Insieme

In matematica, un insieme è una collezione di oggetti, detti elementi dell'insieme. Si tratta di un concetto basilare della matematica moderna, a partire da quale si è sviluppata la teoria degli insiemi.

Ciò che caratterizza il concetto di insieme e lo differenzia dai concetti analoghi sono essenzialmente le seguenti proprietà:

• Un elemento può appartenere o non appartenere a un determinato insieme, non ci sono vie di mezzo (come accade invece per gli insiemi sfocati);
• un elemento non può comparire più di una volta in un insieme (mentre può comparire più volte in un multiinsieme)
• gli elementi di un insieme non hanno un ordine di comparizione (come invece accade ai componenti di un vettore o di un insieme totalmente ordinato)
• gli elementi di un insieme lo caratterizzano univocamente: due insiemi coincidono se e solo se hanno gli stessi elementi.

In molte esposizioni il concetto di insieme è considerato primitivo ed intuitivo:

• "primitivo" perché viene introdotto come nozione non derivabile da concetti più elementari,
• "intuitivo" perché viene introdotto come generalizzazione della nozione di insieme finito, concetto a sua volta introdotto con metafore come quella dell'elenco di identificatori di oggetti o di scatola contenente oggetti materiali (tendenzialmente omogenei); questa impostazione fa talora riferimento al convincimento che l'idea di insieme sia naturalmente presente nella nostra mente.

Descrizioni di insiemi

Solitamente un insieme viene indicato con le lettere maiuscole dell'alfabeto: A, B, E, M, S ... e si chiede che sia univocamente determinato: se diciamo "M=(insieme degli x tali che x è un mammifero marino)", supponiamo che si sappia decidere che ad M non appartengono animali che non hanno le caratteristiche della specie considerata.

Un insieme può essere definito nei seguenti modi:

• In forma tabulare o per elencazione: vengono elencati tutti gli elementi, in tal caso la convenzione comune è quella di scrivere l'elenco degli elementi tra parentesi graffe separati da virgole, ad esempio:

$F = \{ \mbox{rosa, giglio, geranio} \}$

questo tipo di definizione è utilizzabile solo nel caso di insiemi finiti; per gli insiemi infiniti si fa talvolta uso di puntini di sospensione laddove si ritiene che sia evidente il criterio secondo cui si possono individuare gli elementi non indicati esplicitamente; ad esempio:

$P=\left\{1,\frac1 2 , \frac 1 3 , \frac 1 4 , \frac 1 5, \, ...\right\}$

• Per caratteristica o in estensione: come l'insieme di tutti gli oggetti che verificano una determinata proprietà $P$. In tal caso si usa la scrittura $\{x : P(x)\}$ dove al posto di $P(x)$ può comparire la descrizione di una particolare proprietà. Es. : F = { x : x è un fiore} ($F$ è definito come l'insieme degli x tali che x è un fiore), $F = \{x: x=\frac 1 n \mbox{ con } n \mbox{ numero intero positivo} \}$

Operazioni tra insiemi

Unione di due insiemi

Intersezione di due insiemi

Differenza di due insiemi

Differenza simmetrica di due insiemi

Le principali operazioni tra insiemi sono:

• L'unione di due insiemi A e B: si indica con AUB ed è l'insieme formato da tutti gli elementi di A e B presi una sola volta.

• L'intersezione di due insiemi A e B: si indica con A∩B ed è data dall'insieme formato da tutti gli elementi che appartengono sia all'insieme A che all'insieme B contemporaneamente.

• La differenza B meno A si indica con B\A o con B-A ed è data dall'insieme formato dai soli elementi di B che non appartengono ad A. B-A viene anche detto insieme complementare di A in B.

• La differenza simmetrica tra due insiemi è l'insieme degli elementi che appartengono ad A e non a B oppure che appartengono a B e non ad A. Si indica con A $\Delta$ 'B = ( A - B ) ∪ ( B - A)'

• Il prodotto cartesiano di due insiemi A e B è l'insieme di tutte le possibili coppie ordinate (a,b) con a ∈ A e b ∈ B

Relazioni tra insiemi

Per approfondire, vedi le voci Sottoinsieme e Disgiunzione.

Due insiemi A e B si dicono:

• coincidenti: se sono lo stesso insieme; questo si verifica se e solo se hanno gli stessi elementi
• disgiunti: non hanno nessun elemento in comune

Si dice che B è sottoinsieme di A se A contiene tutti gli elementi di B. Notare che secondo tale definizione ogni insieme è contenuto in se stesso. Per esprimere questo si usa la notazione:

$B \subseteq A$

Se invece si vuole escludere a priori la possibilità che B sia coincidente con A, cioè esistono effettivamente elementi di A non contenuti in B, si usa la notazione:

$B \subset A$

che si legge: "B è un sottoinsieme proprio di A" oppure "B è incluso propriamente in A" oppure "B è contenuto propriamente in A". Alcuni autori utilizzano però solo la seconda notazione, indifferentemente del tipo di inclusione indicato.

La relazione binaria di inclusione tra insiemi rende una qualsiasi classe di insiemi un insieme parzialmente ordinato.

L'insieme vuoto

Per approfondire, vedi la voce insieme vuoto.

Si chiama insieme vuoto l'insieme che non contiene nessun elemento. Tale insieme si indica con il simbolo $\varnothing$ oppure con due parentesi graffe consecutive, la prima aperta e l'altra chiusa {}.

L'insieme vuoto è sottoinsieme di qualsiasi altro insieme (incluso se stesso).

L'insieme delle parti

Per approfondire, vedi la voce Insieme delle parti.

Per qualunque insieme A si definisce insieme delle parti o "insieme potenza" di A e si indica con P(A) o 2^A l'insieme che ha come elementi tutti e soli i sottoinsiemi di A. Ad esempio, se A={a,b,c} allora il suo insieme delle parti è costituito da P(A)={∅,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},A}.

L'insieme delle parti ha sempre cardinalità strettamente maggiore di quella dell'insieme di partenza. Se A è finito, il numero degli elementi di P(A) è dato da 2ⁿ, dove n è il numero degli elementi di A.

L'insieme delle parti di qualsiasi insieme, considerato congiuntamente all'operazione di differenza simmetrica, forma un gruppo abeliano. Se vengono considerate insieme unione, intersezione e complementazione allora invece la struttura generata è un'algebra di Boole.

Insiemi numerici

Diagramma di Venn di alcuni insiemi numerici notevoli

Alcuni insiemi, detti numerici, hanno un ruolo particolarmente importante e pervasivo in tutte le branche della matematica:

• L'insieme $\N$ dei numeri naturali
• L'insieme $\Z$ dei numeri interi
• L'insieme $\Q$ dei numeri razionali
• L'insieme $\R$ dei numeri reali
• L'insieme $\C$ dei numeri complessi

Questi insiemi si possono vedere intuitivamente come contenuti uno nell'altro:

$\N \subset \Z \subset \Q \subset \R \subset \C.$

Più propriamente si dovrebbe parlare di immersione di ogni insieme nel seguente, poiché secondo la corrente assiomatizzazione i vari insiemi sono definiti in modi radicalmente diversi l'uno dall'altro.

Cardinalità

Per approfondire, vedi le voci Cardinalità e Numero cardinale.

Gli insiemi possono essere classificati in base al numero di elementi; in particolare un insieme è

• finito: se ha un numero finito di elementi;
• infinito: se ha infiniti elementi.

La cardinalità di un insieme lo caratterizza in base al numero dei suoi elementi.

Due particolari tipi di insieme sono: l'insieme vuoto, cioè privo di elementi, indicato con il simbolo $\varnothing$ oppure ∅, o talvolta con "{}", la sua cardinalità è zero; e l'insieme universo, cioè che contiene tutti gli insiemi esistenti (incluso anche l'insieme vuoto), e che viene indicato con U.

Graficamente gli insiemi si rappresentano con i diagrammi di Eulero-Venn.

Bibliografia

• Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992.

Voci correlate

• Teoria ingenua degli insiemi
• Teoria assiomatica degli insiemi
• Set (informatica)

Altri progetti

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