Forza conservativa

In fisica, una forza conservativa è la forza esercitata da un campo di forze conservativo. Si tratta di una forza il cui lavoro su un oggetto lungo un percorso dipende esclusivamente dalla posizione iniziale e finale, e non dalla natura del percorso.

Definizione

Per approfondire, vedi la voce Campo vettoriale conservativo.

Una forza si dice conservativa se risponde alla condizione globale che il lavoro che compie lungo una qualsiasi traiettoria chiusa $\delta S$ è nullo:

$\delta W_O =\oint_{\delta S} \mathbf{F} \cdot \operatorname{d}\mathbf{r} = 0 \quad \forall \mathbf O \subseteq \R^{3}$

Ma allora, dal teorema di Kelvin, segue che sulla superficie delimitata dalla curva $\delta S$:

$\oint_{\delta S} \mathbf{F} \cdot \operatorname{d}\mathbf{r} = \int_{S} (\nabla \times \mathbf F) \cdot d\mathbf s = 0 \quad \forall \mathbf s \subseteq \R^{3}$

E quindi si passa all'espressione in forma locale della stessa condizione:

$\nabla \times \mathbf F = 0 \quad \forall \mathbf r$ ∈$\R^{3}$

Per il lemma di Poincaré, il rotore è essere nullo se e solo se il proprio argomento è esprimibile come un gradiente:

$\nabla \times \mathbf F = 0 \rightarrow \mathbf F = - \nabla U_{\mathbf r} ,$

Esiste cioè un potenziale scalare $U(r)$, detto energia potenziale dipendente dalla posizione (mentre lo stesso non si può dire in generale della forza), l'opposto della cui variazione $\Delta U$ è pari al lavoro $W$ compiuto una forza $F$ lungo il percorso C:

$dW = -dU(\mathbf r),$

Il lavoro di forze conservative risulta quindi un differenziale esatto nel vettore posizione r. Ma allora la forza esercitata dal campo conservativo su un oggetto compie quindi un lavoro pari all'opposto della variazione di energia potenziale posseduta dall'oggetto tra le due posizioni, ed è indipendente dal percorso seguito:

$\Delta W_{A B} = U_{(B)} - U_{(A)},$

A livello microscopico tutte le forze sono conservative.

Voci correlate

• Lavoro
• Campi conservativi
• Lemma di Poincaré
• Teorema di Kelvin
• Forza dissipativa

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