Derivata totale

Nel calcolo differenziale la derivata totale di una funzione di più variabili è la derivata della funzione che tiene conto della dipendenza reciproca delle variabili stesse. In altri termini la derivata totale di una funzione rispetto ad una delle variabili prende in considerazione la dipendenza delle altre variabili dalla variabile rispetto alla quale si deriva.

Ad esempio, la derivata totale di $f(t,x,y)$ rispetto a $t$ è:

$\frac{\operatorname df}{\operatorname dt}=\frac{\partial f}{\partial t} \frac{\operatorname dt}{\operatorname dt} + \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\operatorname dx}{\operatorname dt} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\operatorname dy}{\operatorname dt}$

dove vi è la semplificazione:

$\frac{\partial f}{\partial t} \frac{\operatorname dt}{\operatorname dt} = \frac{\partial f}{\partial t}$

Moltiplicando per $\operatorname dt$ si ottiene il differenziale $\operatorname df$ di $f$:

${\operatorname df}=\frac{\partial f}{\partial t}\operatorname dt + \frac{\partial f}{\partial x} \operatorname dx + \frac{\partial f}{\partial y} \operatorname dy$

Si tratta di una forma differenziale.

Definizione

Sia consideri una funzione $f(t, p_1, \dots , p_n)$ dipendente da $t$ e da n variabili $p_i$ che a loro volta dipendono da $t$. La derivata totale di $f$ rispetto a $t$ è:

$\frac{\operatorname d}{\operatorname d t} f \bigl(t, p_1(t), \ldots, p_n(t)\bigr) = \frac{\partial f}{\partial t} + \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial p_i}\frac{\operatorname{d}p_i}{\operatorname{d}t} = \biggl(\frac{\partial}{\partial t} + \sum_{i=1}^n \frac{\operatorname{d}p_i}{\operatorname{d}t}\frac{\partial}{\partial p_i}\biggr)f$

Più formalmente, siano $A$ un sottoinsieme aperto di $\mathbb{R}^k$ e $x_1(t), x_2(t),\dots,x_k(t)$ funzioni definite nell'intervallo $(a,b) \in \mathbb{R}$. Data una funzione $f:A\to\mathbb{R}$, se:

$\bold{x}(t) = (x_1(t), x_2(t),\dots,x_k(t))\in A \qquad \forall t\in (a,b)$

si può definire una funzione $F:(a,b)\to \mathbb{R}$ data da:

$F(t) \equiv f(\bold{x}(t)) \qquad \forall t\in (a,b)$

ed è possibile mostrare che se le tutte le funzioni $x_i(t)$ sono derivabili nel punto $t_0 \in (a,b)$ e se $f$ è differenziabile nel punto $\bold{x}(t_0) \in A$ allora $F$ è derivabile in $t_0$ e si ha:

$F'(t_0) = \sum_{i=1}^k f_{x_i}(\bold x(t_0))x'_i(t_0)$

Ponendo $k=4$ e:

$x_1(t)=x(t) \qquad x_2(t)=y(t) \qquad x_3(t)=z(t) \qquad x_4(t)=t$

l'ultima espressione diviene:

$F'(t_0) = \left(\frac{\operatorname d}{\operatorname dt}f(x(t),y(t),z(t),t)\right)_{t=t_0} = \left(\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t} +\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial t} + \frac{\partial f}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial t}+\frac{\partial f}{\partial t}\right)_{t=t_0}$

Applicazione in meccanica del continuo

In meccanica del continuo, in cui si utilizzano solitamente coordinate euleriane e lagrangiane, si è interessati a conoscere la derivata totale temporale di una grandezza fisica associata al fluido che occupa un punto materiale non fisso $(x,y,z)$ all'istante $t$. Considerando allora una grandezza fluidodinamica $f = f(x,y,z,t)$, il suo differenziale è:

$\operatorname df={\partial f\over\partial x}\operatorname dx+{\partial f\over\partial y}\operatorname dy+{\partial f\over\partial z}\operatorname dz+{\partial f\over\partial t}\operatorname dt$.

La derivata totale di $f$ rispetto al tempo vale:

$\frac{d}{dt}f(x(t),y(t),z(t),t)= \frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t} +\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial t} + \frac{\partial f}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial t}+\frac{\partial f}{\partial t}=\frac{\partial f}{\partial x}u(t) +\frac{\partial f}{\partial y}v(t) + \frac{\partial f}{\partial z}w(t)+\frac{\partial f}{\partial t}$

dove $\mathbf{v}(t)=(u(t),\, v(t),\, w(t))$ è la velocità delle particelle.

Considerando il caso semplice di un sistema cartesiano e utilizzando l'operatore nabla la precedente espressione diviene, indicando con $\nabla$ solo le componenti spaziali del gradiente:

$\frac{\operatorname df}{\operatorname dt} = \frac{\partial f}{\partial t} + \nabla f \cdot \mathbf{v}$

La derivata parziale $\partial f / \partial t$ è il termine di sorgente, e tiene conto della non stazionarietà del campo di moto del flusso che sussiste quando le varie grandezze sono tutte funzioni esplicite del tempo. Se il moto è stazionario allora $\partial f / \partial t =0$ e le varie grandezze non dipendono esplicitamente dal tempo.

Il prodotto scalare ${\mathbf{v} \cdot \nabla f}$ è il termine convettivo, e tiene conto della variazione di una grandezza per una particella che è trasportata attraverso un gradiente di velocità. La particella sarà sottoposta ad una variazione di grandezza solo se il prodotto scalare non sarà nullo, ossia solo se la velocità della particella non sarà perpendicolare alla direzione del gradiente della grandezza.

Bibliografia

• (EN) Gerald Jay Sussman, Jack Wisdom Structure and Interpretation of Classical Mechanics, 526 pp., MIT Press, 2001, ISBN 9780262194556
• (EN) Ira M. Cohen, Pijush K. Kundu: Fluid Mechanics, 4th edition, Academic Press, ISBN 978-0-12-373735-9
• (EN) Michael Lai, Erhard Krempl, David Ruben: Introduction to Continuum Mechanics, 4th edition, Elsevier, ISBN 978-0-7506-8560-3

Voci correlate

• Derivata direzionale
• Derivata parziale
• Gradiente
• Nabla
• Divergenza
• Laplaciano

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Total Derivative su MathWorld.
• (EN) http://www.sv.vt.edu/classes/ESM4714/methods/df2D.html

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