Azione (fisica)

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In fisica, in particolare nella meccanica hamiltoniana e lagrangiana, l'azione è uno scalare che ha le dimensioni di una energia per un tempo. Si tratta di uno strumento che permette di studiare il moto di un sistema dinamico, ed è utilizzato in meccanica classica, nell'elettromagnetismo, nella meccanica relativistica e nella meccanica quantistica.

L'azione è definita come un funzionale che agisce sullo spazio delle configurazioni e restituisce numeri reali. Nel caso si consideri un'azione che sia locale, essa deve essere definita attraverso un'integrale. In generale, lo spazio delle configurazioni non deve essere necessariamente uno spazio funzionale, in quanto si possono trattare oggetti come le geometrie non commutative.

Storia[modifica | modifica sorgente]

Il concetto di azione è stato introdotto da Maupertuis per sistemi scleronomi nel 1746, intendendo l'integrale dell'energia cinetica T tra due istanti t_1 e t_2 dell'evoluzione temporale del sistema:

 \mathcal A=\int_{t_1}^{t_2} 2 \, T(x(t),\dot{x}(t),t) \operatorname dt,

Questa quantità viene chiamata azione ridotta, in quanto nei sistemi scleronomi l'energia cinetica è pari alla metà dell'integrale di Hamilton, e viene espressa come integrale temporale dell'integrale di Hamilton:

\mathcal A = \int_{t_1}^{t_2}  \mathbf p \cdot \mathbf \dot q \ \operatorname dt = \int_{q_1}^{q_2}  \mathbf p \cdot \operatorname d \mathbf q.

Eulero, nel testo Riflessioni su alcune leggi generali della natura del 1748, definisce sforzo come l'integrale temporale dell'opposto dell'energia potenziale V:

 \mathcal E=-\int_{t_1}^{t_2} V(x(t),t) \operatorname dt

Hamilton, alla luce della trattazione di Lagrange della meccanica analitica, unificò le due definizioni precedenti in una più generale che tenesse conto di entrambi i contributi, e che portasse alle medesime conclusioni della meccanica newtoniana. Egli definì l'azione nel seguente modo:

 \mathcal S = \frac 1 2 \mathcal A + \mathcal E .

Definizione[modifica | modifica sorgente]

In fisica esistono diverse definizioni di azione.[1][2] Solitamente si fa corrispondere all'azione un integrale rispetto al tempo ed eventualmente rispetto ad un insieme di variabili spaziali, e talvolta l'integrale viene effettuato lungo la curva percorsa dal sistema considerato nello spazio delle configurazioni. In meccanica lagrangiana ed hamiltoniana è solitamente definita come l'integrale nel tempo di una funzione caratteristica del sistema meccanico considerato, la lagrangiana, valutato tra gli istanti iniziali e finali dell'evoluzione temporale del sistema tra due posizioni.

La principale motivazione nel definire il concetto di azione risiede nel principio variazionale di Hamilton,[3] secondo il quale ogni sistema meccanico è caratterizzato dal fatto che la sua evoluzione temporale tra due posizioni nello spazio minimizza l'azione. Nell'ambito del calcolo delle variazioni tale enunciato si esprime dicendo che l'evoluzione temporale di un sistema fisico fra due istanti dello spazio delle configurazioni è un punto stazionario per l'azione, solitamente un punto di minimo, per piccole perturbazioni della traiettoria percorsa. Il principio variazionale permette in questo modo di riformulare le equazioni del moto, in genere equazioni differenziali, attraverso un'equivalente equazione integrale.

Se l'azione \mathcal{S} può essere espressa attraverso un operatore integrale nel tempo tra gli istanti iniziale e finale dell'evoluzione del sistema, si ha:[2]

\mathcal{S} = \int_{t_1}^{t_2} \mathcal L \, dt

dove l'integrando \mathcal L è la lagrangiana. L'azione ha le dimensioni di un'energia per tempo, e pertanto è misurata in joulesecondo.

In un contesto più formale, si consideri una varietà differenziabile n-dimensionale M, una varietà detta "bersaglio" T e sia \mathcal{C} lo spazio delle configurazioni delle funzioni lisce da M a T. In meccanica classica, ad esempio, M è la varietà monodimensionale \mathbb{R} che rappresenta il tempo, e lo spazio bersaglio è il fibrato cotangente dello spazio delle posizioni generalizzate.

L'azione è un funzionale S:\mathcal{C}\rightarrow \mathbb{R} che mappa su \mathbb{R} (e non su \mathbb{C} per ragioni fisiche). Affinché l'azione sia locale è necessario imporre ulteriori restrizioni sul funzionale: se \phi\in\mathcal{C} si assume che S(\phi) sia l'integrale su M della lagrangiana \mathcal{L}(\phi,\partial\phi,\partial\partial\phi, ...,x), che è funzione di \phi, delle sue derivate e della posizione. Esplicitamente, l'azione è definita nel seguente modo:

\mathcal S[\phi]\equiv\int_M \mathcal{L}(\phi(x),\partial\phi(x),\partial\partial\phi(x), ...,x)d^nx \qquad \forall\phi\in\mathcal{C}

La maggior parte delle volte si assume che la lagrangiana dipenda soltanto dal valore del campo e dalla sua derivata prima, poiché conoscendo la posizione e la velocità di ogni elemento che compone un sistema meccanico è possibile caratterizzarne completamente la dinamica, e prevedere in qualche modo la sua evoluzione.[4]

Equazioni di Eulero-Lagrange[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Equazioni di Eulero-Lagrange.

Se M è compatto, le condizioni al contorno si ottengono specificando il valore di \phi al frontiera di M, altrimenti si ottengono fornendo opportuni limiti per \phi quando x tende all'infinito. Questo rende possibile ottenere l'insieme delle funzioni \phi tali che tutte le derivate funzionali di S su \phi sono nulle e \phi soddisfa le condizioni al contorno date. Tale insieme è determinato, considerando le condizioni al contorno, dalle soluzioni on shell delle equazioni di Eulero-Lagrange:

\frac{\delta\mathcal{S}}{\delta\varphi}= - \partial_\mu
 \left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\right) + \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi}=0

Il membro sinistro è la derivata funzionale dell'azione rispetto a \phi.

In meccanica classica la lagrangiana è data dalla somma tra l'energia cinetica T e il potenziale U (che coincide con l'energia potenziale V, cambiata di segno) o, analogamente, dalla differenza tra l'energia cinetica e l'energia potenziale. In coordinate lagrangiane è definita quindi nel seguente modo:

 \mathcal{L} (\dot q, q, t) = T (\dot q, q, t) + U (q, t)

Azione in fisica classica[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Principio variazionale di Hamilton.

Anche in fisica classica l'azione è definita come un funzionale (integrale) \mathcal{S} che agisce su un insieme di funzioni dipendenti dal tempo ed eventualmente dallo spazio, e restituisce uno scalare.[3][5] In meccanica classica un sistema fisico è descritto da N coordinate generalizzate \mathbf q = (q_1,q_2,\dots,q_N), ed evolve tra due stati \mathbf q_1(t)= \mathbf q(t_1) e \mathbf q_2(t)= \mathbf q(t_2) nell'intervallo temporale compreso tra gli istanti t_1 e t_2.

L'integrale che definisce l'azione nell'intervallo compreso tra t_1 e t_2 è dunque il seguente:


\mathcal{S}[\mathbf{q}] \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  
\int_{t_1}^{t_2} \mathcal L(\mathbf{q}(t),\dot{\mathbf{q}}(t),t)\, dt

dove \mathcal L(\mathbf{q},\dot{\mathbf{q}},t) denota la lagrangiana del sistema.

Il principio variazionale afferma che l'evoluzione del sistema fisico è la soluzione dell'equazione variazionale:

\frac{\delta \mathcal{S}}{\delta \mathbf{q}(t)}=0

In un sistema scleronomo, in particolare, anche l'azione ridotta \mathcal A sulla traiettoria di un oggetto è stazionaria, come stabilito dal principio di Maupertuis.

Azione ridotta[modifica | modifica sorgente]

L'azione ridotta \mathcal{A} è un funzionale applicato al percorso seguito da un sistema fisico che non considera la dipendenza dal parametro temporale t. Si tratta di un operatore integrale definito nel seguente modo:


\mathcal{S}_{0} = \int \mathbf{p} \cdot d\mathbf{q} = \sum_i \int p_i \,dq_i

dove \mathbf{p} è la quantità di moto generalizzata. Il principio di Maupertuis stabilisce che l'effettiva traiettoria seguita dal sistema durante la sua evoluzione è un punto stazionario del funzionale.

Azione relativistica[modifica | modifica sorgente]

L'approccio hamiltoniano ha il vantaggio di essere facilmente esteso e generalizzato. Per essere invariante, l'azione deve dipendere da quantità invarianti. La più semplice di queste quantità è il tempo proprio, indicato con  \tau , ovvero il tempo misurato da un orologio in un sistema di riferimento solidale con la particella. In accordo con la relativita ristretta si ha che la quantità:

 -(c \, d \tau )^2 = -ds^2 = -(c \, dt)^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2, \

dove con    c si è indicata la velocità della luce e con   d \tau  = -ds / c è la variazione infinitesime del tempo proprio. Per un punto materiale non soggetto a forze l'azione relativistica è data da[6]:

\mathcal S = -mc \int ds = -mc^{2} \int d \tau .

dove con  m si è indicata la massa inerziale della particella.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ Encyclopaedia of Physics (2nd Edition), R.G. Lerner, G.L. Trigg, VHC publishers, 1991, ISBN (Verlagsgesellschaft) 3-527-26954-1, ISBN (VHC Inc.) 0-89573-752-3
  2. ^ a b Analytical Mechanics, L.N. Hand, J.D. Finch, Cambridge University Press, 2008, ISBN 978-0-521-57572-0
  3. ^ a b The Road to Reality, Roger Penrose, Vintage books, 2007, ISBN 0-679-77631-1
  4. ^ Landau, Lifshits, op. cit., Pag. 28
  5. ^ Classical Mechanics, T.W.B. Kibble, European Physics Series, McGraw-Hill (UK), 1973, ISBN 0-07-084018-0
  6. ^ L.D. Landau and E.M. Lifshitz The Classical Theory of Fields Addison-Wesley 1971 sec 8.p.24-25

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • Lev D. Landau, Evgenij M. Lifshits, Fisica teorica 1 - Meccanica, Roma, Editori Riuniti Edizioni Mir, 1976, ISBN 8864732020.
  • (EN) Lanczos, The Variational Principles of Mechanics, Dover Publications, New York, 1986. ISBN 0-486-65067-7. Il riferimento più citato tra tutti quelli che trattano questo campo.
  • (EN) Moore, "Least-Action Principle" in Macmillan Encyclopedia of Physics, Simon & Schuster Macmillan, 1996, Volume 2, ISBN 0-02-897359-3, pp. 840–842.
  • (EN) Sussman, Wisdom, Structure and Interpretation of Classical Mechanics, MIT Press, 2001. Inizia con il principio di azione stazionaria, usa notazioni matematiche moderne, e controlla la chiarezza e consistenza delle procedure traducendole in un programma per un linguaggio per computer.
  • (EN) Weinstock, Calculus of Variations, with Applications to Physics and Engineering, Dover Publications, 1974. ISBN 0-486-63069-2. Un poco datato ma buono, con il formalismo definito con cura prima del suo utilizzo in fisica e in ingegneria.
  • (EN) Yourgrau, Mandelstam, Variational Principles in Dynamics and Quantum Theory, Dover Publications, 1979. Non tralascia le implicazioni filosofiche e plaude alla riduzione di Feynman della meccanica quantistica al principio di azione stazionaria nel limite di massa grande.
  • (EN) Taylor, Annotated bibliography on the principle of least action

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

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