Problemi per il millennio

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I problemi per il millennio (Millennium problems) sono stati posti all'attenzione dei matematici dall'Istituto matematico Clay. Ad imitazione dei problemi di Hilbert, l'istituto ha elencato 7 problemi allora irrisolti della matematica. A differenza però dei precedenti, per ognuno di essi di cui si fornisca la dimostrazione è stato assegnato un premio di un milione di dollari. I premi vennero istituiti durante il convegno del Millennio di Parigi, il 24 maggio 2000. Il primo ad essere risolto è stato la congettura di Poincaré, a opera del russo Grigori Perelman. Perelman ha rifiutato sia la medaglia Fields[1] sia il premio Clay[2].

Un'altra differenza molto più profonda è che, mentre i problemi di Hilbert riguardavano campi allora all'avanguardia della matematica, i sette problemi del millennio sono molto tradizionali: sono rimasti solo 2 degli originali problemi di Hilbert senza una risposta anche solo parziale a tutt'oggi (2012), tra cui il più importante è l'Ipotesi di Riemann, anche se una proposta di soluzione è al vaglio della comunità. Tutti i problemi del millennio hanno profonde implicazioni economiche, dalla sicurezza bancaria alle transazioni via internet, all'applicabilità diretta nella soluzione di problemi tecnologici pressanti: ad esempio se la Congettura di Birch e Swinnerton-Dyer fosse provata vera, sarebbe possibile rompere la cifratura basata sulle funzioni ellittiche in tempo polinomiale, e non esponenziale.

Elenco dei problemi[modifica | modifica wikitesto]

  1. P contro NP
  2. Congettura di Hodge
  3. Congettura di Poincaré (risolto)
  4. Ipotesi di Riemann
  5. Teoria quantistica di Yang-Mills
  6. Equazioni di Navier-Stokes
  7. Congettura di Birch e Swinnerton-Dyer

P contro NP[modifica | modifica wikitesto]

Il problema di P contro NP riguarda quei problemi computazionali che ammettono risposta binaria (sì o no): per ogni input il problema chiede di decidere se una proprietà è vera o meno. Un esempio è quello di decidere se due nodi di una rete sono connessi, un altro è quello di decidere se esiste una soluzione che soddisfi un insieme di equazioni. Va notato che all'algoritmo è richiesto solo di rispondere correttamente, non di fornire la soluzione.

Un problema è nella classe P se esiste un algoritmo che lo risolve utilizzando un numero di operazioni polinomiale nella lunghezza dell'input. Un problema è in NP se esiste un algoritmo che *verifica* la correttezza di una soluzione utilizzando un numero di operazioni polinomiale nella lunghezza dell'input (e quindi la lunghezza della soluzione deve essere polinomiale in quella dell'input). Si prenda ad esempio un puzzle: si può non essere in grado di mettere insieme i pezzi, è molto semplice verificare, una volta che qualcuno offre una possibile soluzione, se questa è corretta o meno.

Il problema di determinare se P è uguale o meno ad NP è essenzialmente quello di capire se esistono problemi computazionali per cui è possibile *verificare* una soluzione in tempo polinomiale ma non è possibile *decidere*, sempre in tempo polinomiale, se questa soluzione esiste. Questa è una domanda molto importante per l'informatica teorica. Vedi teoria della complessità computazionale per una discussione più completa.

La congettura di Hodge[modifica | modifica wikitesto]

La Congettura di Hodge riguarda gli spazi proiettivi e le varietà algebriche. I cicli di Hodge sono delle combinazioni lineari razionali di cicli algebrici.

La congettura di Poincaré[modifica | modifica wikitesto]

In topologia, la superficie sfera a due dimensioni è caratterizzata dal fatto che è semplicemente connessa. La Congettura di Poincaré dice che la sfera è l'unica superficie che è semplicemente connessa anche se la si porta a n-dimensioni con n un numero positivo maggiore di 0. Questo problema è stato risolto per tutte le dimensioni superiori a 3, risolverlo per la dimensione 3 è fondamentale per dimostrare la congettura. È stata accettata la bozza di soluzione di Grigori Perelman, che ha portato due ricercatori cinesi, Zhu Xiping e Cao Huaidong alla soluzione esplicita. Perelman è stato insignito sia della Medaglia Fields[3], sia del Premio Clay di 1.000.000 di dollari, ma ha rifiutato entrambi e si è ritirato a vita privata, sembra vivendo con la madre, alla periferia di San Pietroburgo.[1]

L'ipotesi di Riemann[modifica | modifica wikitesto]

L'ipotesi di Riemann riguarda la distribuzione dei numeri primi. Riemann ipotizzò che la distribuzione dei numeri primi seguisse una particolare funzione chiamata funzione zeta di Riemann. Questa ipotesi è stata verificata con i computer per un miliardo e mezzo di numeri primi, ma la sua verifica definitiva attraverso un teorema avrebbe profonde ripercussioni nella matematica pura come nelle applicazioni di crittologia.

Teoria di Yang-Mills[modifica | modifica wikitesto]

In fisica, la Teoria quantistica di Yang-Mills descrive la rottura della simmetria delle fasi primordiali dell'universo. Questa teoria segnò una rottura totale con le vecchie teorie e attualmente è un cardine del Modello Standard. Il problema è la mancanza di una verifica teorica di alcuni degli elementi matematici utilizzati nella teoria.

Equazioni di Navier-Stokes[modifica | modifica wikitesto]

Le equazioni di Navier-Stokes descrivono il comportamento dei fluidi, ossia liquidi e gas. Anche se sono state formulate nel XIX secolo, tuttora non sono state comprese appieno, né esiste una loro soluzione analitica, tranne pochi casi particolari. Il problema è elaborare una teoria matematica che consenta di comprenderle ed analizzarle. Questa teoria sarebbe molto utile per gli studi di fluidodinamica.

La congettura di Birch e Swinnerton-Dyer[modifica | modifica wikitesto]

La congettura di Birch - Swinnerton-Dyer riguarda un particolare tipo di curve, le curve ellittiche sui numeri razionali. Questa congettura è strettamente collegata al problema se ci sia un modo semplice per stabilire se tali equazioni abbiano un numero finito o infinito di soluzioni razionali. Il decimo problema di Hilbert era simile ma trattava delle equazioni diofantee e si è dimostrato che non si è in grado di decidere se esiste o no una soluzione.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ a b (EN) Meet the cleverest man in the world (who's going to say no to a $1m prize), Guardian Unlimited 16 agosto 2006
  2. ^ Genio della matematica rifiuta un premio da 1 milione di dollari. URL consultato il 28 dicembre 2010.
  3. ^ (EN) Medaglia Fields a Perelman

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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