Derivata totale

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Nel calcolo differenziale, la derivata totale di una funzione di più variabili è la derivata della funzione che tiene conto della dipendenza reciproca delle variabili stesse. In altri termini, la derivata totale di una funzione rispetto ad una delle variabili prende in considerazione la dipendenza delle altre variabili dalla variabile rispetto alla quale si deriva.

Ad esempio, la derivata totale di f(t,x,y) rispetto a t è:

\frac{\operatorname df}{\operatorname dt}=\frac{\partial f}{\partial t} \frac{\operatorname dt}{\operatorname dt} + \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\operatorname dx}{\operatorname dt} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\operatorname dy}{\operatorname dt}

dove vi è la semplificazione:

\frac{\partial f}{\partial t} \frac{\operatorname dt}{\operatorname dt} = \frac{\partial f}{\partial t}

Moltiplicando per \operatorname dt, si ottiene il differenziale \operatorname df di f:

{\operatorname df}=\frac{\partial f}{\partial t}\operatorname dt + \frac{\partial f}{\partial x} \operatorname dx + \frac{\partial f}{\partial y} \operatorname dy

Si tratta di una forma differenziale esatta.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Si consideri una funzione f(t, p_1, \dots , p_n) dipendente da t e da n variabili p_i che a loro volta dipendono da t. La derivata totale di f rispetto a t è:

\frac{\operatorname d}{\operatorname d t} f \bigl(t, p_1(t), \ldots, p_n(t)\bigr)
= \frac{\partial f}{\partial t} + \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial p_i}\frac{\operatorname{d}p_i}{\operatorname{d}t}
= \biggl(\frac{\partial}{\partial t} + \sum_{i=1}^n \frac{\operatorname{d}p_i}{\operatorname{d}t}\frac{\partial}{\partial p_i}\biggr)f

Più formalmente, siano A un sottoinsieme aperto di \mathbb{R}^k e x_1(t), x_2(t),\dots,x_k(t) funzioni definite nell'intervallo (a,b) \in \mathbb{R}. Data una funzione f:A\to\mathbb{R}, se:

\bold{x}(t) = (x_1(t), x_2(t),\dots,x_k(t))\in A \qquad \forall t\in (a,b)

si può definire una funzione F:(a,b)\to \mathbb{R} data da:

F(t) \equiv f(\bold{x}(t)) \qquad \forall t\in (a,b)

ed è possibile mostrare che se le tutte le funzioni x_i(t) sono derivabili nel punto t_0 \in (a,b) e se f è differenziabile nel punto \bold{x}(t_0) \in A allora F è derivabile in t_0 e si ha:

F'(t_0) = \sum_{i=1}^k f_{x_i}(\bold x(t_0))x'_i(t_0)

Ponendo k=4 e:

x_1(t)=x(t) \qquad x_2(t)=y(t) \qquad x_3(t)=z(t) \qquad x_4(t)=t

l'ultima espressione diviene:

F'(t_0) =  \left(\frac{\operatorname d}{\operatorname dt}f(x(t),y(t),z(t),t)\right)_{t=t_0} = \left(\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t} +\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial t} + \frac{\partial f}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial t}+\frac{\partial f}{\partial t}\right)_{t=t_0}

Applicazione in fisica[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Derivata materiale.

In fisica, in particolare in meccanica del continuo, nell'equazione di Boltzmann e nelle equazioni di Maxwell, si utilizzano spesso le coordinate lagrangiane: si è interessati a conoscere la derivata totale temporale di una grandezza fisica f associata al fluido che occupa un punto materiale non fisso (x,y,z) all'istante t. Considerando quindi una funzione  f = f(x,y,z,t), il suo differenziale è:

 \operatorname df={\partial f\over\partial x}\operatorname dx+{\partial f\over\partial y}\operatorname dy+{\partial f\over\partial z}\operatorname dz+{\partial f\over\partial t}\operatorname dt

La derivata totale di f rispetto al tempo vale:

\frac{d}{dt}f(x(t),y(t),z(t),t)= \frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t} +\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial t} + \frac{\partial f}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial t}+\frac{\partial f}{\partial t}=\frac{\partial f}{\partial x}u(t) +\frac{\partial f}{\partial y}v(t) + \frac{\partial f}{\partial z}w(t)+\frac{\partial f}{\partial t}

dove \mathbf{v}(t)=(u(t),\, v(t),\, w(t)) è la velocità delle particelle.

Se si descrive il moto del fluido con un campo vettoriale \mathbf v (\mathbf x, t), che associa ad ogni punto \mathbf x la velocità \mathbf v delle particelle al tempo t, indicando con \nabla le sole componenti spaziali del gradiente, la precedente espressione diviene:

\frac{\operatorname df}{\operatorname dt} = \frac{\partial f}{\partial t} + \mathbf{v} \cdot \nabla f

e viene detta derivata materiale del campo scalare f. La derivata parziale \partial f / \partial t è il termine di sorgente, e tiene conto della non stazionarietà del campo di moto del flusso che sussiste quando le varie grandezze sono tutte funzioni esplicite del tempo. Se il moto è stazionario allora \partial f / \partial t =0 e le varie grandezze non dipendono esplicitamente dal tempo. Il prodotto scalare {\mathbf{v} \cdot \nabla f} è il termine convettivo, e tiene conto della variazione di una grandezza per una particella che è trasportata attraverso un gradiente di velocità. La particella sarà sottoposta ad una variazione di grandezza solo se il prodotto scalare non sarà nullo, ossia solo se la velocità della particella non sarà perpendicolare alla direzione del gradiente della grandezza.

Più in generale, se invece del campo scalare f si ha un campo vettoriale \mathbf u (\mathbf x, t), la sua derivata materiale è:

\frac{D\mathbf{u}}{Dt} = \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot\nabla \mathbf{u}

dove \nabla \mathbf{u} è la derivata covariante di \mathbf{u}.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]