Settimo problema di Hilbert

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In matematica, il settimo problema di Hilbert è uno dei problemi matematici posti da David Hilbert nel 1900. Riguarda l'irrazionalità e la trascendenza di particolari numeri (Irrationalität und Transzendenz bestimmter Zahlen). Le questioni poste sono due:

  1. In un triangolo isoscele, se il rapporto tra l'angolo alla base e l'angolo al vertice è algebrico ma non razionale, si può affermare che il rapporto tra base e lato è sempre trascendente?
  2. Si può affermare che a^b è sempre trascendente, per il numero algebrico a \not\in \{0,1\} e l'irrazionale algebrico b?

Alla seconda domanda ha risposto affermativamente Aleksandr Gelfond in 1934, e la questione ha subito un raffinamento da parte di Theodor Schneider nel 1935. Il risultato da lui raggiunto è noto come teorema di Gelfond o teorema di Gelfond–Schneider. (La restrizione a b irrazionale è importante, dato che è semplice verificare che a^b è algebrico per a algebrico e b razionale.)

Generalizzando, si ha il caso della forma lineare in logaritmi generalizzata

b \ln{\alpha} + \ln{\beta} = 0.


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