Teoria di Hamilton-Jacobi

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In matematica, in particolare nell'ambito del calcolo variazionale, la teoria di Hamilton-Jacobi, il cui nome è dovuto a William Rowan Hamilton e Carl Jacobi, è una formulazione della meccanica classica utilizzata in particolare nella determinazione delle costanti del moto di un sistema dinamico.

Tale teoria studia la risoluzione delle equazioni di Hamilton ricercando un'opportuna funzione generatrice che determini una trasformazione canonica tale che, nelle nuove coordinate, l'hamiltoniana del sistema sia nulla.

Equazione di Hamilton–Jacobi[modifica | modifica sorgente]

L'equazione di Hamilton–Jacobi è un'equazione differenziale alle derivate parziali non lineare del primo ordine che ha la forma:[1]

 H + \frac{\partial S}{\partial t}=0

La funzione:

H = H\left(q_1,\cdots,q_N;\frac{\partial S}{\partial q_1},\cdots,\frac{\partial S}{\partial q_N};t\right)

è l'hamiltoniana classica del sistema, mentre:

S = S(q_1,q_2\cdots q_N, t)

è detta funzione principale di Hamilton, ed è equivalente all'azione hamiltoniana a meno di una costante arbitraria. Le funzioni \mathbf q = (q_1,q_2,\dots,q_N) sono le coordinate generalizzate che definiscono lo spazio delle configurazioni del sistema, mentre t è il parametro temporale.

Tale equazione si ricava dalla meccanica hamiltoniana trattando S come la funzione generatrice di una trasformazione canonica dell'hamiltoniana classica:

H = H(q_1,q_2\cdots q_N;p_1,p_2\cdots p_N;t).

La funzione principale di Hamilton contiene N + 1 costanti da determinare, di cui N denotate con \alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_N e la restante ottenuta integrando \scriptstyle \partial S/\partial t .

I momenti coniugati sono definiti come:

p_k = \frac{\partial S}{\partial q_k} \qquad \bold{p} = \frac{\partial L}{\partial \bold{\dot{q}}} = (p_1, p_2\cdots p_N)

e le quantità:

\beta_k=\frac{\partial S}{\partial\alpha_k} \quad k=1,2 \cdots N

sono costanti del moto.[2]

Derivazione[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Trasformazione canonica e equazioni di Hamilton.

Una trasformazione canonica definita attraverso una funzione generatrice G_2 (\bold{q},\bold{P},t) conduce alle seguenti relazioni:


\bold{p} = {\partial G_2 \over \partial \bold{q}} \qquad
\bold{Q} = {\partial G_2 \over \partial \bold{P}} \qquad
K(\bold{Q},\bold{P},t) = H(\bold{q},\bold{p},t) + {\partial G_2 \over \partial t}

Le equazioni di Hamilton espresse per mezzo delle variabili \bold{P} e \bold{Q} hanno la forma:

 {d\bold{P} \over dt} = -{\partial K \over \partial \bold{Q}}
\qquad {d\bold{Q} \over dt} = +{\partial K \over \partial \bold{P}}

Le equazioni Hamilton–Jacobi si ottengono scegliendo una funzione generatrice G_2 (\bold{q},\bold{P},t) che annulla l'hamiltoniana K. Di conseguenza, le derivate devono essere nulle e le equazioni di Hamilton hanno la forma:

{d\bold{P} \over dt} = {d\bold{Q} \over dt} = 0

Le coordinate generalizzate introdotte ed i rispettivi momenti sono costanti del moto. Imponendo che la funzione generatrice sia la funzione principale di Hamilton sommata ad una costante arbitraria:

G_2(\bold{q},\boldsymbol{\alpha},t)=S(\bold{q},t)+A,

si giunge alle equazioni Hamilton–Jacobi, in quanto:

\bold{p}=\frac{\partial G_2}{\partial \bold{q}}=\frac{\partial S}{\partial \bold{q}}

da cui:

H(\bold{q},\bold{p},t) + {\partial G_2 \over \partial t}=0

e dunque:

H\left(\bold{q},\frac{\partial S}{\partial \bold{q}},t\right) + {\partial S \over \partial t}=0

In modo equivalente, la funzione principale di Hamilton è definita nel seguente modo:

 S((q,t)|_{t_1,t_2}) = \int_{t_1}^{t_2} \left( \sum_{i=1}^{n} p_i(\tau) \frac{dq_i(\tau)}{d\tau} - H(q(\tau),p(\tau),\tau) \right) \ d\tau

La soluzione di tale integrale è possibile conoscendo l'equazione del moto del sistema. Se si vuole calcolare l'integrale considerando uno spostamento virtuale delle coordinate \delta q per una variazione virtuale del tempo \delta t, questo corrisponde ad una variazione:

\delta S((q,t)|_{t_1,t_2}) = \sum_{i=1}^{n} p_i(t_2) \delta q_i(t_2) - H(q(t_2),p(t_2),t_2) \ \delta t_2 - \sum_{i=1}^{n} p_i(t_1) \delta q_i(t_1) + H(q(t_1),p(t_1),t_1) \ \delta t_1 = 0

In accordo con il Principio variazionale di Hamilton, tale variazione deve essere nulla affinché l'azione sia stazionaria. Sapendo che S è una funzione di (q_i(t_1),t_1), (q_i(t_2),t_2), e che quindi la sua variazione è anche pari a:

 \delta S = \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial S}{\partial q_i(t_2)} \delta q_i(t_2) + \frac{\partial S}{\partial t_2} \delta t_2 + \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial S}{\partial q_i(t_1)} \delta q_i(t_1) + \frac{\partial S}{\partial t_1} \delta t_1 = 0

Si possono uguagliare termine a termine le due espressioni tra due istanti di tempo t,t_0, ottenendo le equazioni di Hamilton-Jacobi:

\frac{\partial S}{\partial q_i(t)} = p_i \qquad \frac{\partial S}{\partial q_i(t_0)} = -p_i(t_0)
\frac{\partial S}{\partial t} = -H(q_i(t),p_i(t),t) \qquad \frac{\partial S}{\partial t_0} = H(q_i(t_0),p_i(t_0),t_0)

Funzione principale di Hamilton[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Azione (fisica).

Il differenziale totale di S è:

 \mathrm{d}S =\sum_i \frac{\partial S}{\partial q_i} \mathrm{d}q_i + \frac{\partial S}{\partial t}\mathrm{d}t

e dunque la derivata totale è data da:

\frac{\mathrm{d}S}{\mathrm{d}t} =\sum_i\frac{\partial S}{\partial q_i}\dot{q}_i+\frac{\partial S}{\partial t} =\sum_ip_i\dot{q}_i-H = L

Si ha quindi:

S=\int L\,\mathrm{d}t ,

Si ottiene che S è l'azione classica più una costante da determinare. Se H non dipende esplicitamente dal tempo si ha:

W=S+Et=S+Ht=\int(L+H)\,\mathrm{d}t=\int\bold{p}\cdot\mathrm{d}\bold{q},

ed in tal caso W è equivalente all'azione ridotta.

Funzione caratteristica di Hamilton[modifica | modifica sorgente]

Se l'hamiltoniana non dipende esplicitamente dal tempo si può dividere l'equazione di hamilton-Jacobi in due parti:

H\left(q_i,\frac{\partial S}{\partial q_i}\right) + \frac{\partial S}{\partial t} = 0

Nella prima parte si ha la sola dipendenza dalla variabile q, mentre nella seconda vi è solo dipendenza dal tempo. La soluzione allora ha la forma:

 \ S(q_i,\frac{\partial S}{\partial q_i},t) = W \left(q_i,\frac{\partial S}{\partial q_i}\right) - \frac{\partial S}{\partial q_1} \cdot t

dove:

p_i = \frac{\partial S}{\partial q_i} = c_i

con c_i costante. La funzione W(q_i, c_i, t) è chiamata funzione caratteristica di Hamilton.

La derivata parziale:

\frac{\partial S}{\partial q_1} = c_1 = H

è pari all'Hamiltoniana H. In tal caso le equazioni del moto diventano:

 \ \dot Q_i = \frac{\partial K}{\partial P_i} = c_i
 \ \dot P_i = -\frac{\partial K}{\partial Q_i} = 0

le cui soluzioni non sono costanti:

 Q_i = c_i t + d_i \qquad P_i = e_i

con d_i, e_i condizioni iniziali.

Variabili azione-angolo e moti periodici[modifica | modifica sorgente]

In un sistema meccanico si può verificare la presenza di moti periodici per le coordinate prese individualmente. Una condizione restrittiva (ma piuttosto comoda) per cui ciò avvenga è che durante il moto le coordinate non si "disturbino" a vicenda, per cui si suppone che le equazioni di Hamilton non risultino accoppiate, e la Hamiltoniana si possa esprimere come una somma di termini funzioni di una sola coppia di coordinate e momenti:

H(\mathbf{q},\mathbf{p})=\sum_{i}H_i (q_i,p_i)

che in questo caso si può esprimere con la funzione caratteristica di Hamilton, che a sua volta deve essere separabile in una somma analoga:

W(\mathbf{q},\nabla_\mathbf{q} S)=\sum_{i}W_i (q_i,S_{q_i})

dunque risulta:

H(\mathbf{q},\nabla_{\mathbf{q}} S)=\sum_{i}H_i (q_i,S_{q_i})=c_1

Di conseguenza il problema si riduce allo studio delle singole coordinate. Se esse presentano moti periodici di rotazione o librazione (nel primo caso si ha p_i(q_i) periodica, mentre nel secondo si ha che in un certo intervallo di tempo la curva (q_i(t),p_i(t)) deve essere chiusa) si possono definire le variabili d'azione:

J_i = \frac{1}{2\pi}\oint_{\gamma_i} p_i \mathrm{d}q_i

l'indipendenza delle quali è di verifica immediata. Qeste nuove variabili sono costanti, e si possono assumere come nuovi momenti, per cui dalla funzione caratteristica si possono ricavare le nuove coordinate, dette variabili angolo:

\mathbf{w} = \nabla_{\mathbf{J}} W

e dalle equazioni di Hamilton:

\dot{\mathbf{w}}=\nabla_\mathbf{J} H

Si nota che queste equazioni ammettono un'integrazione immediata. Essendo le coordinate cicliche il secondo membro sarà una certa funzione (costante) delle J_i, per cui:

w_i=\omega_i(J_i)t + \beta_i

Dalla definizione delle variabili angolo si può andare a considerare la variazione della variabile quando ogni coordinata q_i descrive un periodo completo:

\Delta_T w_{i}(t) = \sum_j \oint_{\gamma_i} \frac{\partial w_i}{\partial q_j} \mathrm{d}q_j

è chiaro che dall'indipendenza delle variabili postulata in precedenza i termini j \neq i sono nulli, per cui rimane un integrale solo, e dalla definizione delle variabili angolo risulta immediatamente che:

\Delta_T w_{i}(t) = \oint_{\gamma_i} \frac{\partial w_i}{\partial q_i} \mathrm{d}q_i = \frac{\partial}{\partial J_i} \oint p_i \mathrm{d}q_i = 2\pi

vale la relazione (la prima uguaglianza non è ovvia):

\Delta_T w_{i}(t) = w_i (t+T_i) - w_i (t) = \omega_i (J_i)T_i = 2\pi

e le \omega_i non rappresentano altro che le pulsazioni dei moti periodici, poiché:

\omega_i = \frac{2\pi}{T_i}

In realtà il discorso può essere generalizzato ed esteso a condizioni meno restrittive, definendo in modo "meno generoso" le variabili azione (che coinciderebbe con quanto discusso nel momento in cui si è nel caso separabile), e con questi elementi si arriverebbe a parlare di tori invarianti, che sono fra i vari protagonisti della teoria di Kolmogorov-Arnold-Moser.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ Analytical Mechanics, L.N. Hand, J.D. Finch, Cambridge University Press, 2008, ISBN 978-0-521-57572-0
  2. ^ Herbert Goldstein, Classical Mechanics, 2nd ed. (Reading, Mass.: Addison-Wesley, 1981), p. 440.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • W. Hamilton, On a General Method of Expressing the Paths of Light, and of the Planets, by the Coefficients of a Characteristic Function in Dublin University Review, 1833, pp. 795–826.
  • W. Hamilton, On the Application to Dynamics of a General Mathematical Method previously Applied to Optics in British Association Report, 1834, pp. 513–518.
  • H. Goldstein, Classical Mechanics, Addison Wesley, 2002, ISBN 0-201-65702-3.
  • A. Fetter e J. Walecka, Theoretical Mechanics of Particles and Continua, Dover Books, 2003, ISBN 0-486-43261-0.
  • L. D. Landau e L. M. Lifshitz, Mechanics, Amsterdam, Elsevier, 1975.
  • J. J. Sakurai, Modern Quantum Mechanics, Benjamin/Cummings Publishing, 1985, ISBN 0-8053-7501-5.

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]