Operatore nabla

In matematica, ed in particolare nel calcolo vettoriale e nell'analisi matematica, il nabla indicato col simbolo $\mathbf{\nabla}$ è un operatore differenziale vettoriale. Il simbolo è chiamato, molto raramente e solo nel mondo anglosassone, anche atled (delta letto al contrario) a causa della sua forma a delta (Δ) rovesciato.

Il nabla è una convenzione matematica che consente di scrivere, con una notazione compatta, gli operatori differenziali gradiente, divergenza e rotore.

Qualora lo spazio vettoriale nel quale il nabla agisce sia uni-dimensionale, la definizione del nabla coincide con l'ordinaria derivata.

Il termine deriva dal nome di uno strumento musicale a corda della tradizione ebraica europea, il nabel, simile ad un'arpa, ovvero simile ad una viola o ad un violino ma avente una cassa acustica di profilo triangolare, che richiama appunto quella di un delta rovesciato.

Il simbolo è stato utilizzato per la prima volta dal matematico e fisico William Rowan Hamilton nella forma di un delta sdraiato ⊲. In greco il simbolo è chiamato ανάδελτα, anádelta, ovvero delta rovesciato. Nel linguaggio anglosassone il simbolo nabla, quando è un operatore matematico, è chiamato del.

Il simbolo è disponibile nel codice HTML come ∇ e nel codice LaTeX come \nabla. Nella codifica Unicode è rappresentato nella cella U+2207, o, in notazione decimale 8711.

Definizione

In uno spazio tridimensionale $\mathbb{R}^{3}$ generato da un sistema di coordinate cartesiane x,y,z con versori indicati i, j e k, il nabla è definito come:

$\nabla = \hat{\mathbf{i}} {\partial \over \partial x} + \hat{\mathbf{j}}{\partial \over \partial y} + \hat{\mathbf{k}}{\partial \over \partial z}$

La generalizzazione per uno spazio $\mathbb{R}^{n,m}$ con funzioni di n variabili a m valori, viene scritta:

$\nabla=\sum_{i=1}^n \hat{x_i} \frac{\partial}{\partial x_i}$

Usi del nabla

L'operatore nabla consente di scrivere con una notazione compatta ed intuitiva gli operatori differenziali del gradiente, la divergenza, il rotore, la derivata direzionale, il laplaciano:

• Gradiente:

$\nabla f$ = $\mathrm{grad} \; f$

• Divergenza:

$\nabla \cdot \vec v$ = $\mathrm{div} \; \vec v$

• Rotore:

$\nabla \times \vec v$ = $\mathrm{rot} \; \vec v$

• Laplaciano:

$\nabla^2 f = \nabla \cdot \nabla f$

dove f è una funzione reale di più variabili reali, $\vec v$ è un campo, cioè una funzione vettoriale di più variabili reali. Il simbolo $\cdot$ rappresenta il prodotto scalare, mentre $\times$ il prodotto vettoriale.

Questo consente di semplificare la scrittura anche di complicate equazioni differenziali.

Definizione intrinseca

La definizione data sopra è in realtà una definizione informale che dipende dal sistema di coordinate prescelto. Si può tuttavia definire il nabla con una definizione intrinseca più generale, indipendente dal sistema di coordinate:

$\nabla\star f = \lim_{\Delta V \to 0} \frac{1}{\Delta V} \oint_S d\vec S\star f$

in cui $\star$ rappresenta un prodotto arbitrario (scalare, vettoriale, tensoriale o per uno scalare), mentre f è un campo scalare, vettoriale o tensoriale. ΔV è il volume racchiuso dalla superficie S che è il dominio di integrazione e che nel limite si riduce a un punto. In questo modo si possono definire in maniera intrinseca il gradiente la divergenza e il rotore e gli altri operatori differenziali.

Voci correlate

• Jacobiano
• Gradiente
• Divergenza
• Laplaciano
• Rotore
• Derivata parziale
• Calcolo vettoriale
• Nabla in coordinate cilindriche e sferiche

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