Integrazione per parti

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In matematica, il metodo di integrazione per parti è una delle principali procedure di risoluzione di integrali. Se un integrando è scomponibile nel prodotto di due funzioni, il metodo permette di calcolare l'integrale in termini di un altro integrale il cui integrando sia il prodotto della derivata di una funzione e della primitiva dell'altra.

Il metodo[modifica | modifica sorgente]

Siano f e g due funzioni continue e derivabili in x. La derivata del prodotto delle due funzioni è pari a:

\frac{\text{d}}{\text{d}x}[f(x)g(x)] = \frac{\text{d}f(x)}{\text{d}x}g(x)+f(x)\frac{\text{d}g(x)}{\text{d}x} =
 f^\prime(x)g(x) + f(x)g^\prime(x)

Applicando ora l'operatore integrale ad entrambi i membri dell'equazione si ottiene

\int \frac{\text{d}}{\text{d}x}[f(x)g(x)] \text{d}x = \int [f^\prime(x)g(x) + f(x)g^\prime(x)] \text{d}x = \int [f^\prime(x)g(x)] \text{d}x + \int [f(x)g^\prime(x)] \text{d}x

Per il teorema fondamentale del calcolo integrale si ha che

f(x)g(x) = \int [f^\prime(x)g(x)] \text{d}x + \int [f(x)g^\prime(x)] \text{d}x

Volendo applicare il procedimento appena eseguito su un intevallo di integrazione (a,b) si ottiene

\left.f(x)g(x)\right|_a^b = \int_a^b  [f^\prime(x)g(x)] \text{d}x + \int_a^b [f(x)g^\prime(x)] \text{d}x

È possibile quindi procedere alla manipolazione delle ultime due formule ottenute in modo tale da esprimere uno dei due integrali come differenza fra il prodotto delle primitive e l'integrale rimanente.

La forza di questo metodo risiede nella capacità di individuare, fra le due funzioni f(x) e g(x), quella più facilmente derivabile/integrabile in maniera da poterla utilizzare per eliminare la difficoltà di integrazione insorta.

Esempi[modifica | modifica sorgente]

  • Vogliamo svolgere per parti
\int [\sin(x) \cos(x)] \text{d}x

Poniamo f(x) = \sin(x) e g^\prime(x) = \cos(x) e scriviamo

\int [f(x)g^\prime(x)] \text{d}x = f(x)g(x) - \int [f^\prime(x)g(x)] \text{d}x

ovvero

\int [\sin(x)\cos(x)] \text{d}x = \sin(x)\sin(x) - \int [\cos(x)\sin(x)] \text{d}x
2 \int [\sin(x)\cos(x)] \text{d}x = \sin^2(x)
\int [\sin(x)\cos(x)] \text{d}x = \frac{\sin^2(x)}{2} + C
  • Vogliamo risolvere per parti
\int x e^x \text{d}x

Poniamo f(x) = x e g^\prime(x) = e^x e scriviamo

\int [f(x)g^\prime(x)] \text{d}x = f(x)g(x) - \int [f^\prime(x)g(x)] \text{d}x

ovvero

\int x e^x \text{d}x = x e^x - \int e^x \text{d}x
\int x e^x \text{d}x = x e^x - e^x + C
\int x e^x \text{d}x = e^x (x - 1) + C

Formule ricorsive di integrazione[modifica | modifica sorgente]

Alcuni integrali possono essere risolti con il metodo di integrazione per parti in modo iterativo. Ad esempio:

I_1 = \int \mathrm{sen}^{2} x \, dx

Usando il metodo di integrazione per parti:

\int \mathrm{sen} (x) \cdot \mathrm{sen} (x) \, dx = \int \mathrm{sen} (x) \cdot (-\cos (x))' \, dx =
= - \mathrm{sen} (x) \cos (x) + \int \cos^2 (x) \, dx = - \mathrm{sen} (x) \cdot \cos (x) + \int (1 - \mathrm{sen}^2 (x)) \, dx

Dunque:

I_1 = x - \mathrm{sen} (x) \cdot \cos (x) - \int \mathrm{sen}^2 (x) \, dx = x - \mathrm{sen} (x) \cdot \cos (x) - I_1

quindi abbiamo ottenuto che:

I_1 = \int \mathrm{sen}^2 (x) dx= \frac{1}{2} \left( x - \mathrm{sen} (x) \cdot \cos (x) \right) + C

A questo punto possiamo calcolare tutti gli I_{n+1} integrali di questo tipo:

I_{n+1} = \int \mathrm{sen}^{2n+1} (x) \mathrm{sen} (x) \, dx = \int \mathrm{sen}^{2n+1} (x) \cdot (-\cos (x))' \, dx =
= - \mathrm{sen}^{2n+1} (x) \cdot \cos (x) + (2n+1) \int \mathrm{sen}^{2n} (x) \cdot \cos^2 (x) \, dx = - \mathrm{sen}^{2n+1} (x) \cos x + (2n+1) \int \mathrm{sen}^{2n} (x) (1-\mathrm{sen}^2 x) \, dx
I_{n+1} = \frac{1}{2n+2} \left[ (2n+1) I_n - \mathrm{sen}^{2n+1} (x) \cdot \cos (x) \right] + C

Più dimensioni[modifica | modifica sorgente]

La formula dell'integrazione per parti può essere estesa a funzioni di più variabili. Al posto di un intervallo si integra su un insieme n-dimensionale. Inoltre, si sostituisce alla derivata la derivata parziale.

Nello specifico, sia Ω un sottoinsieme aperto limitato di \mathbb{R}^n con un bordo ∂Ω. Se u e v sono due funzioni differenziabili con continuità sulla chiusura di Ω, allora la formula di integrazione per parti è

\int_{\Omega} \frac{\partial u}{\partial x_i} v \,dx = \int_{\partial\Omega} u v \, \nu_i \,d\sigma - \int_{\Omega} u \frac{\partial v}{\partial x_i} \, dx

dove \nu è la normale alla superficie unitaria uscente da to ∂Ω, νi è la sua i-esima componente, con i che va da 1 a n. Sostituendo v nella formula precedente con vi e sommando su i si ottiene la formula vettoriale

 \int_{\Omega} \nabla u \cdot \mathbf{v}\, dx = \int_{\partial\Omega} u\, \mathbf{v}\cdot\nu\,  d\sigma -  \int_\Omega u\, \nabla\cdot \mathbf{v}\, dx

dove v è una funzione a valori vettoriali con componenti vi

Ponendo u uguale alla funzione costante 1 nella formula precedente si ottiene il teorema della divergenza. Con \mathbf{v}=\nabla v dove v\in C^2(\bar{\Omega}), si ottiene

 \int_{\Omega} \nabla u \cdot \nabla v\, dx = \int_{\partial\Omega} u\, \nabla v\cdot\nu\, d\sigma -  \int_\Omega u\, \Delta v\, dx

che è la prima identità di Green.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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