Equazioni di Eulero-Lagrange

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Nel calcolo delle variazioni, l'equazione di Eulero-Lagrange, anche detta equazione di Eulero o equazione di Lagrange,[1] è un'equazione differenziale la cui soluzione è tale da essere un punto stazionario per un dato funzionale. Il nome è dovuto a Leonhard Euler e Joseph Louis Lagrange.

In fisica le equazioni di Lagrange sono le equazioni del moto di un sistema conservativo, in quanto si ottengono direttamente a partire dal principio variazionale di Hamilton: minimizzando l'azione, esse descrivono il moto di un oggetto che obbedisce al secondo principio della dinamica e mettono in relazione la posizione e la velocità di ogni elemento che compone un sistema meccanico, in modo che è possibile caratterizzarne completamente la dinamica.[2]

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

L'equazione di Eulero-Lagrange ha la forma:[3]


\frac{\operatorname d}{\operatorname dt}\left(\frac{\partial \Lambda}{\partial \dot x}\right)-\frac{\partial \Lambda}{\partial x}=0

dove (x,\dot x) sono le coordinate naturali sul fibrato tangente TX di una varietà differenziabile X, ed \Lambda è a valori reali. Più precisamente:

  • La funzione:
\begin{align}
x \colon [t_1, t_2] \subset \mathbb{R} & \to     X \\
                                 t & \mapsto x = x(t)
\end{align}
è differenziabile ed il suo valore è nullo agli estremi.
  • La funzione:
\begin{align}
\dot x \colon [t_1, t_2] & \to     T_{x(t)}X \\
               t & \mapsto v = \dot x(t)
\end{align}
è la derivata di x.
  • La funzione:
\begin{align}
\Lambda \colon [t_1, t_2] \times X \times TX & \to     \mathbb{R} \\
                         (t, x, v) & \mapsto \Lambda(t, x, v)
\end{align}
è a valori reali e possiede derivate parziali prime continue. In meccanica lagrangiana \Lambda è la lagrangiana del sistema.

La soluzione x è un punto stazionario del funzionale:

\Sigma(x) = \int_{t_1}^{t_2} \Lambda(t,x(t),\dot x(t))\, \operatorname dt

per piccole perturbazioni della traiettoria (solitamente è un punto di minimo). In meccanica lagrangiana tale funzionale è detto azione.[2]

La definizione può essere immediatamente estesa a varietà di dimensione n, ed in tal caso le equazioni di Eulero-Lagrange sono un sistema di equazioni differenziali:

 \frac{\partial \Lambda}{\partial \mathbf{x}} - \frac{\operatorname d}{\operatorname dt}\frac{\partial \Lambda}{\partial \dot{\mathbf{x}}} = 0

Variabili coniugate e costanti del sistema[modifica | modifica wikitesto]

La variabile coniugata y_k relativa alla variabile x_k è definita dall'equazione:

y_k \ \stackrel{\mathrm{\Delta}}{=}\ \frac{\partial \Lambda}{\partial \dot{x}_k}

Se l'espressione di \Lambda non contiene la coordinata generalizzata x_k si verifica che:

\frac{\partial \Lambda}{\partial x_k}=0

In tal caso le equazioni di Eulero-Lagrange mostrano che la variazione temporale di y_k è nulla, e pertanto si tratta di una costante del sistema. Inoltre, x_k è detta variabile ciclica.

Principio variazionale di Hamilton[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Principio variazionale di Hamilton.

Si consideri un sistema fisico descritto da N coordinate generalizzate \mathbf q = (q_1,q_2,\dots,q_N) che evolve tra due stati \mathbf q_1(t)= \mathbf q(t_1) e \mathbf q_2(t)= \mathbf q(t_2) nell'intervallo temporale compreso tra gli istanti t_1 e t_2. Il principio variazionale di Hamilton afferma che l'evoluzione del sistema, descritta dalla curva \mathbf q(t), è un punto stazionario del funzionale azione \mathcal{S} (solitamente un punto di minimo) per piccole perturbazioni della traiettoria. In altri termini, l'evoluzione del sistema tende a minimizzare il valore dell'integrale che definisce l'azione.[2] Dal punto di vista matematico questo si traduce nel fatto che l'evoluzione del sistema fisico è la soluzione dell'equazione variazionale:

\frac{\operatorname d \mathcal{S}}{\operatorname d \mathbf{q}(t)}=0

La richiesta che l'effettiva traiettoria percorsa da un sistema fisico sia un punto stazionario dell'azione \mathcal{S} è equivalente alle equazioni di Eulero–Lagrange, come ci si accinge a dimostrare, quindi per transitività se e solo se vale il secondo principio della dinamica. Le equazioni si ricavano introducendo una piccola perturbazione \boldsymbol\varepsilon (t) a \mathbf q(t) che si annulla agli estremi del percorso:


\boldsymbol\varepsilon(t_1) = \boldsymbol\varepsilon(t_2) \ \stackrel{\mathrm{\Delta}}{=}\  0

La perturbazione produce una variazione \delta\mathcal{S} del funzionale azione data da:


\Delta \mathcal{S} = \int_{t_1}^{t_2} \left[\mathcal L(\mathbf{q}+\boldsymbol\varepsilon,\dot{\mathbf{q}} +\dot{\boldsymbol{\varepsilon}})- \mathcal L(\mathbf{q},\dot{\mathbf{q}}) \right]\operatorname dt = \int_{t_1}^{t_2} \left(
\boldsymbol\varepsilon \cdot \frac{\partial \mathcal L}{\partial \mathbf{q}} + 
\dot{\boldsymbol{\varepsilon}} \cdot \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot{\mathbf{q}}}  \right)\,\operatorname dt

Utilizzando l'integrazione per parti per il secondo termine dell'integrando a destra si ottiene:


\Delta \mathcal{S} = 
\left[ \boldsymbol\varepsilon \cdot \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot{\mathbf{q}}}\right]_{t_1}^{t_2} + 
\int_{t_1}^{t_2}\ \left( \boldsymbol\varepsilon \cdot \frac{\partial \mathcal L}{\partial \mathbf{q}}
- \boldsymbol\varepsilon \cdot \frac{\operatorname d}{\operatorname dt} \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot{\mathbf{q}}} \right)\,\operatorname dt

Le condizioni al contorno \boldsymbol\varepsilon(t_1) = \boldsymbol\varepsilon(t_2) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  0 annullano il primo termine, per cui:

\Delta \mathcal{S} = \int_{t_1}^{t_2}\; \boldsymbol\varepsilon \cdot\left(\frac{\partial \mathcal L}{\partial \mathbf{q}} - \frac{\operatorname d}{\operatorname dt} \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot{\mathbf{q}}} \right)\,\operatorname dt

Il principio di Hamilton richiede che \delta \mathcal{S} sia nullo per ogni possibile perturbazione in quanto la traiettoria percorsa è un punto stazionario dell'azione. Tale richiesta è dunque soddisfatta se l'integrando è nullo, ovvero se e solo se valgono le equazioni di Lagrange.

Meccanica[modifica | modifica wikitesto]

Lo studio dei sistemi meccanici in termini di equazioni di Eulero-Lagrange è svolto per mezzo della meccanica lagrangiana. In tale contesto le equazioni si chiamano usualmente equazioni di Lagrange, in quanto la loro giustificazione fisica è stata compiuta da Lagrange solo.

Nello studio di un sistema meccanico {x}^\lambda e \dot {x}^\lambda vengono fatti coincidere rispettivamente con le coordinate {q}^\lambda e le velocità generalizzate \dot {q}^\lambda, e le equazioni di Eulero-Lagrange determinano la loro variazione in funzione del tempo, ovvero l'evoluzione del sistema.

Le derivate parziali dell'energia cinetica lagrangiana T rispetto alle velocità (detta quantità di moto generalizzata) e le corrispondenti coordinate generalizzate di un sistema costituito da N sottosistemi e a I gradi di libertà sono:

p_i = \frac{\partial T_{\dot q_i,q_i,t}}{\partial \dot q_i}=\sum_{j = 1}^I (H_{ij} T)_{(\mathbf 0)} \dot q_j + \, (\nabla_i T)_{(\mathbf 0)}
\frac{\partial T_{\dot q_i,q_i,t}}{\partial q_i}=\frac 12 \, \sum_{i,j = 1}^I \frac{\partial (H_{ij}T)_{(\mathbf 0)}}{\partial q_i} \dot q_i \, \dot q_j + \sum_{i = 1}^I \frac{\partial (\nabla_i T)_{(\mathbf 0)}}{\partial q_i} \, \dot q_i + \frac{\partial T_{(\mathbf 0)}}{\partial q_i}

La derivata totale temporale dell'ultimo termine è la seguente:

\frac{\operatorname d}{\operatorname dt}\frac{\partial T_{\dot q_i,q_i,t}}{\partial \dot q_i}=\sum_{i = 1}^I \frac{\partial}{\partial q_i} \frac{\partial T_{\dot q_i,q_i,t}}{\partial \dot q_i} \dot q_i + \frac{\partial}{\partial t}\frac{\partial T_{\dot q_i,q_i,t}}{\partial \dot q_i}=\frac 12 \, \sum_{i,j = 1}^I \frac{\partial (H_{ij}T)_{(\mathbf 0)}}{\partial q_i} \dot q_i \, \dot q_j + \sum_{i = 1}^I \frac{\partial (\nabla_i T)_{(\mathbf 0)}} {\partial q_i} \, \dot q_i + \sum_{j = 1}^I \frac{\partial (H_{ij} T)_{(\mathbf 0)}}{\partial t} \dot q_j + \frac{\partial (\nabla_i T)_{(\mathbf 0)}}{\partial t}

Si ha pertanto:

\frac{\operatorname d}{\operatorname dt}\frac{\partial T}{\partial \dot q_i}- \frac{\partial T}{\partial q_i}= \sum_{j = 1}^I \frac{(\partial H_{ij}T)_{(\mathbf 0)}}{\partial t} \dot q_j + \frac{\partial (\nabla_i T)_{(\mathbf 0)}}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial t} \left [ \sum_{j = 1}^I  (H_{ij}T)_{(\mathbf 0)} \dot q_j + (\nabla_i T)_{(\mathbf 0)} \right ]

Per il secondo principio della dinamica la forza risultante è la derivata temporale della quantità di moto, quindi si osserva che la forza generalizzata i-esima vale:

Q_i= \sum_{n = 1}^N \frac{\operatorname d}{\operatorname dt} (m_n \mathbf {\dot x}_n) \cdot \frac{\partial \mathbf x_n}{\partial q_i} 

= \sum_{n = 1}^N \left (\sum_{j = 1}^I \frac{\partial (m_n \mathbf {\dot x}_n)}{\partial q_j}\dot q_j + \frac{\partial (m_n \dot {\mathbf x}_n)}{\partial t} \right ) \cdot \frac{\partial x_n}{\partial q_i}

= \sum_{n = 1}^N \left (\sum_{j = 1}^I m_n \frac{\partial \mathbf {\dot x}_n}{\partial q_j}\dot q_j + m_n \frac{\partial \dot {\mathbf x}_n}{\partial t} + \mathbf {\dot x}_n \frac{\partial m_n}{\partial t} \right ) \cdot \frac{\partial \mathbf x_n}{\partial q_i}

Se ciascuna parte del sistema ha massa costante si ha:

\frac {\partial m_n}{\partial t} = 0 \quad \forall n

da cui:

Q_i= \frac{\partial}{\partial t} \left ( \sum_{j = 1}^I  \sum_{n = 1}^N m_n \frac{\partial x_n^2}{\partial q_i \partial q_j} \dot q_j + \sum_{n = 1}^N m_n \dot x_n \frac{\partial x_n}{\partial q_i} \right )

= \frac{\partial}{\partial t} \left [ \sum_{j = 1}^I  (H_{ij}T)_{(\mathbf 0)} \dot q_j + (\nabla_i T)_{(\mathbf 0)} \right ]

Si giunge in questo modo alle equazioni del I tipo:

\frac{\operatorname d}{\operatorname dt}\frac{\partial T}{\partial \dot q_i} - \frac{\partial T}{\partial q_i}= Q_i

Le equazioni di Lagrange sono in generale I equazioni differenziali del secondo ordine non lineari in I funzioni del tempo, le coordinate generalizzate, equivalenti perciò ad un sistema di ordine 2^I.[4] In forma vettoriale si ha:

 \mathbf Q_q = {\partial \over \partial t}{ \left ( (\mathbf H T)_{(\mathbf 0)} \dot {\mathbf q} + (\nabla T)_{(\mathbf 0)} \right ) } =
 = (\mathbf H T)_{(\mathbf 0)} \ddot {\mathbf q} - \frac{1}{2} \dot {\mathbf q}^*\nabla (\mathbf H T)_{(\mathbf 0)}\dot{\mathbf q} + \left [ {\partial \over \partial t} { (\mathbf H T)_{(\mathbf 0)}}  - (\nabla \nabla^* T)_{(\mathbf 0)} \right ] \dot {\mathbf q} + \left [ -1 + {\partial \over \partial t} \right ](\nabla T)_{(\mathbf 0)}

Ora, notando che in generale la forza generalizzata si può dividere in una componente non conservativa \Nu_i ed in una conservativa C_i, e che per definizione:

Q_i = \Nu_i + C_i\, = \Nu_i - \frac{\partial U}{\partial q_i}

dal momento che l'energia potenziale è funzione delle sole coordinate del sistema:

\frac{\partial U_{q_i,t}}{\partial \dot q_i} = 0

scomponendo la forza ed introducendo quest'ultimo termine nullo nell'equazione del I tipo:

\frac{\operatorname d}{\operatorname dt}\frac{\partial T}{\partial \dot q_i} - \frac{\partial U}{\partial \dot q_i} - \frac{\partial T}{\partial q_i} + \frac{\partial U}{\partial q_i} = \Nu_i

si ottengono le equazioni del II tipo, nella forma di Lagrange:

\frac{\operatorname d}{\operatorname dt}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot q_i} - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_i} = \Nu_i

dove \mathcal{L} è la Lagrangiana meccanica del sistema. Se la sua matrice hessiana rispetto alle componenti della velocità generalizzata \mathbf H \mathcal L è invertibile, allora questa si dice regolare e le equazioni di Lagrange sono un sistema del second'ordine. Come si è visto, esse sono equivalenti al secondo principio della dinamica nell'approccio newtoniano.

Solo nel caso in cui il sistema sia conservativo, e cioè la risultante delle forze non conservative sia nulla, le equazioni del moto sono del tipo di Eulero-Lagrange:

\frac{\operatorname d}{\operatorname dt}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot q_i} - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_i} = 0

con funzionale costituito dalla differenza tra energia cinetica e energia potenziale, e variabile coniugata costituita dalla quantità di moto generalizzata, mentre ciò non è vero per i sistemi non conservativi.

Si è sempre supposto che il sistema sia correttamente parametrizzato, e quindi i parametri lagrangiani siano una base per lo spazio delle fasi. Tuttavia, nel caso in cui questo risulti difficile, è possibile ridurre la condizione di validità delle equazioni solamente ad una parametrizzazione generatrice (facendo a meno della indipendenza lineare delle coordinate lagrangiane), passando alle equazioni di Appell.

Particelle libere in coordinate polari[modifica | modifica wikitesto]

Una particella libera di massa m e velocità v in uno spazio euclideo si muove in linea retta conformemente al primo principio della dinamica. Le equazioni di Eulero-Lagrange in coordinate polari modellano il fenomeno come segue. In assenza di potenziale, la lagrangiana è uguale all'energia cinetica:

\frac{1}{2} mv^2= \frac{1}{2}m \left( \dot{x}^2 + \dot{y}^2 \right)

dove si utilizzano coordinate ortonormali (x,y), ed il punto sopra le coordinate rappresenta la derivata rispetto al parametro della curva (usualmente il tempo t). In coordinate polari (r,\phi) l'energia cinetica, e dunque la lagrangiana, diventa:


     \mathcal  L = \frac{1}{2}m \left( \dot{r}^2 + r^2\dot\phi^2 \right)

Le componenti radiale r ed angolare \phi dell'equazione di Eulero-Lagrange sono rispettivamente,

\frac{\operatorname d}{\operatorname dt} \left( \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot{r}} \right)- \frac{\partial \mathcal L}{\partial r} = 0  \qquad \frac{\operatorname d}{\operatorname dt} \left( \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot{\phi}}  \right)-\frac{\partial \mathcal L}{\partial \phi} = 0

Da cui:

\ddot{r} -  r\dot{\phi}^2 = 0 \qquad \ddot{\phi} + \frac{2}{r}\dot{r}\dot{\phi} = 0

La soluzione di queste due equazioni è data da:

 r\cos\phi = a t + b
 r\sin\phi = c t + d

per un insieme di costanti a, b, c, d determinate dalle condizioni iniziali. Perciò, la soluzione è una linea retta data in coordinate polari.

Teoria dei campi[modifica | modifica wikitesto]

In teoria dei campi le equazioni di Eulero-Lagrange si generalizzano nel sistema di equazioni alle derivate parziali:


\frac{\partial\phi^i}{\partial x^\mu}=\phi^i_\mu \qquad \frac{\operatorname d}{\operatorname dx^\mu}\left(\frac{\partial \Lambda}{\partial\phi^i_\mu}\right)-\frac{\partial \Lambda}{\partial \phi^i}=0

dove x^\mu sono le coordinate su di una varietà differenziabile M (solitamente lo spazio-tempo) e \phi^i sono le componenti di un campo su questa varietà a valori in una certa "varietà bersaglio" F. Con l'espressione \frac{\operatorname d}{\operatorname dx^\mu} si indica la derivata totale rispetto alla variabile x^\mu.

Più formalmente, i campi possono essere rappresentati come sezioni di un fibrato con base M e fibra F, e per rappresentare le loro derivate occorre allora introdurre il formalismo dei getti.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Fox, Charles (1987). An introduction to the calculus of variations. Courier Dover Publications. ISBN 9780486654997.
  2. ^ a b c Landau, Lifshits, Pag. 28
  3. ^ Landau, Lifshits, Pag. 30
  4. ^ In problemi semplici l'ordine del sistema si può abbassare

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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