Equazioni di Eulero-Lagrange

In generale nel calcolo delle variazioni, per equazioni di Eulero-Lagrange, si intendono delle equazioni differenziali le cui soluzioni sono delle funzioni per le quali un dato funzionale è un punto stazionario, risalenti al XVIII secolo.

$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial f}{\partial \dot q^\lambda}\right)-\frac{\partial f}{\partial q^\lambda}=0$

In meccanica lagrangiana, in particolare, le equazioni del moto di un sistema espresse in questa forma sono dette Equazioni di Lagrange, dove per sistemi conservativi si dimostra che il funzionale è costituito dalla Lagrangiana $\mathcal{L}$.

Definizione

Le equazioni di Eulero-Lagrange sono le n equazioni:

$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial f}{\partial \dot q^\lambda}\right)-\frac{\partial f}{\partial q^\lambda}=0$

dove $(q^\lambda,\dot q^\lambda)$, coordinate naturali sul fibrato tangente TQ di una varietà differenziabile Q di dimensione n con coordinate $q^\lambda$, mentre L è una funzione detta Lagrangiana del sistema.

Meccanica

Lo studio dei sistemi meccanici in termini di equazioni di Eulero-Lagrange è l'argomento della meccanica lagrangiana: in questo contesto le equazioni si chiamano usualmente equazioni di Lagrange, in quanto la loro giustificazione fisica è stata compiuta soprattutto dal francese.

Nello studio di un sistema meccanico le ${q}^\lambda$ e le $\dot {q}^\lambda$ vengono fatte coincidere rispettivamente con le coordinate e le velocità generalizzate, in modo che le soluzioni delle equazioni di Eulero-Lagrange ci indichino come variano in funzione del tempo queste quantità, e quindi classicamente l'evoluzione del sistema. Le derivate parziali rispetto alle velocità (detta quantità di moto generalizzata) e corrispondenti coordinate generalizzate, dell'energia cinetica lagrangiana di un sistema costituito da N sottosistemi e a I gradi di libertà sono in ordine:

$p_i = \frac{\partial T_{\dot q_i,q_i,t}}{\partial \dot q_i}=\sum_{j = 1}^I (H_{ij} T)_{(\mathbf 0)} \dot q_j + \, (\nabla_i T)_{(\mathbf 0)} \,$

$\frac{\partial T_{\dot q_i,q_i,t}}{\partial q_i}=\frac 12 \, \sum_{i,j = 1}^I \frac{\partial (H_{ij}T)_{(\mathbf 0)}}{\partial q_i} \dot q_i \, \dot q_j + \sum_{i = 1}^I \frac{\partial (\nabla_i T)_{(\mathbf 0)}}{\partial q_i} \, \dot q_i + \frac{\partial T_{(\mathbf 0)}}{\partial q_i} \,$

di quest'ultimo termine la derivata totale temporale:

$\frac{d}{dt}\frac{\partial T_{\dot q_i,q_i,t}}{\partial \dot q_i}=\sum_{i = 1}^I \frac{\partial}{\partial q_i} \frac{\partial T_{\dot q_i,q_i,t}}{\partial \dot q_i} \dot q_i + \frac{\partial}{\partial t}\frac{\partial T_{\dot q_i,q_i,t}}{\partial \dot q_i}=\frac 12 \, \sum_{i,j = 1}^I \frac{\partial (H_{ij}T)_{(\mathbf 0)}}{\partial q_i} \dot q_i \, \dot q_j + \sum_{i = 1}^I \frac{\partial (\nabla_i T)_{(\mathbf 0)}} {\partial q_i} \, \dot q_i + \sum_{j = 1}^I \frac{\partial (H_{ij} T)_{(\mathbf 0)}}{\partial t} \dot q_j + \frac{\partial (\nabla_i T)_{(\mathbf 0)}}{\partial t} \,$

quindi la differenza del primo e dell'ultimo termine vale:

$\frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial \dot q_i}- \frac{\partial T}{\partial q_i}= \sum_{j = 1}^I \frac{(\partial H_{ij}T)_{(\mathbf 0)}}{\partial t} \dot q_j + \frac{\partial (\nabla_i T)_{(\mathbf 0)}}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial t} \left [ \sum_{j = 1}^I (H_{ij}T)_{(\mathbf 0)} \dot q_j + (\nabla_i T)_{(\mathbf 0)} \right ] \,$

Per il secondo principio della dinamica la forza risultante è la derivata temporale della quantità di moto, quindi osserviamo che la forza generalizzata i-esima vale:

$Q_i= \sum_{n = 1}^N \frac{d}{dt} (m_n \mathbf {\dot x}_n) \cdot \frac{\partial \mathbf x_n}{\partial q_i} = \sum_{n = 1}^N \left (\sum_{j = 1}^I \frac{\partial (m_n \mathbf {\dot x}_n)}{\partial q_j}\dot q_j + \frac{\partial (m_n \dot {\mathbf x}_n)}{\partial t} \right ) \cdot \frac{\partial x_n}{\partial q_i} = \sum_{n = 1}^N \left (\sum_{j = 1}^I m_n \frac{\partial \mathbf {\dot x}_n}{\partial q_j}\dot q_j + m_n \frac{\partial \dot {\mathbf x}_n}{\partial t} + \mathbf {\dot x}_n \frac{\partial m_n}{\partial t} \right ) \cdot \frac{\partial \mathbf x_n}{\partial q_i}$

E se ciascuna parte del sistema ha massa costante:

$\forall n \quad \frac {\partial m_n}{\partial t} = 0 \quad \rightarrow Q_i= \frac{\partial}{\partial t} \left ( \sum_{j = 1}^I \sum_{n = 1}^N m_n \frac{\partial x_n^2}{\partial q_i \partial q_j} \dot q_j + \sum_{n = 1}^N m_n \dot x_n \frac{\partial x_n}{\partial q_i} \right ) = \frac{\partial}{\partial t} \left [ \sum_{j = 1}^I (H_{ij}T)_{(\mathbf 0)} \dot q_j + (\nabla_i T)_{(\mathbf 0)} \right ]$

quindi si giunge alle equazioni del I tipo:

$\frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial \dot q_i} - \frac{\partial T}{\partial q_i}= Q_i$

Le equazioni di Lagrange sono in generale I equazioni generiche del second'ordine non lineari in I funzioni del tempo, le coordinate generalizzate, equivalenti perciò ad un sistema di ordine $2^I$. In problemi semplici il sistema si può abbassare di ordine, ma da questo punto di vista si comprende la superiorità delle equazioni di Hamilton. Infatti in forma vettoriale risultano:

$\mathbf Q_q = {\partial \over \partial t}{ \left ( (\mathbf H T)_{(\mathbf 0)} \dot {\mathbf q} + (\nabla T)_{(\mathbf 0)} \right ) } =$

$= (\mathbf H T)_{(\mathbf 0)} \ddot {\mathbf q} - \frac{1}{2} \dot {\mathbf q}^*\nabla (\mathbf H T)_{(\mathbf 0)}\dot{\mathbf q} + \left [ {\partial \over \partial t} { (\mathbf H T)_{(\mathbf 0)}} - (\nabla \nabla^* T)_{(\mathbf 0)} \right ] \dot {\mathbf q} + \left [ -1 + {\partial \over \partial t} \right ](\nabla T)_{(\mathbf 0)}$

Ora, notando che in generale la forza generalizzata si può dividere in una componente non conservativa ed in una conservativa, e che per definizione:

$Q_i = \Nu_i + C_i\, = \Nu_i - \frac{\partial U}{\partial q_i}$

e che per definizione l'energia potenziale è funzione delle sole coordinate del sistema:

$\frac{\partial U_{q_i,t}}{\partial \dot q_i} = 0$,

si arriva, scomponendo la forza come visto ed introducendo quest'ultimo termine nullo nell'equazione del I tipo,

$\frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial \dot q_i} - \frac{\partial U}{\partial \dot q_i} - \frac{\partial T}{\partial q_i} + \frac{\partial U}{\partial q_i} = \Nu_i$

si arriva alle equazioni del II tipo, nella forma di Lagrange:

$\frac{d}{dt}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot q_i} - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_i} = \Nu_i \,$

dove $\mathcal{L}$ è la Lagrangiana meccanica del sistema, se la sua hessiana rispetto alle componenti della velocità generalizzata $\mathbf H \mathcal L$ è invertibile allora questa si dice regolare e le equazioni di Lagrange sono un sistema del second'ordine. Come si è visto, esse sono equivalenti al secondo principio della dinamica nell'approccio newtoniano.

In particolare nel caso che il sistema sia conservativo, e cioè la risultante delle forze non conservative è nulla, esse si riducono a: $\frac{d}{dt}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot q_i} - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_i} = 0\,$ e quindi per i sistemi conservativi le equazioni del moto sono in effetti delle equazioni di Eulero-Lagrange il cui funzionale è costituito dalla Lagrangiana, mentre ciò non è vero per i sistemi non conservativi.

Abbiamo sempre supposto che il sistema sia stato correttamente parametrizzato, e quindi i parametri lagrangiani siano una base per lo spazio delle fasi. Tuttavia, nel caso in cui questo risulti difficile, è possibile ridurre la condizione di validità delle equazioni solamente ad una parametrizzazione generatrice (facendo a meno della indipendenza lineare delle coordinate lagrangiane), passando alle equazioni di Appell.

Esempio: Particelle libere in coordinate polari

Semplici esempi aiutano ad apprezzare l'uso del principio di azione tramite le equazioni di Eulero-Lagrange. Una particella libera (di massa $m$ e velocità $v$) in uno spazio euclideo si muove in linea retta. Utilizzando le equazioni di Eulero-Lagrange questo può essere mostrato in coordinate polari come segue. In assenza di potenziale, la lagrangiana è uguale semplicemente all'energia cinetica $\frac{1}{2} mv^2= \frac{1}{2}m \left( \dot{x}^2 + \dot{y}^2 \right)$ in coordinate ortonormali $(x,y)$, dove il punto sopra le coordinate rappresenta la derivata rispetto al parametro della curva (usualmente il tempo $t$). In coordinate polari $(r,\phi)$ l'energia cinetica e dunque la lagrangiana diventa

$\mathcal L = \frac{1}{2}m \left( \dot{r}^2 + r^2\dot\phi^2 \right)$

Le componenti radiale $r$ ed angolare $\phi$ dell'equazione di Eulero-Lagrange diventano rispettivamente,

$\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot{r}} \right) - \frac{\partial \mathcal L}{\partial r} = 0 \qquad \Rightarrow \qquad \ddot{r} - r\dot{\phi}^2 = 0$

$\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot{\phi}} \right) -\frac{\partial \mathcal L}{\partial \phi} = 0 \qquad \Rightarrow \qquad \ddot{\phi} + \frac{2}{r}\dot{r}\dot{\phi} = 0$

La soluzione di queste due equazioni è data da

$r\cos\phi = a t + b$

$r\sin\phi = c t + d$

per un insieme di costanti $a, b, c, d$ determinate dalle condizioni iniziali. Perciò, ovviamente, la soluzione è una linea retta data in coordinate polari.

Equazioni di Eulero Lagrange in teoria dei campi

In teoria dei campi le equazioni di Eulero-Lagrange si generalizzano nel sistema di equazioni alle derivate parziali

$\frac{\partial\phi^i}{\partial x^\mu}=\phi^i_\mu$

$\frac{d}{dx^\mu}\left(\frac{\partial \mathcal L}{\partial\phi^i_\mu}\right)-\frac{\partial \mathcal L}{\partial \phi^i}=0$

dove $x^\mu$ sono le coordinate su di una varietà differenziabile M (usualmente lo spazio-tempo) e $\phi^i$ sono le componenti di un campo su questa varietà a valori in una certa "varietà bersaglio" F; nuovamente con l'espressione $\frac{d}{dx^\mu}$ si indica la derivata totale rispetto alla variabile $x^\mu$.

Più formalmente i campi possono essere rappresentati come sezioni di un fibrato con base M e fibra F, per rappresentare le loro derivate occorre allora introdurre il formalismo dei getti.

Bibliografia

• (EN) Eric W. Weisstein, Equazioni di Eulero-Lagrange su MathWorld.

• Izrail Moiseevish Gelfand, Calculus of Variations, Dover, 1963. ISBN 0-486-41448-5
• Calculus of Variations at Example Problems.com (Provides examples of problems from the calculus of variations that involve the Euler – Lagrange equations.)

Voci correlate

• Meccanica lagrangiana
• Teorema di Noether
• Lagrangiana
• Hamiltoniana
• Derivata funzionale
• Principio di Hamilton
• Forma di Nielsen

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