Equazioni di Eulero-Lagrange

Nel calcolo delle variazioni, l'equazione di Eulero-Lagrange, anche detta equazione di Eulero o equazione di Lagrange, è un'equazione differenziale la cui soluzione è tale da essere un punto stazionario per un dato funzionale. Il nome è dovuto a Leonhard Euler e Joseph Louis Lagrange.

In fisica le equazioni di Lagrange sono le equazioni del moto di un sistema conservativo, in quanto si ottengono direttamente a partire dal principio variazionale di Hamilton: minimizzando l'azione, esse descrivono il moto di un oggetto che obbedisce al secondo principio della dinamica e mettono in relazione la posizione e la velocità di ogni elemento che compone un sistema meccanico, in modo che è possibile caratterizzarne completamente la dinamica.

Definizione

L'equazione di Eulero-Lagrange ha la forma:

$\frac{\operatorname d}{\operatorname dt}\left(\frac{\partial \Lambda}{\partial \dot x}\right)-\frac{\partial \Lambda}{\partial x}=0$

dove $(x,\dot x)$ sono le coordinate naturali sul fibrato tangente $TX$ di una varietà differenziabile $X$, ed $\Lambda$ è a valori reali. Più precisamente:

• La funzione:

$\begin{align} x \colon [t_1, t_2] \subset \mathbb{R} & \to X \\ t & \mapsto x = x(t) \end{align}$

è differenziabile ed il suo valore è nullo agli estremi.

• La funzione:

$\begin{align} \dot x \colon [t_1, t_2] & \to T_{x(t)}X \\ t & \mapsto v = \dot x(t) \end{align}$

è la derivata di $x$.

• La funzione:

$\begin{align} \Lambda \colon [t_1, t_2] \times X \times TX & \to \mathbb{R} \\ (t, x, v) & \mapsto \Lambda(t, x, v). \end{align}$

è a valori reali e possiede derivate parziali prime continue. In meccanica lagrangiana $\Lambda$ è la lagrangiana del sistema.

La soluzione $x$ è un punto stazionario del funzionale:

$\Sigma(x) = \int_{t_1}^{t_2} \Lambda(t,x(t),\dot x(t))\, \operatorname dt$

per piccole perturbazioni della traiettoria (solitamente è un punto di minimo). In meccanica lagrangiana tale funzionale è detto azione.

La definizione può essere immediatamente estesa a varietà di dimensione $n$, ed in tal caso le equazioni di Eulero-Lagrange sono un sistema di equazioni differenziali:

$\frac{\partial \Lambda}{\partial \mathbf{x}} - \frac{\operatorname d}{\operatorname dt}\frac{\partial \Lambda}{\partial \dot{\mathbf{x}}} = 0$

Variabili coniugate e costanti del sistema

La variabile coniugata $y_k$ relativa alla variabile $x_k$ è definita dall'equazione:

$y_k \ \stackrel{\mathrm{\Delta}}{=}\ \frac{\partial \Lambda}{\partial \dot{x}_k}$.

Se l'espressione di $\Lambda$ non contiene la coordinata generalizzata $y_k$ si verifica che:

$\frac{\partial \Lambda}{\partial x_k}=0$

In tal caso le equazioni di Eulero-Lagrange mostrano che la variazione temporale di $y_k$ è nulla, e pertanto si tratta di una costante del sistema. Inoltre, $x_k$ è detta variabile ciclica.

Principio variazionale di Hamilton

Per approfondire, vedi Principio variazionale di Hamilton.

Si consideri un sistema fisico descritto da N coordinate generalizzate $\mathbf q = (q_1,q_2,\dots,q_N)$ che evolve tra due stati $\mathbf q_1(t)= \mathbf q(t_1)$ e $\mathbf q_2(t)= \mathbf q(t_2)$ nell'intervallo temporale compreso tra gli istanti $t_1$ e $t_2$. Il principio variazionale di Hamilton afferma che l'evoluzione del sistema, descritta dalla curva $\mathbf q(t)$, è un punto stazionario del funzionale azione $\mathcal{S}$ (solitamente un punto di minimo) per piccole perturbazioni della traiettoria. In altri termini, l'evoluzione del sistema tende a minimizzare il valore dell'integrale che definisce l'azione. Dal punto di vista matematico questo si traduce nel fatto che l'evoluzione del sistema fisico è la soluzione dell'equazione variazionale:

$\frac{\operatorname d \mathcal{S}}{\operatorname d \mathbf{q}(t)}=0$

La richiesta che l'effettiva traiettoria percorsa da un sistema fisico sia un punto stazionario dell'azione $\mathcal{S}$ è equivalente alle equazioni di Eulero–Lagrange, come ci si accinge a dimostrare, quindi per transitività se e solo se vale il secondo principio della dinamica. Le equazioni si ricavano introducendo una piccola perturbazione $\boldsymbol\varepsilon (t)$ a $\mathbf q(t)$ che si annulla agli estremi del percorso:

$\boldsymbol\varepsilon(t_1) = \boldsymbol\varepsilon(t_2) \ \stackrel{\mathrm{\Delta}}{=}\ 0$

La perturbazione produce una variazione $\delta\mathcal{S}$ del funzionale azione data da:

$\Delta \mathcal{S} = \int_{t_1}^{t_2} \left[\mathcal L(\mathbf{q}+\boldsymbol\varepsilon,\dot{\mathbf{q}} +\dot{\boldsymbol{\varepsilon}})- \mathcal L(\mathbf{q},\dot{\mathbf{q}}) \right]\operatorname dt = \int_{t_1}^{t_2} \left( \boldsymbol\varepsilon \cdot \frac{\partial \mathcal L}{\partial \mathbf{q}} + \dot{\boldsymbol{\varepsilon}} \cdot \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot{\mathbf{q}}} \right)\,\operatorname dt$

Utilizzando l'integrazione per parti per il secondo termine dell'integrando a destra si ottiene:

$\Delta \mathcal{S} = \left[ \boldsymbol\varepsilon \cdot \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot{\mathbf{q}}}\right]_{t_1}^{t_2} + \int_{t_1}^{t_2}\ \left( \boldsymbol\varepsilon \cdot \frac{\partial \mathcal L}{\partial \mathbf{q}} - \boldsymbol\varepsilon \cdot \frac{\operatorname d}{\operatorname dt} \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot{\mathbf{q}}} \right)\,\operatorname dt$

Le condizioni al contorno $\boldsymbol\varepsilon(t_1) = \boldsymbol\varepsilon(t_2) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ 0$ annullano il primo termine, per cui:

$\Delta \mathcal{S} = \int_{t_1}^{t_2}\; \boldsymbol\varepsilon \cdot\left(\frac{\partial \mathcal L}{\partial \mathbf{q}} - \frac{\operatorname d}{\operatorname dt} \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot{\mathbf{q}}} \right)\,\operatorname dt$

Il principio di Hamilton richiede che $\delta \mathcal{S}$ sia nullo per ogni possibile perturbazione in quanto la traiettoria percorsa è un punto stazionario dell'azione. Tale richiesta è dunque soddisfatta se l'integrando è nullo, ovvero se e solo se valgono le equazioni di Lagrange.

Meccanica

Lo studio dei sistemi meccanici in termini di equazioni di Eulero-Lagrange è svolto per mezzo della meccanica lagrangiana. In tale contesto le equazioni si chiamano usualmente equazioni di Lagrange, in quanto la loro giustificazione fisica è stata compiuta da Lagrange solo.

Nello studio di un sistema meccanico ${x}^\lambda$ e $\dot {x}^\lambda$ vengono fatti coincidere rispettivamente con le coordinate ${q}^\lambda$ e le velocità generalizzate $\dot {q}^\lambda$, e le equazioni di Eulero-Lagrange determinano la loro variazione in funzione del tempo, ovvero l'evoluzione del sistema.

Le derivate parziali dell'energia cinetica lagrangiana $T$ rispetto alle velocità (detta quantità di moto generalizzata) e le corrispondenti coordinate generalizzate di un sistema costituito da $N$ sottosistemi e a $I$ gradi di libertà sono:

$p_i = \frac{\partial T_{\dot q_i,q_i,t}}{\partial \dot q_i}=\sum_{j = 1}^I (H_{ij} T)_{(\mathbf 0)} \dot q_j + \, (\nabla_i T)_{(\mathbf 0)}$

$\frac{\partial T_{\dot q_i,q_i,t}}{\partial q_i}=\frac 12 \, \sum_{i,j = 1}^I \frac{\partial (H_{ij}T)_{(\mathbf 0)}}{\partial q_i} \dot q_i \, \dot q_j + \sum_{i = 1}^I \frac{\partial (\nabla_i T)_{(\mathbf 0)}}{\partial q_i} \, \dot q_i + \frac{\partial T_{(\mathbf 0)}}{\partial q_i}$

La derivata totale temporale dell'ultimo termine è la seguente:

$\frac{\operatorname d}{\operatorname dt}\frac{\partial T_{\dot q_i,q_i,t}}{\partial \dot q_i}=\sum_{i = 1}^I \frac{\partial}{\partial q_i} \frac{\partial T_{\dot q_i,q_i,t}}{\partial \dot q_i} \dot q_i + \frac{\partial}{\partial t}\frac{\partial T_{\dot q_i,q_i,t}}{\partial \dot q_i}=\frac 12 \, \sum_{i,j = 1}^I \frac{\partial (H_{ij}T)_{(\mathbf 0)}}{\partial q_i} \dot q_i \, \dot q_j + \sum_{i = 1}^I \frac{\partial (\nabla_i T)_{(\mathbf 0)}} {\partial q_i} \, \dot q_i + \sum_{j = 1}^I \frac{\partial (H_{ij} T)_{(\mathbf 0)}}{\partial t} \dot q_j + \frac{\partial (\nabla_i T)_{(\mathbf 0)}}{\partial t}$

Si ha pertanto:

$\frac{\operatorname d}{\operatorname dt}\frac{\partial T}{\partial \dot q_i}- \frac{\partial T}{\partial q_i}= \sum_{j = 1}^I \frac{(\partial H_{ij}T)_{(\mathbf 0)}}{\partial t} \dot q_j + \frac{\partial (\nabla_i T)_{(\mathbf 0)}}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial t} \left [ \sum_{j = 1}^I (H_{ij}T)_{(\mathbf 0)} \dot q_j + (\nabla_i T)_{(\mathbf 0)} \right ]$

Per il secondo principio della dinamica la forza risultante è la derivata temporale della quantità di moto, quindi si osserva che la forza generalizzata i-esima vale:

$Q_i= \sum_{n = 1}^N \frac{\operatorname d}{\operatorname dt} (m_n \mathbf {\dot x}_n) \cdot \frac{\partial \mathbf x_n}{\partial q_i} = \sum_{n = 1}^N \left (\sum_{j = 1}^I \frac{\partial (m_n \mathbf {\dot x}_n)}{\partial q_j}\dot q_j + \frac{\partial (m_n \dot {\mathbf x}_n)}{\partial t} \right ) \cdot \frac{\partial x_n}{\partial q_i} = \sum_{n = 1}^N \left (\sum_{j = 1}^I m_n \frac{\partial \mathbf {\dot x}_n}{\partial q_j}\dot q_j + m_n \frac{\partial \dot {\mathbf x}_n}{\partial t} + \mathbf {\dot x}_n \frac{\partial m_n}{\partial t} \right ) \cdot \frac{\partial \mathbf x_n}{\partial q_i}$

Se ciascuna parte del sistema ha massa costante si ha:

$\frac {\partial m_n}{\partial t} = 0 \quad \forall n$

da cui:

$Q_i= \frac{\partial}{\partial t} \left ( \sum_{j = 1}^I \sum_{n = 1}^N m_n \frac{\partial x_n^2}{\partial q_i \partial q_j} \dot q_j + \sum_{n = 1}^N m_n \dot x_n \frac{\partial x_n}{\partial q_i} \right ) = \frac{\partial}{\partial t} \left [ \sum_{j = 1}^I (H_{ij}T)_{(\mathbf 0)} \dot q_j + (\nabla_i T)_{(\mathbf 0)} \right ]$

Si giunge in questo modo alle equazioni del I tipo:

$\frac{\operatorname d}{\operatorname dt}\frac{\partial T}{\partial \dot q_i} - \frac{\partial T}{\partial q_i}= Q_i$

Le equazioni di Lagrange sono in generale $I$ equazioni differenziali del secondo ordine non lineari in $I$ funzioni del tempo, le coordinate generalizzate, equivalenti perciò ad un sistema di ordine $2^I$. In forma vettoriale si ha:

$\mathbf Q_q = {\partial \over \partial t}{ \left ( (\mathbf H T)_{(\mathbf 0)} \dot {\mathbf q} + (\nabla T)_{(\mathbf 0)} \right ) } =$

$= (\mathbf H T)_{(\mathbf 0)} \ddot {\mathbf q} - \frac{1}{2} \dot {\mathbf q}^*\nabla (\mathbf H T)_{(\mathbf 0)}\dot{\mathbf q} + \left [ {\partial \over \partial t} { (\mathbf H T)_{(\mathbf 0)}} - (\nabla \nabla^* T)_{(\mathbf 0)} \right ] \dot {\mathbf q} + \left [ -1 + {\partial \over \partial t} \right ](\nabla T)_{(\mathbf 0)}$

Ora, notando che in generale la forza generalizzata si può dividere in una componente non conservativa $\Nu_i$ ed in una conservativa $C_i$, e che per definizione:

$Q_i = \Nu_i + C_i\, = \Nu_i - \frac{\partial U}{\partial q_i}$

dal momento che l'energia potenziale è funzione delle sole coordinate del sistema:

$\frac{\partial U_{q_i,t}}{\partial \dot q_i} = 0$

scomponendo la forza ed introducendo quest'ultimo termine nullo nell'equazione del I tipo:

$\frac{\operatorname d}{\operatorname dt}\frac{\partial T}{\partial \dot q_i} - \frac{\partial U}{\partial \dot q_i} - \frac{\partial T}{\partial q_i} + \frac{\partial U}{\partial q_i} = \Nu_i$

si ottengono le equazioni del II tipo, nella forma di Lagrange:

$\frac{\operatorname d}{\operatorname dt}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot q_i} - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_i} = \Nu_i$

dove $\mathcal{L}$ è la Lagrangiana meccanica del sistema. Se la sua matrice hessiana rispetto alle componenti della velocità generalizzata $\mathbf H \mathcal L$ è invertibile, allora questa si dice regolare e le equazioni di Lagrange sono un sistema del second'ordine. Come si è visto, esse sono equivalenti al secondo principio della dinamica nell'approccio newtoniano.

Solo nel caso in cui il sistema sia conservativo, e cioè la risultante delle forze non conservative sia nulla, le equazioni del moto sono del tipo di Eulero-Lagrange:

$\frac{\operatorname d}{\operatorname dt}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot q_i} - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_i} = 0$

con funzionale costituito dalla differenza tra energia cinetica e energia potenziale, e variabile coniugata costituita dalla quantità di moto generalizzata, mentre ciò non è vero per i sistemi non conservativi.

Si è sempre supposto che il sistema sia correttamente parametrizzato, e quindi i parametri lagrangiani siano una base per lo spazio delle fasi. Tuttavia, nel caso in cui questo risulti difficile, è possibile ridurre la condizione di validità delle equazioni solamente ad una parametrizzazione generatrice (facendo a meno della indipendenza lineare delle coordinate lagrangiane), passando alle equazioni di Appell.

Particelle libere in coordinate polari

Una particella libera di massa $m$ e velocità $v$ in uno spazio euclideo si muove in linea retta conformemente al primo principio della dinamica. Le equazioni di Eulero-Lagrange in coordinate polari modellano il fenomeno come segue. In assenza di potenziale, la lagrangiana è uguale all'energia cinetica:

$\frac{1}{2} mv^2= \frac{1}{2}m \left( \dot{x}^2 + \dot{y}^2 \right)$

dove si utilizzano coordinate ortonormali $(x,y)$, ed il punto sopra le coordinate rappresenta la derivata rispetto al parametro della curva (usualmente il tempo $t$). In coordinate polari $(r,\phi)$ l'energia cinetica, e dunque la lagrangiana, diventa:

$\mathcal L = \frac{1}{2}m \left( \dot{r}^2 + r^2\dot\phi^2 \right)$

Le componenti radiale $r$ ed angolare $\phi$ dell'equazione di Eulero-Lagrange sono rispettivamente,

$\frac{\operatorname d}{\operatorname dt} \left( \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot{r}} \right)- \frac{\partial \mathcal L}{\partial r} = 0 \qquad \frac{\operatorname d}{\operatorname dt} \left( \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot{\phi}} \right)-\frac{\partial \mathcal L}{\partial \phi} = 0$

Da cui:

$\ddot{r} - r\dot{\phi}^2 = 0 \qquad \ddot{\phi} + \frac{2}{r}\dot{r}\dot{\phi} = 0$

La soluzione di queste due equazioni è data da:

$r\cos\phi = a t + b$

$r\sin\phi = c t + d$

per un insieme di costanti $a, b, c, d$ determinate dalle condizioni iniziali. Perciò, la soluzione è una linea retta data in coordinate polari.

Teoria dei campi

In teoria dei campi le equazioni di Eulero-Lagrange si generalizzano nel sistema di equazioni alle derivate parziali:

$\frac{\partial\phi^i}{\partial x^\mu}=\phi^i_\mu \qquad \frac{\operatorname d}{\operatorname dx^\mu}\left(\frac{\partial \Lambda}{\partial\phi^i_\mu}\right)-\frac{\partial \Lambda}{\partial \phi^i}=0$

dove $x^\mu$ sono le coordinate su di una varietà differenziabile $M$ (solitamente lo spazio-tempo) e $\phi^i$ sono le componenti di un campo su questa varietà a valori in una certa "varietà bersaglio" $F$. Con l'espressione $\frac{\operatorname d}{\operatorname dx^\mu}$ si indica la derivata totale rispetto alla variabile $x^\mu$.

Più formalmente, i campi possono essere rappresentati come sezioni di un fibrato con base $M$ e fibra $F$, e per rappresentare le loro derivate occorre allora introdurre il formalismo dei getti.

Bibliografia

• Lev D. Landau; Evgenij M. Lifshits, Fisica teorica 1 - Meccanica, Roma, Editori Riuniti Edizioni Mir, 1976. ISBN 8864732020
• (EN) Izrail Moiseevish Gelfand, Calculus of Variations, Dover, 1963. ISBN 0-486-41448-5

Voci correlate

• Azione
• Calcolo delle variazioni
• Derivata funzionale
• Equazioni di Hamilton
• Forma di Nielsen
• Lagrangiana
• Meccanica hamiltoniana
• Meccanica lagrangiana
• Metodo variazionale
• Principio di Fermat
• Principio di Maupertuis
• Principio variazionale di Hamilton
• Teorema di Noether
• Teoria di Hamilton-Jacobi

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Equazioni di Eulero-Lagrange su MathWorld.
• (EN) Calculus of Variations at Example Problems.com (Provides examples of problems from the calculus of variations that involve the Euler – Lagrange equations.)

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