Forza conservativa

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In fisica, una forza conservativa è una forza descritta da un campo vettoriale conservativo, cioè il suo lavoro durante un certo tragitto non dipende dal particolare cammino percorso ma solo dai punti di partenza e arrivo.

In maniera semplice, una forza conservativa è una forza che conserva l'energia meccanica. Tutte le interazioni fondamentali sono conservative.

Dato un oggetto soggetto ad una forza, che può essere rappresentata nello spazio con un campo vettoriale \mathbf{F}, il lavoro compiuto dalla forza sull'oggetto è definito come l'integrale curvilineo (rispetto alla posizione) di \mathbf{F} lungo il percorso compiuto nello spazio. Condizione necessaria e sufficiente affinché la forza sia conservativa è che il lavoro compiuto da essa lungo una qualsiasi traiettoria chiusa sia nullo. In tal caso, il potenziale della forza in un punto è proporzionale all'energia potenziale posseduta dall'oggetto in quel punto a causa della presenza della forza. Una forza conservativa è quindi una funzione che dipende soltanto dalla posizione. La forza peso e la forza elastica sono due esempi di forze conservative.

Un sistema dinamico su cui agiscono solo forze conservative è detto sistema conservativo.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Una forza è conservativa se il lavoro W che compie lungo una qualsiasi traiettoria chiusa finita \partial S è nullo:

W =\oint_{\partial S} \mathbf{F} \cdot \operatorname{d}\mathbf{r} = 0

Per il teorema di Kelvin, su qualsiasi superficie delimitata dalla curva \partial S si ha:

\oint_{\partial S} \mathbf{F} \cdot \operatorname{d}\mathbf{r} = \int_{S} (\nabla \times \mathbf F) \cdot d\mathbf s = 0

da cui si ottiene l'espressione in forma locale:

\nabla \times \mathbf F = 0

Per il lemma di Poincaré, il rotore è nullo se e solo se il proprio argomento è esprimibile come un gradiente, ovvero:

 \mathbf F = - \nabla U

e quindi una forza è conservativa se e solo se esiste un potenziale scalare U di cui è il gradiente. L'opposto della variazione U(\mathbf r_2) - U(\mathbf r_1) di U durante un tragitto da \mathbf r_1 a \mathbf r_2 è pari al lavoro W compiuto dalla forza in tale percorso, che in accordo con il teorema fondamentale del calcolo integrale è indipendente dal percorso seguito:

W_{\mathbf r_1\rightarrow \mathbf r_2} = U(\mathbf r_1) - U(\mathbf r_2)

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • (EN) Louis N. Hand, Janet D. Finch, Analytical Mechanics, Cambridge University Press, 1998, p. 41, ISBN 0-521-57572-9.
  • (EN) George B. Arfken and Hans J. Weber, Mathematical Methods for Physicists, 6th edition, Elsevier Academic Press (2005)

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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