamo una relazione notevole che lega massa a riposo di un corpo, la sua energia e la sua quantità di moto. Dalla definizione di energia abbiamo:

E=cP_0=\gamma mc^2 =\frac{mc^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \quad \Rightarrow \quad P_0=\frac{E}{c}

dove γ è il fattore di Lorentz. Le componenti spaziali Pα del quadrimpulso sono invece:

P_{\alpha}=\gamma m v_{\alpha}

D'altra parte il vettore è uno scalare m per una quadrivelocità: la norma quadra di un tale quadrivettore vale sempre -m2c2[2], perciò, chiamando p la norma euclidea del vettore tridimensionale quantità di moto (cioè l'intensità dell'usuale quantità di moto moltiplicata per il fattore γ):

|\mathbf{P}|^2=-P_0^2+\sum_{\alpha}P_{\alpha}^2=-P_0^2+p^2=-m^2c^2

Sostituendo nell'ultima equazione quelle precedenti otteniamo l'equazione cercata:

-\frac{E^2}{c^2}+p^2=-(mc)^2 \quad \rightarrow \quad E^2-(pc)^2=(mc^2)^2 \quad \rightarrow \quad m= \sqrt{\frac{E^2-(pc)^2}{c^4}}

Da questa equazione si nota come anche particelle con massa nulla possano avere energia/quantità di moto diverse da zero. Nella meccanica classica invece una forza piccola a piacere produrrebbe un'accelerazione infinita su una ipotetica particella di massa nulla ma la sua energia cinetica e quantità di moto resterebbero pari a zero. Invece all'interno della relatività ristretta quando m = 0, la relazione si semplifica in:

E = pc.

Per esempio, per un fotone si ha E=h\nu, dove ν è la frequenza del fotone: la quantità di moto del fotone è quindi pari a:

p=\frac{h\nu}{c}.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

Einstein, A., Relativity: The Special and General Theory, New York, Crown, 1961. ISBN 0-517-02961-8.
Misner, Charles; Thorne, Kip S. & Wheeler, John Archibald, Gravitation, San Francisco, W. H. Freeman, 1973. ISBN 0-7167-0344-0.
Landau, L. D. and Lifshitz, E. M., Classical Theory of Fields (Fourth Revised English Edition), Oxford, Pergamon, 1975. ISBN 0-08-018176-7.

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ Convenzioni: in questa pagina si usa una segnatura (-,+,+,+). I quadrivettori sono indicati dal grassetto mentre i vettori tridimensionali da una freccia (es. \vec v). Le componenti di quadrivettori hanno apici e pedici con lettere greche (l'indice va da 0 a 3), mentre le componenti della parte spaziale di un quadrivettore hanno lettere latine (l'indice va da 1 a 3). Gli apici x, y, z sono riservati alle componenti di grandezze vettoriali classiche come la velocità o la quantità di moto. Attenzione a non confondersi tra l'elevamento al quadrato e la seconda componente di un vettore.
  2. ^ Qui si usa la convenzione sui segni della metrica (-,+,+,+).