Equazioni di Eulero-Lagrange

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Le equazioni di Eulero-Lagrange, dovute a Leonhard Euler e Joseph Louis Lagrange, sono equazioni differenziali che hanno grande significato in matematica e in fisica.

Nel calcolo delle variazioni la soluzione dell'equazione di Eulero-Lagrange (anche detta equazione di Eulero o equazione di Lagrange[1]) è tale da essere un punto stazionario per un dato funzionale. Essa è l'oggetto del XIX problema di Hilbert (Le soluzioni dei problemi variazionali regolari sono sempre analitiche?), la cui soluzione fu ottenuta da Ennio De Giorgi nel 1957.

In fisica le equazioni di Lagrange sono le equazioni del moto di un sistema conservativo, in quanto si ottengono direttamente a partire dal principio variazionale di Hamilton: minimizzando l'azione, esse descrivono il moto di un oggetto che obbedisce al secondo principio della dinamica e mettono in relazione la posizione e la velocità di ogni elemento che compone un sistema meccanico, in modo che sia possibile caratterizzarne completamente la dinamica.[2]

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

L'equazione di Eulero-Lagrange ha la forma:[3]


\frac{\operatorname d}{\operatorname dt}\left(\frac{\partial \Lambda}{\partial \dot x}\right)-\frac{\partial \Lambda}{\partial x}=0

dove (x,\dot x) sono le coordinate naturali sul fibrato tangente TX di una varietà differenziabile X, ed \Lambda è a valori reali. Più precisamente:

  • La funzione:
\begin{align}
x \colon [t_1, t_2] \subset \mathbb{R} & \to     X \\
                                 t & \mapsto x = x(t)
\end{align}
è differenziabile ed il suo valore è nullo agli estremi.
  • La funzione:
\begin{align}
\dot x \colon [t_1, t_2] & \to     T_{x(t)}X \\
               t & \mapsto v = \dot x(t)
\end{align}
è la derivata di x.
  • La funzione:
\begin{align}
\Lambda \colon [t_1, t_2] \times X \times TX & \to     \mathbb{R} \\
                         (t, x, v) & \mapsto \Lambda(t, x, v)
\end{align}
è a valori reali e possiede derivate parziali prime continue. In meccanica lagrangiana \Lambda è la lagrangiana del sistema.

La soluzione x è un punto stazionario del funzionale:

\Sigma(x) = \int_{t_1}^{t_2} \Lambda(t,x(t),\dot x(t))\, \operatorname dt

per piccole perturbazioni della traiettoria (solitamente è un punto di minimo). In meccanica lagrangiana tale funzionale è detto azione.[2]

La definizione può essere immediatamente estesa a varietà di dimensione n, ed in tal caso le equazioni di Eulero-Lagrange sono un sistema di equazioni differenziali:

 \frac{\partial \Lambda}{\partial \mathbf{x}} - \frac{\operatorname d}{\operatorname dt}\frac{\partial \Lambda}{\partial \dot{\mathbf{x}}} = 0

Variabili coniugate e costanti del sistema[modifica | modifica wikitesto]

La variabile coniugata y_k relativa alla variabile x_k è definita dall'equazione:

y_k \ \stackrel{\mathrm{\Delta}}{=}\ \frac{\partial \Lambda}{\partial \dot{x}_k}

Se l'espressione di \Lambda non contiene la coordinata generalizzata x_k si verifica che:

\frac{\partial \Lambda}{\partial x_k}=0

In tal caso le equazioni di Eulero-Lagrange mostrano che la variazione temporale di y_k è nulla, e pertanto si tratta di una costante del sistema. Inoltre, x_k è detta variabile ciclica.

Principio variazionale di Hamilton[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Principio variazionale di Hamilton.

Si consideri un sistema fisico descritto da N coordinate generalizzate \mathbf q = (q_1,q_2,\dots,q_N) che evolve tra due stati \mathbf q_1(t)= \mathbf q(t_1) e \mathbf q_2(t)= \mathbf q(t_2) nell'intervallo temporale compreso tra gli istanti t_1 e t_2. Il principio variazionale di Hamilton afferma che l'evoluzione del sistema, descritta dalla curva \mathbf q(t), è un punto stazionario del funzionale azione \mathcal{S} (solitamente un punto di minimo) per piccole perturbazioni della traiettoria. In altri termini, l'evoluzione del sistema tende a minimizzare il valore dell'integrale che definisce l'azione.[2] Dal punto di vista matematico questo si traduce nel fatto che l'evoluzione del sistema fisico è la soluzione dell'equazione variazionale:

\frac{\operatorname d \mathcal{S}}{\operatorname d \mathbf{q}(t)}=0

La richiesta che l'effettiva traiettoria percorsa da un sistema fisico sia un punto stazionario dell'azione \mathcal{S} è equivalente alle equazioni di Eulero–Lagrange, come ci si accinge a dimostrare, quindi per transitività se e solo se vale il secondo principio della dinamica. Le equazioni si ricavano introducendo una piccola perturbazione \boldsymbol\varepsilon (t) a \mathbf q(t) che si annulla agli estremi del percorso:


\boldsymbol\varepsilon(t_1) = \boldsymbol\varepsilon(t_2) \ \stackrel{\mathrm{\Delta}}{=}\  0

La perturbazione produce una variazione \delta\mathcal{S} del funzionale azione data da:


\Delta \mathcal{S} = \int_{t_1}^{t_2} \left[\mathcal L(\mathbf{q}+\boldsymbol\varepsilon,\dot{\mathbf{q}} +\dot{\boldsymbol{\varepsilon}})- \mathcal L(\mathbf{q},\dot{\mathbf{q}}) \right]\operatorname dt = \int_{t_1}^{t_2} \left(
\boldsymbol\varepsilon \cdot \frac{\partial \mathcal L}{\partial \mathbf{q}} + 
\dot{\boldsymbol{\varepsilon}} \cdot \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot{\mathbf{q}}}  \right)\,\operatorname dt

Utilizzando l'integrazione per parti per il secondo termine dell'integrando a destra si ottiene:


\Delta \mathcal{S} = 
\left[ \boldsymbol\varepsilon \cdot \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot{\mathbf{q}}}\right]_{t_1}^{t_2} + 
\int_{t_1}^{t_2}\ \left( \boldsymbol\varepsilon \cdot \frac{\partial \mathcal L}{\partial \mathbf{q}}
- \boldsymbol\varepsilon \cdot \frac{\operatorname d}{\operatorname dt} \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot{\mathbf{q}}} \right)\,\operatorname dt

Le condizioni al contorno \boldsymbol\varepsilon(t_1) = \boldsymbol\varepsilon(t_2) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  0 annullano il primo termine, per cui:

\Delta \mathcal{S} = \int_{t_1}^{t_2}\; \boldsymbol\varepsilon \cdot\left(\frac{\partial \mathcal L}{\partial \mathbf{q}} - \frac{\operatorname d}{\operatorname dt} \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot{\mathbf{q}}} \right)\,\operatorname dt

Il principio di Hamilton richiede che \delta \mathcal{S} sia nullo per ogni possibile perturbazione in quanto la traiettoria percorsa è un punto stazionario dell'azione. Tale richiesta è dunque soddisfatta se l'integrando è nullo, ovvero se e solo se valgono le equazioni di Lagrange.

Meccanica[modifica | modifica wikitesto]

Lo studio dei sistemi meccanici in termini di equazioni di Eulero-Lagrange è svolto per mezzo della meccanica lagrangiana. In tale contesto le equazioni si chiamano usualmente equazioni di Lagrange, in quanto la loro giustificazione fisica è stata compiuta da Lagrange solo.

Nello studio di un sistema meccanico {x}^\lambda e \dot {x}^\lambda vengono fatti coincidere rispettivamente con le coordinate {q}^\lambda e le velocità generalizzate \dot {q}^\lambda, e le equazioni di Eulero-Lagrange determinano la loro variazione in funzione del tempo, ovvero l'evoluzione del sistema.

Le derivate parziali dell'energia cinetica lagrangiana T rispetto alle velocità (detta quantità di moto generalizzata) e le corrispondenti coordinate generalizzate di un sistema costituito da N sottosistemi e a I gradi di libertà sono:

p_i = \frac{\partial T_{\dot q_i,q_i,t}}{\partial \dot q_i}=\sum_{j = 1}^I (H_{ij} T)_{(\mathbf 0)} \dot q_j + \, (\nabla_i T)_{(\mathbf 0)}
\frac{\partial T_{\dot q_i,q_i,t}}{\partial q_i}=\frac 12 \, \sum_{i,j = 1}^I \frac{\partial (H_{ij}T)_{(\mathbf 0)}}{\partial q_i} \dot q_i \, \dot q_j + \sum_{i = 1}^I \frac{\partial (\nabla_i T)_{(\mathbf 0)}}{\partial q_i} \, \dot q_i + \frac{\partial T_{(\mathbf 0)}}{\partial q_i}

La derivata totale temporale dell'ultimo termine è la seguente:

\frac{\operatorname d}{\operatorname dt}\frac{\partial T_{\dot q_i,q_i,t}}{\partial \dot q_i}=\sum_{i = 1}^I \frac{\partial}{\partial q_i} \frac{\partial T_{\dot q_i,q_i,t}}{\partial \dot q_i} \dot q_i + \frac{\partial}{\partial t}\frac{\partial T_{\dot q_i,q_i,t}}{\partial \dot q_i}=\frac 12 \, \sum_{i,j = 1}^I \frac{\partial (H_{ij}T)_{(\mathbf 0)}}{\partial q_i} \dot q_i \, \dot q_j + \sum_{i = 1}^I \frac{\partial (\nabla_i T)_{(\mathbf 0)}} {\partial q_i} \, \dot q_i + \sum_{j = 1}^I \frac{\partial (H_{ij} T)_{(\mathbf 0)}}{\partial t} \dot q_j + \frac{\partial (\nabla_i T)_{(\mathbf 0)}}{\partial t}

Si ha pertanto:

\frac{\operatorname d}{\operatorname dt}\frac{\partial T}{\partial \dot q_i}- \frac{\partial T}{\partial q_i}= \sum_{j = 1}^I \frac{(\partial H_{ij}T)_{(\mathbf 0)}}{\partial t} \dot q_j + \frac{\partial (\nabla_i T)_{(\mathbf 0)}}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial t} \left [ \sum_{j = 1}^I  (H_{ij}T)_{(\mathbf 0)} \dot q_j + (\nabla_i T)_{(\mathbf 0)} \right ]

Per il secondo principio della dinamica la forza risultante è la derivata temporale della quantità di moto, quindi si osserva che la forza generalizzata i-esima vale:

Q_i= \sum_{n = 1}^N \frac{\operatorname d}{\operatorname dt} (m_n \mathbf {\dot x}_n) \cdot \frac{\partial \mathbf x_n}{\partial q_i} 

= \sum_{n = 1}^N \left (\sum_{j = 1}^I \frac{\partial (m_n \mathbf {\dot x}_n)}{\partial q_j}\dot q_j + \frac{\partial (m_n \dot {\mathbf x}_n)}{\partial t} \right ) \cdot \frac{\partial x_n}{\partial q_i}

= \sum_{n = 1}^N \left (\sum_{j = 1}^I m_n \frac{\partial \mathbf {\dot x}_n}{\partial q_j}\dot q_j + m_n \frac{\partial \dot {\mathbf x}_n}{\partial t} + \mathbf {\dot x}_n \frac{\partial m_n}{\partial t} \right ) \cdot \frac{\partial \mathbf x_n}{\partial q_i}

Se ciascuna parte del sistema ha massa costante si ha:

\frac {\partial m_n}{\partial t} = 0 \quad \forall n

da cui:

Q_i= \frac{\partial}{\partial t} \left ( \sum_{j = 1}^I  \sum_{n = 1}^N m_n \frac{\partial x_n^2}{\partial q_i \partial q_j} \dot q_j + \sum_{n = 1}^N m_n \dot x_n \frac{\partial x_n}{\partial q_i} \right )

= \frac{\partial}{\partial t} \left [ \sum_{j = 1}^I  (H_{ij}T)_{(\mathbf 0)} \dot q_j + (\nabla_i T)_{(\mathbf 0)} \right ]

Si giunge in questo modo alle equazioni del I tipo:

\frac{\operatorname d}{\operatorname dt}\frac{\partial T}{\partial \dot q_i} - \frac{\partial T}{\partial q_i}= Q_i

Le equazioni di Lagrange sono in generale I equazioni differenziali del secondo ordine non lineari in I funzioni del tempo, le coordinate generalizzate, equivalenti perciò ad un sistema di ordine 2^I.[4] In forma vettoriale si ha:

 \mathbf Q_q = {\partial \over \partial t}{ \left ( (\mathbf H T)_{(\mathbf 0)} \dot {\mathbf q} + (\nabla T)_{(\mathbf 0)} \right ) } =
 = (\mathbf H T)_{(\mathbf 0)} \ddot {\mathbf q} - \frac{1}{2} \dot {\mathbf q}^*\nabla (\mathbf H T)_{(\mathbf 0)}\dot{\mathbf q} + \left [ {\partial \over \partial t} { (\mathbf H T)_{(\mathbf 0)}}  - (\nabla \nabla^* T)_{(\mathbf 0)} \right ] \dot {\mathbf q} + \left [ -1 + {\partial \over \partial t} \right ](\nabla T)_{(\mathbf 0)}

Ora, notando che in generale la forza generalizzata si può dividere in una componente non conservativa \Nu_i ed in una conservativa C_i, e che per definizione:

Q_i = \Nu_i + C_i\, = \Nu_i - \frac{\partial U}{\partial q_i}

dal momento che l'energia potenziale è funzione delle sole coordinate del sistema:

\frac{\partial U_{q_i,t}}{\partial \dot q_i} = 0

scomponendo la forza ed introducendo quest'ultimo termine nullo nell'equazione del I tipo:

\frac{\operatorname d}{\operatorname dt}\frac{\partial T}{\partial \dot q_i} - \frac{\partial U}{\partial \dot q_i} - \frac{\partial T}{\partial q_i} + \frac{\partial U}{\partial q_i} = \Nu_i

si ottengono le equazioni del II tipo, nella forma di Lagrange:

\frac{\operatorname d}{\operatorname dt}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot q_i} - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_i} = \Nu_i

dove \mathcal{L} è la Lagrangiana meccanica del sistema. Se la sua matrice hessiana rispetto alle componenti della velocità generalizzata \mathbf H \mathcal L è invertibile, allora questa si dice regolare e le equazioni di Lagrange sono un sistema del second'ordine. Come si è visto, esse sono equivalenti al secondo principio della dinamica nell'approccio newtoniano.

Solo nel caso in cui il sistema sia conservativo, e cioè la risultante delle forze non conservative sia nulla, le equazioni del moto sono del tipo di Eulero-Lagrange:

\frac{\operatorname d}{\operatorname dt}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot q_i} - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_i} = 0

con funzionale costituito dalla differenza tra energia cinetica e energia potenziale, e variabile coniugata costituita dalla quantità di moto generalizzata, mentre ciò non è vero per i sistemi non conservativi.

Si è sempre supposto che il sistema sia correttamente parametrizzato, e quindi i parametri lagrangiani siano una base per lo spazio delle fasi. Tuttavia, nel caso in cui questo risulti difficile, è possibile ridurre la condizione di validità delle equazioni solamente ad una parametrizzazione generatrice (facendo a meno della indipendenza lineare delle coordinate lagrangiane), passando alle equazioni di Appell.

Particelle libere in coordinate polari[modifica | modifica wikitesto]

Una particella libera di massa m e velocità v in uno spazio euclideo si muove in linea retta conformemente al primo principio della dinamica. Le equazioni di Eulero-Lagrange in coordinate polari modellano il fenomeno come segue. In assenza di potenziale, la lagrangiana è uguale all'energia cinetica:

\frac{1}{2} mv^2= \frac{1}{2}m \left( \dot{x}^2 + \dot{y}^2 \right)

dove si utilizzano coordinate ortonormali (x,y), ed il punto sopra le coordinate rappresenta la derivata rispetto al parametro della curva (usualmente il tempo t). In coordinate polari (r,\phi) l'energia cinetica, e dunque la lagrangiana, diventa:


     \mathcal  L = \frac{1}{2}m \left( \dot{r}^2 + r^2\dot\phi^2 \right)

Le componenti radiale r ed angolare \phi dell'equazione di Eulero-Lagrange sono rispettivamente,

\frac{\operatorname d}{\operatorname dt} \left( \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot{r}} \right)- \frac{\partial \mathcal L}{\partial r} = 0  \qquad \frac{\operatorname d}{\operatorname dt} \left( \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot{\phi}}  \right)-\frac{\partial \mathcal L}{\partial \phi} = 0

Da cui:

\ddot{r} -  r\dot{\phi}^2 = 0 \qquad \ddot{\phi} + \frac{2}{r}\dot{r}\dot{\phi} = 0

La soluzione di queste due equazioni è data da:

 r\cos\phi = a t + b
 r\sin\phi = c t + d

per un insieme di costanti a, b, c, d determinate dalle condizioni iniziali. Perciò, la soluzione è una linea retta data in coordinate polari.

Teoria dei campi[modifica | modifica wikitesto]

In teoria dei campi le equazioni di Eulero-Lagrange si generalizzano nel sistema di equazioni alle derivate parziali:


\frac{\partial\phi^i}{\partial x^\mu}=\phi^i_\mu \qquad \frac{\operatorname d}{\operatorname dx^\mu}\left(\frac{\partial \Lambda}{\partial\phi^i_\mu}\right)-\frac{\partial \Lambda}{\partial \phi^i}=0

dove x^\mu sono le coordinate su di una varietà differenziabile M (solitamente lo spazio-tempo) e \phi^i sono le componenti di un campo su questa varietà a valori in una certa "varietà bersaglio" F. Con l'espressione \frac{\operatorname d}{\operatorname dx^\mu} si indica la derivata totale rispetto alla variabile x^\mu.

Più formalmente, i campi possono essere rappresentati come sezioni di un fibrato con base M e fibra F, e per rappresentare le loro derivate occorre allora introdurre il formalismo dei getti.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Fox, Charles (1987). An introduction to the calculus of variations. Courier Dover Publications. ISBN 9780486654997.
  2. ^ a b c Landau, Lifshits, Pag. 28
  3. ^ Landau, Lifshits, Pag. 30
  4. ^ In problemi semplici l'ordine del sistema si può abbassare

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Lev D. Landau, Evgenij M. Lifshits, Fisica teorica 1 - Meccanica, Roma, Editori Riuniti Edizioni Mir, 1976, ISBN 88-6473-202-0.
  • (IT) G. Benettin, Appunti per il corso di fisica matematica, Padova, 2013.
  • Antonio Fasano e Stefano Marmi, Meccanica Analitica, (2002) Bollati Boringhieri, Torino ISBN 88-339-5681-4
  • Dare A. Wells, Dinamica lagrangiana, con 275 esercizi risolti, ETAS, collana Schaum (1984), 353 p. (traduzione di Lagrangian Dynamics, McGraw-Hill, (1967) ISBN 007-069258-0) Una trattazione esaustiva dell'argomento. Edizione italiana fuori catalogo, sembra reperibile solo nelle biblioteche.
  • (EN) Izrail Moiseevish Gelfand, Calculus of Variations, Dover, 1963, ISBN 0-486-41448-5.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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