Forza conservativa

In fisica, una forza conservativa è una forza il cui lavoro durante un certo tragitto non dipende dal particolare cammino percorso ma solo dalla distanza tra i punti di partenza e di arrivo. Si tratta di un campo vettoriale conservativo. Informalmente, una forza conservativa è una forza che conserva l'energia meccanica. Tutte le interazioni fondamentali sono conservative.

Dato un oggetto soggetto ad una forza, che può essere rappresentata nello spazio con un campo vettoriale $\mathbf{F}$, il lavoro compiuto dalla forza sull'oggetto è definito come l'integrale curvilineo (rispetto alla posizione) di $\mathbf{F}$ lungo il percorso compiuto nello spazio. Condizione necessaria e sufficiente affinché la forza sia conservativa è che il lavoro compiuto da essa lungo una qualsiasi traiettoria chiusa è nullo. In tal caso, il potenziale della forza in un punto è proporzionale all'energia potenziale posseduta dall'oggetto in quel punto a causa della presenza della forza. Una forza conservativa è quindi una funzione che dipende soltanto dalla posizione. La forza peso e la forza elastica sono due esempi di forze conservative.

Un sistema dinamico su cui agiscono solo forze conservative è detto sistema conservativo.

Definizione

Una forza è conservativa se il lavoro $W$ che compie lungo una qualsiasi traiettoria chiusa finita $\partial S$ è nullo:

$W =\oint_{\partial S} \mathbf{F} \cdot \operatorname{d}\mathbf{r} = 0$

Per il teorema di Kelvin, su qualsiasi superficie delimitata dalla curva $\partial S$ si ha:

$\oint_{\partial S} \mathbf{F} \cdot \operatorname{d}\mathbf{r} = \int_{S} (\nabla \times \mathbf F) \cdot d\mathbf s = 0$

da cui si ottiene l'espressione in forma locale:

$\nabla \times \mathbf F = 0$

Per il lemma di Poincaré, il rotore è nullo se e solo se il proprio argomento è esprimibile come un gradiente, ovvero:

$\mathbf F = - \nabla U$

e quindi una forza è conservativa se e solo se esiste un potenziale scalare $U$ di cui è il gradiente. L'opposto della variazione $U(\mathbf r_2) - U(\mathbf r_1)$ di $U$ durante un tragitto da $\mathbf r_1$ a $\mathbf r_2$ è pari al lavoro $W$ compiuto dalla forza in tale percorso, che in accordo con il teorema fondamentale del calcolo integrale è indipendente dal percorso seguito:

$W_{\mathbf r_1\rightarrow \mathbf r_2} = U(\mathbf r_2) - U(\mathbf r_1)$

Bibliografia

• (EN) Louis N. Hand, Janet D. Finch, Analytical Mechanics, Cambridge University Press, 1998, pp. 41. ISBN 0-521-57572-9
• (EN) George B. Arfken and Hans J. Weber, Mathematical Methods for Physicists, 6th edition, Elsevier Academic Press (2005)

Voci correlate

• Campo vettoriale conservativo
• Energia potenziale
• Forza dissipativa
• Lavoro (fisica)
• Lemma di Poincaré
• Teorema di Kelvin

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