Problemi di Hilbert

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I Problemi di Hilbert costituiscono una lista di 23 problemi matematici stilata da David Hilbert e presentata l'8 agosto 1900 nella sua conferenza del Congresso internazionale dei matematici svoltasi a Parigi.

Tutti i problemi allora presentati erano ancora irrisolti e molti di essi hanno avuto una notevole portata nella matematica del XX secolo. A questa conferenza in realtà egli presentò 10 di questi problemi (1, 2, 6, 7, 8, 13, 16, 19, 21, e 22) e la lista completa venne pubblicata successivamente.

Ad imitazione dei problemi di Hilbert, per la fine del XX secolo e del secondo millennio l'Istituto matematico Clay ha istituito altri 7 problemi per il millennio. L'ipotesi di Riemann è l'unico problema presente in entrambe le liste.

Descrizione[modifica | modifica wikitesto]

Nella formulazione classica dei problemi data da David Hilbert, i problemi 3, 7, 10, 11, 13, 14, 17, 19 e 20 hanno una dimostrazione accettata con universale consenso.

I problemi 1, 2, 5, 9, 15, 18, 21, 22, hanno una soluzione non accettata da tutti i matematici (come il problema 18 considerato da alcuni risolto e da altri indimostrato fino alla prova della congettura di Keplero) o hanno una soluzione che non tutti ritengono che risolva il problema (per esempio il problema 1).

I problemi 8 (ipotesi di Riemann) e 12 sono irrisolti.

I problemi 4, 6, 16, 23 sono troppo vaghi per avere una soluzione. Anche il "ventiquattresimo problema" poi non presentato da Hilbert cadrebbe in quest'ultima categoria.

Elenco dei 23 problemi[modifica | modifica wikitesto]

I 23 problemi di Hilbert sono:

Problema Breve descrizione Stato attuale del problema
Problema 1 L'ipotesi del continuo, cioè determinare se esistono insiemi la cui cardinalità è compresa tra quella dei numeri interi e quella dei numeri reali. Risoluzione parzialmente accettata
Problema 2 Si può dimostrare che l'insieme degli assiomi dell'aritmetica è consistente? Risoluzione parzialmente accettata
Problema 3 Dati due poliedri dello stesso volume, è possibile tagliare entrambi nello stesso insieme di poliedri più piccoli? Risolto
Problema 4 Costruire tutte le metriche in cui le rette sono geodetiche. Troppo vago
Problema 5 Tutti i gruppi continui sono automaticamente gruppi differenziali? Risoluzione parzialmente accettata
Problema 6 Assiomatizzare tutta la fisica. Troppo vago
Problema 7 Dati a ≠ 0,1 algebrico e b irrazionale algebrico, il numero a b è sempre trascendente? Risolto Parzialmente
Problema 8 Dimostrare l'ipotesi di Riemann. Aperto
Problema 9 Generalizzare la legge di reciprocità in un qualunque campo numerico algebrico. Risoluzione parzialmente accettata
Problema 10 Trovare un algoritmo che determini se una data equazione diofantea in n incognite abbia soluzione. Dimostrato irresolubile
Problema 11 Classificare le forme quadratiche nel caso di coefficienti in un campo di numeri algebrico. Risolto
Problema 12 Estendere il Teorema di Kronecker-Weber sulle estensioni abeliane dei numeri razionali a estensioni abeliane di campi numerici arbitrari. Aperto
Problema 13 Risolvere l'equazione generale di settimo grado utilizzando funzioni con due soli argomenti. Risolto
Problema 14 Determinare se l'anello degli invarianti di un gruppo algebrico che agisce su un anello di polinomi è sempre finitamente generato. Risolto
Problema 15 Fondazione rigorosa del calcolo enumerativo di Schubert. Risoluzione parzialmente accettata
Problema 16 Topologia delle curve e superfici algebriche. Troppo vago
Problema 17 Determinare se le funzioni razionali non negative possono essere espresse come quozienti di somme di quadrati. Risolto
Problema 18 Esiste un poliedro non-regolare che può tassellare lo spazio? Qual è il più denso impacchettamento di sfere? Risoluzione parzialmente accettata
Problema 19 Le soluzioni dei problemi variazionali regolari sono sempre analitiche? Risolto
Problema 20 Tutti i problemi variazionali con determinate condizioni al contorno hanno soluzione? Risolto
Problema 21 Dimostrazione dell'esistenza di equazioni differenziali lineari aventi un prescritto gruppo di monodromia. Risoluzione parzialmente accettata
Problema 22 Uniformizzazione delle relazioni analitiche per mezzo di funzioni automorfe. Risoluzione parzialmente accettata
Problema 23 Sviluppare ulteriormente il calcolo delle variazioni. Troppo vago

Problema 1[modifica | modifica wikitesto]

L'ipotesi del continuo afferma che non esiste nessun insieme infinito la cui cardinalità sia compresa strettamente tra quella dell'insieme dei numeri interi e quella dell'insieme dei numeri reali. Gödel e Cohen hanno dimostrato che l'ipotesi non può essere né dimostrata, né confutata, dagli assiomi ZFC. Non esiste un consenso tra matematici se ciò risolva o meno il problema.

L'insieme dei numeri reali può essere considerato un insieme ben ordinato? Questa domanda è parzialmente irrisolta, in quanto è correlata all'assioma di scelta di Zermelo-Fraenkel; nel 1963 si dimostrò che questo assioma è indipendente da tutti gli altri assiomi nella teoria degli insiemi, cosicché non è possibile basarci su quest'ultimo per risolvere l'ordinamento dell'insieme dei numeri reali.

Problema 2[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Entscheidungsproblem.

La risposta al problema 2 è no, e non solo per l'aritmetica. Il Teorema di incompletezza di Gödel stabilisce infatti che la coerenza di un sistema formale abbastanza potente da generare l'aritmetica non può essere dimostrata all'interno del sistema stesso.

Problema 3[modifica | modifica wikitesto]

Dati due poliedri dello stesso volume, è possibile tagliare entrambi nello stesso insieme di poliedri più piccoli? Max Dehn ha dimostrato nel 1902, mediante lo sviluppo della teoria degli invarianti di Dehn, che questo non è possibile in generale; analogo risultato è stato raggiunto indipendentemente da W.F.Kagon nel 1903.

Problema 4[modifica | modifica wikitesto]

Una formulazione equivalente è la seguente: trovare tutte le geometrie (più precisamente le metriche di queste) in cui la distanza più breve tra due punti sia costituita da una linea retta. L'originale problema di Hilbert è ritenuto troppo vago per ammettere una risposta definitiva. Tuttavia dall'originale è possibile derivare la formulazione del seguente problema: trovare tutte le geometrie tali che, rispetto alla geometria euclidea, devono mantenere gli assiomi di incidenza e di ordine, devono mantenere (anche se in forma debole) quello di congruenza e devono omettere l'equivalente del postulato delle parallele. Questo problema è stato risolto da G. Hamel.

Problema 5[modifica | modifica wikitesto]

Una formulazione equivalente è: possiamo evitare il requisito di differenziabilità per le funzioni che definiscono un gruppo continuo di trasformazioni? La risposta positiva è stata trovata da John von Neumann nel 1930 per i gruppi bicompatti (con ampliamento nel 1952 ai gruppi localmente compatti da parte di Andrew Glean); risolto in seguito anche per quelli abeliani, e con ampliamenti di Montgomery, Zipin e Yamabe nel 1952 e 1953.[1]

Problema 6[modifica | modifica wikitesto]

Data la portata così generale, questo problema è rimasto tuttora irrisolto. Una parziale assiomatizzazione riguarda i postulati della meccanica quantistica, che sarebbero "completati" da una teoria della gravitazione quantistica.

Problema 7[modifica | modifica wikitesto]

La risposta è positiva nel caso speciale in cui b sia algebrico, come dimostrato nel 1934 da Aleksander Gelfond con il Teorema di Gelfond. Comunque, nel caso generico, il problema rimane irrisolto.

Problema 8[modifica | modifica wikitesto]

L'ipotesi di Riemann non è stata finora né confutata né provata, anche se è al vaglio una controversa proposta di soluzione del matematico Louis de Branges.

Problema 9[modifica | modifica wikitesto]

Il problema venne risolto da Emil Artin nel 1927, con il Teorema di reciprocità di Artin.

Problema 10[modifica | modifica wikitesto]

La risposta negativa (ovvero l'impossibilità di trovare una soluzione generale) si deve ai lavori di Julia Robinson, Hilary Putnam e Martin Davis, e infine al Teorema di Matiyasevich, 1970.

Problema 11[modifica | modifica wikitesto]

Problema 12[modifica | modifica wikitesto]

Questa estensione è stata realizzata mediante l'utilizzo delle funzioni olomorfe in più variabili, che hanno proprietà simili alla funzione esponenziale e alle funzioni modulari ellittiche.

Problema 13[modifica | modifica wikitesto]

Risolto dal matematico russo Vladimir Igorevič Arnol'd nel 1957.

Problema 14[modifica | modifica wikitesto]

Problema 15[modifica | modifica wikitesto]

Problema 16[modifica | modifica wikitesto]

Problema 17[modifica | modifica wikitesto]

Problema 18[modifica | modifica wikitesto]

Fino a pochi anni fa veniva considerato risolto, ma ad oggi si ritiene irrisolto fin quando non verrà dimostrata la Congettura di Keplero. A quel punto il problema sarà considerato dimostrato.

Problema 19[modifica | modifica wikitesto]

Risolto indipendentemente da John Nash e Ennio De Giorgi nel 1957.

Problema 20[modifica | modifica wikitesto]

Problema 21[modifica | modifica wikitesto]

Problema 22[modifica | modifica wikitesto]

Problema 23[modifica | modifica wikitesto]

Il problema 24[modifica | modifica wikitesto]

Mentre Hilbert preparava la lista dei problemi, ne stilò anche un altro che poi non venne incluso, riguardante criteri di semplicità e metodo generale. La scoperta del problema 24 si deve a Rüdiger Thiele.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ (EN) Andrew Karam, Lie Algebra Is Used to Help Solve Hilbert's Fifth Problem in Science and Its Times: Understanding the Social Significance of Scientific Discovery, Farmington Hills, Gale Group, 2001, ISBN 978-0-7876-3933-4.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Rowe, David; Gray, Jeremy J. (2000). The Hilbert Challenge. Oxford University Press. ISBN 0198506511
  • Umberto Bottazzini: I problemi di Hilbert, un programma di ricerche per le "generazioni future", Lettera Matematica PRISTEM n.50-51

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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