Teorema di Noether

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In matematica e fisica, il teorema di Noether, il cui nome è dovuto a Emmy Noether, afferma che secondo il principio di località ad ogni simmetria differenziabile dell'azione di un sistema fisico corrisponde una quantità conservata. Il teorema fu dimostrato nel 1915 e pubblicato nel 1918.[1]

Introduzione[modifica | modifica sorgente]

Nel caso più semplice si può considerare un punto materiale in una dimensione con posizione q(t) e velocità \dot q = dq/dt, descritto dalla lagrangiana L(q,\dot q). La quantità di moto p = dL / d \dot q del punto materiale e la forza F= dL / dq agente su di esso sono legate dall'equazione di Eulero-Lagrange:

F = \dot p

che costituisce l'equazione del moto del sistema. Si supponga di traslare la posizione del punto da q a q' con una trasformazione spaziale parametrizzata dalla variabile s, ovvero q'=q(s). Se la lagrangiana rimane inalterata in seguito alla trasformazione allora la sua derivata rispetto a s è nulla:

\frac {d}{ds}L(q(s),\dot q(s))=0

Il teorema di Noether afferma che in tal caso la quantità J = p \ dq(s)/ds si conserva, cioè \dot J=0. Si dice che J è una costante del moto.

In uno spazio in n dimensioni il punto materiale ha una posizione \mathbf q = (q_1,\dots,q_n), e se la lagrangiana non dipende da una qualche variabile q_i le equazioni di Eulero-Lagrange:

\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \right) = \frac{\partial L}{\partial q_i}

mostrano che \partial L / \partial {q}_i = 0 implica che la quantità p_i = \partial L / \partial \dot{q}_i si conserva, avendo derivata temporale nulla. Quando la lagrangiana è invariante rispetto ad una trasformazione spaziale che coinvolge una o più variabili si dice che essa possiede una o più simmetrie.

Il teorema di Noether si può enunciare dicendo che se il sistema ha una proprietà di simmetria continua allora vi sono delle corrispondenti quantità il cui valore rimane costante nel tempo.[2] Il ruolo delle equazioni di Eulero-Lagrange nella descrizione matematica e nella dimostrazione del teorema rispecchia il fatto che l'evoluzione di un sistema fisico è caratterizzata dal principio variazionale di Hamilton, secondo il quale un oggetto che si muove nello spazio delle fasi compie un percorso che minimizza l'integrale rispetto al tempo della lagrangiana. Questo integrale è l'azione, e per ogni simmetria dell'azione vi è una legge di conservazione.

Enunciato[modifica | modifica sorgente]

Il teorema afferma che ad ogni simmetria differenziabile su uno o più campi generata da azioni locali corrisponde una corrente conservata, detta corrente di Noether.

Il termine "simmetria", in particolare, si riferisce alla covarianza della forma assunta da una legge fisica rispetto ad un gruppo di Lie di trasformazioni che soddisfano determinate condizioni. La quantità conservata il cui fluire attraverso una superficie di integrazione costituisce la corrente di Noether è talvolta detta carica di Noether.[3]

L'azione è definita come un operatore integrale nel tempo tra gli istanti iniziale e finale dell'evoluzione del sistema:[4]

\mathcal{S} = \int_{t_1}^{t_2} \mathcal L \, dt

dove l'integrando \mathcal L è la lagrangiana. Si supponga che l'azione sia invariante per piccole perturbazioni \delta t e \delta \mathbf{q} della variabile temporale t e delle coordinate generalizzate \mathbf{q}:

t \rightarrow t^{\prime} = t + \delta t \qquad \mathbf{q} \rightarrow \mathbf{q}^{\prime} = \mathbf{q} + \delta \mathbf{q}

Si assuma, ai fini di rendere la trattazione generale, che vi siano N possibili simmetrie dell'azione, ovvero N possibili trasformazioni che lasciano inalterata l'azione. Allora la perturbazione risultante può essere scritta come una somma (una combinazione lineare) di perturbazioni relative ad ogni singola tipologia:

\delta t = \sum_r \varepsilon_r T_r \qquad \delta \mathbf{q} = \sum_r \varepsilon_r \mathbf{Q}_r \qquad r = 1,2,\dots,N

dove \varepsilon_r sono i coefficienti infinitesimi corrispondenti ad ogni generatore T_r di evoluzione temporale e ad ogni generatore \mathbf{Q}_r delle trasformazioni relative alle coordinate generalizzate. Per quanto riguarda le traslazioni \mathbf{Q}_r è la lunghezza spaziale, mentre per le rotazioni è l'angolo.

A partire da tali definizioni Emmy Noether mostrò che le N quantità:

\left(\frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot{\mathbf{q}}} \cdot \dot{\mathbf{q}} - \mathcal L \right) T_r - \frac{\partial L}{\partial \dot{\mathbf{q}}} \cdot \mathbf{Q}_r

sono conservate, ovvero sono costanti del moto.

In modo equivalente, se un sistema lagrangiano ammette un gruppo \mathbf{q}(\mathbf{Q},s) di trasformazioni delle coordinate tale che la lagrangiana sia invariante rispetto a tale trasformazione:

\mathcal{L}(\mathbf{q}, \mathbf{\dot{q}}) = \mathcal{L}(\mathbf{Q}, \mathbf{\dot{Q}})

allora il gruppo è di simmetria e il sistema ha un integrale primo dato da:

\mathcal{I}(\mathbf{Q}, \mathbf{\dot{Q}}) = \sum_{i} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \mathbf{\dot{q}}_i}(\mathbf{q}, \mathbf{\dot{q}}) \frac{\partial \mathbf{q}_i}{\partial s} (\mathbf{Q},0)

Teoria dei campi[modifica | modifica sorgente]

Nella versione generale il teorema di Noether si applica a campi continui definiti nelle quattro dimensioni spaziotemporali. Si consideri un insieme \boldsymbol \phi di campi differenziabili (come ad esempio la temperatura T(\mathbf x,t), che ad ogni punto dello spazio associa un valore scalare), ai quali si può applicare il principio variazionale di Hamilton. L'azione è data da un integrale nello spaziotempo:

I = \int L \left(\boldsymbol\phi, \partial_\mu{\boldsymbol\phi}, x^\mu \right) \, d^4 x

con x^\mu le coordinate spaziotemporali. Si può ottenere un'ulteriore generalizzazione ponendo che la lagrangiana dipenda non solo da \boldsymbol \phi e \partial_\mu{\boldsymbol\phi}, ma anche dalle derivate successive.

Si supponga che la lagrangiana sia invariante rispetto ad un insieme di trasformazioni delle coordinate e dei campi:

x^{\mu} \rightarrow x^\mu + \delta x^\mu \qquad \boldsymbol \phi \rightarrow \boldsymbol \phi + \delta \boldsymbol \phi

dove le trasformazioni possono essere indicizzate con r = 1, 2, 3, \dots , N:

\delta x^\mu = \epsilon_r X^\mu_r \qquad \delta \boldsymbol\phi = \epsilon_r \boldsymbol\Psi_r

Per un tale sistema il teorema afferma che vi sono N densità di corrente conservate:


j^\nu_r = 
- \left( \frac{\partial L}{\partial \boldsymbol\phi_{,\nu}} \right) \cdot \boldsymbol\Psi_r + 
\sum_{\sigma} \left[ \left( \frac{\partial L}{\partial \boldsymbol\phi_{,\nu}} \right) \cdot \boldsymbol\phi_{,\sigma} - L \delta^{\nu}_{\sigma} \right] X_{r}^{\sigma}

La legge di conservazione è data, nel caso quadridimensionale, dall'equazione di continuità:

\sum_\nu \frac{\partial j^\nu}{\partial x^\nu} = 0

e mostra come ad un aumento della quantità conservata all'interno di una superficie sferica corrisponda un flusso (corrente) della quantità conservata attraverso la superficie stessa.

Dimostrazione[modifica | modifica sorgente]

Dimostrazione 1[modifica | modifica sorgente]

Per l'invarianza della lagrangiana è possibile scrivere:

\frac{\partial}{\partial s} \mathcal{L}(\mathbf{q}, \mathbf{\dot{q}})|_{s=0} = \sum_{i}  \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \mathbf{q}_i} (\mathbf{q}, \mathbf{\dot{q}}) \frac{\partial \mathbf{q}_i}{\partial s} (\mathbf{Q},0) + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \mathbf{\dot{q}}_i} (\mathbf{q}, \mathbf{\dot{q}}) \frac{\partial \mathbf{\dot{q}}_i}{\partial s} (\mathbf{Q},0) = 0

ma dato che:

\frac{\partial \mathbf{\dot{q}}_i}{\partial s} (\mathbf{Q},0) = \frac{\operatorname d}{\operatorname d t} \frac{\partial \mathbf{q}_i}{\partial s} (\mathbf{Q},0)

si ha che invertendo l'ordine di derivazione:

\sum_{i} \left[ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \mathbf{q}_i} (\mathbf{q}, \mathbf{\dot{q}}) \frac{\partial \mathbf{q}_i}{\partial s} (\mathbf{Q},0) - \frac{\operatorname d}{\operatorname d t} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \mathbf{\dot{q}}_i} (\mathbf{q}, \mathbf{\dot{q}}) \frac{\partial \mathbf{q}_i}{\partial s} (\mathbf{Q},0) + \frac{\operatorname d}{\operatorname d t} \left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \mathbf{\dot{q}}_i} (\mathbf{q}, \mathbf{\dot{q}}) \frac{\partial \mathbf{q}_i}{\partial s} (\mathbf{Q},0) \right) \right]=0

L'asserto segue quindi direttamente dalle equazioni della meccanica, infatti i primi due addendi della sommatoria costituiscono le equazioni di Eulero Lagrange, quindi la loro somma algebrica risulta zero per ogni indice, rimane quindi la derivata totale rispetto al tempo dell'ultima quantità che è uguale a zero, dunque dalle note regole di derivazione tale quantità e necessariamente costante. Allora il teorema è dimostrato.

Dimostrazione 2[modifica | modifica sorgente]

Si consideri un sistema fisico descritto da un campo \psi. Quando una certa quantità è invariante per una trasformazione del sistema allora la corrispondente lagrangiana è simmetrica, ossia se \psi si trasforma per una trasformazione infinitesima \alpha come:

 \psi \rarr \psi + \alpha \Delta \psi

la lagrangiana \mathcal {L}, dovendo essere invariante, deve diventare:

 \mathcal {L} \rarr \mathcal {L} + \alpha \partial _\mu \mathcal {J}^\mu

dove \mathcal {J} rappresenta una corrente di una qualche quantità che fluisce attraverso la superficie dell'integrale che definisce l'azione.

In generale, la variazione di \mathcal {L} si può scrivere come:

 \alpha \Delta \mathcal {L} = \frac {\partial \mathcal {L}}{\partial \psi} ( \alpha \Delta \psi) + \frac {\partial \mathcal {L}}{\partial (\partial_\mu \psi)} \partial _\mu ( \alpha \Delta \psi)

Considerando la derivata di un prodotto, il secondo termine si può riscrivere come:

 \partial _\mu \left( \frac {\partial \mathcal {L}}{\partial (\partial_\mu \psi)} \alpha \Delta \psi \right) -  \alpha \Delta \psi\partial _\mu \left( \frac {\partial \mathcal {L}}{\partial ( \partial_\mu \psi)} \right)

Sostituendo e prendendo a fattor comune \alpha\Delta\psi si ottiene:

 - \alpha \Delta \psi \left(  \partial _\mu  \frac {\partial \mathcal {L}}{\partial (\partial_\mu \psi)} -\frac {\partial \mathcal {L}}{\partial (\partial_\mu \psi)} \right) + \partial _\mu \left( \frac {\partial \mathcal {L}}{\partial ( \partial_\mu \psi)} \alpha \Delta \psi \right)

Ricordando l'equazione di Eulero-Lagrange, quanto sopra diventa:

\partial _\mu \left( \frac {\partial \mathcal {L}}{\partial ( \partial_\mu \psi)} \alpha \Delta \psi \right)

ossia:

\partial _\mu \left( \frac {\partial \mathcal {L}}{\partial ( \partial_\mu \psi)} \alpha \Delta \psi \right) =  \alpha \partial _\mu \mathcal {J}^\mu

Riscrivendo il tutto, si può vedere come ci sia una conservazione della corrente \mathcal {J} notando che:

\partial _\mu \left( \frac {\partial \mathcal {L}}{\partial ( \partial_\mu \psi)} \Delta \psi  - \mathcal {J}^\mu \right) = 0

Questo risultato dimostra il teorema di Noether.

Derivazioni[modifica | modifica sorgente]

Il caso più semplice è quello di un sistema di una variabile indipendente, il tempo. Si può ricavare il teorema anche a partire da una varietà differenziabile.

Una variabile indipendente[modifica | modifica sorgente]

Si supponga che le variabili dipendenti \mathbf q siano tali che l'azione, data dall'integrale della lagrangiana:

I = \int_{t_1}^{t_2} \mathcal L [\mathbf{q} [t], \dot{\mathbf{q}} [t], t] \, dt

sia invariante rispetto a variazioni infinitesime di esse. In altre parole, deve essere soddisfatta l'equazione di Eulero-Lagrange:

\frac{d}{dt} \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot{\mathbf{q}}} [t] = \frac{\partial \mathcal L}{\partial \mathbf{q}} [t]

Si supponga che l'integrale azione sia invariante rispetto ad una simmetria continua. Una tale simmetria è rappresentata da un flusso \phi che agisce sulle variabili nel seguente modo:

t \rightarrow t' = t + \varepsilon T \!
\mathbf{q} [t] \rightarrow \mathbf{q}' [t'] = \phi [\mathbf{q} [t], \varepsilon] = \phi [\mathbf{q} [t' - \varepsilon T], \varepsilon]

dove \varepsilon è una variabile reale che quantifica l'incremento del flusso, mentre T è una costante reale relativa alla traslazione del flusso nel tempo (può essere nulla). Si ha:


\dot{\mathbf{q}} [t] \rightarrow \dot{\mathbf{q}}' [t'] = \frac{d}{dt} \phi [\mathbf{q} [t], \varepsilon] = \frac{\partial \phi}{\partial \mathbf{q}} [\mathbf{q} [t' - \varepsilon T], \varepsilon] \dot{\mathbf{q}} [t' - \varepsilon T]

e l'integrale azione diventa:

\begin{align}
I' [\varepsilon] & = \int_{t_1 + \varepsilon T}^{t_2 + \varepsilon T} \mathcal L [\mathbf{q}'[t'], \dot{\mathbf{q}}' [t'], t'] \, dt' \\[6pt]
& = \int_{t_1 + \varepsilon T}^{t_2 + \varepsilon T} \mathcal L [\phi [\mathbf{q} [t' - \varepsilon T], \varepsilon], \frac{\partial \phi}{\partial \mathbf{q}} [\mathbf{q} [t' - \varepsilon T], \varepsilon] \dot{\mathbf{q}} [t' - \varepsilon T], t'] \, dt'
\end{align}

L'azione può essere considerata in funzione soltanto di \varepsilon. Calcolandone la derivata in \varepsilon=0 e sfruttando la simmetria si ottiene:

\begin{align}
0 & = \frac{d I'}{d \varepsilon} [0] = \mathcal L [\mathbf{q} [t_2], \dot{\mathbf{q}} [t_2], t_2] T - \mathcal L [\mathbf{q} [t_1], \dot{\mathbf{q}} [t_1], t_1] T \\[6pt]
& {} + \int_{t_1}^{t_2} \frac{\partial \mathcal L}{\partial \mathbf{q}} \left( - \frac{\partial \phi}{\partial \mathbf{q}} \dot{\mathbf{q}} T + \frac{\partial \phi}{\partial \varepsilon} \right) + \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot{\mathbf{q}}} \left( - \frac{\partial^2 \phi}{(\partial \mathbf{q})^2} {\dot{\mathbf{q}}}^2 T + \frac{\partial^2 \phi}{\partial \varepsilon \partial \mathbf{q}} \dot{\mathbf{q}} -
\frac{\partial \phi}{\partial \mathbf{q}} \ddot{\mathbf{q}} T \right) \, dt
\end{align}

L'equazione di Eulero–Lagrange implica che:

\begin{align}
\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot{\mathbf{q}}} \frac{\partial \phi}{\partial \mathbf{q}} \dot{\mathbf{q}} T \right) 
& = \left( \frac{d}{dt} \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot{\mathbf{q}}} \right) \frac{\partial \phi}{\partial \mathbf{q}} \dot{\mathbf{q}} T + \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot{\mathbf{q}}} \left( \frac{d}{dt} \frac{\partial \phi}{\partial \mathbf{q}} \right) \dot{\mathbf{q}} T + \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot{\mathbf{q}}} \frac{\partial \phi}{\partial \mathbf{q}} \ddot{\mathbf{q}} \, T \\[6pt]
& = \frac{\partial \mathcal L}{\partial \mathbf{q}} \frac{\partial \phi}{\partial \mathbf{q}} \dot{\mathbf{q}} T + \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot{\mathbf{q}}} \left( \frac{\partial^2 \phi}{(\partial \mathbf{q})^2} \dot{\mathbf{q}} \right) \dot{\mathbf{q}} T + \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot{\mathbf{q}}} \frac{\partial \phi}{\partial \mathbf{q}} \ddot{\mathbf{q}} \, T
\end{align}

e sostituendo nella precedente equazione si giunge a:

\begin{align}
0 & = \frac{d I'}{d \varepsilon} [0] = \mathcal L [\mathbf{q} [t_2], \dot{\mathbf{q}} [t_2], t_2] T - \mathcal L [\mathbf{q} [t_1], \dot{\mathbf{q}} [t_1], t_1] T - \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot{\mathbf{q}}} \frac{\partial \phi}{\partial \mathbf{q}} \dot{\mathbf{q}} [t_2] T + \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot{\mathbf{q}}} \frac{\partial \phi}{\partial \mathbf{q}} \dot{\mathbf{q}} [t_1] T \\[6pt]
& {} + \int_{t_1}^{t_2} \frac{\partial \mathcal L}{\partial \mathbf{q}} \frac{\partial \phi}{\partial \varepsilon} + \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot{\mathbf{q}}} \frac{\partial^2 \phi}{\partial \varepsilon \partial \mathbf{q}} \dot{\mathbf{q}} \, dt
\end{align}

Utilizzando quindi nuovamente l'equazione di Eulero–Lagrange:


\frac{d}{d t} \left( \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot{\mathbf{q}}} \frac{\partial \phi}{\partial \varepsilon} \right) 
= \left( \frac{d}{d t} \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot{\mathbf{q}}} \right) \frac{\partial \phi}{\partial \varepsilon} + \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot{\mathbf{q}}} \frac{\partial^2 \phi}{\partial \varepsilon \partial \mathbf{q}} \dot{\mathbf{q}}
= \frac{\partial \mathcal L}{\partial \mathbf{q}} \frac{\partial \phi}{\partial \varepsilon} + \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot{\mathbf{q}}} \frac{\partial^2 \phi}{\partial \varepsilon \partial \mathbf{q}} \dot{\mathbf{q}}

ed inserendo nella precedente relazione si può scrivere:


\begin{align}
0 & = \mathcal L [\mathbf{q} [t_2], \dot{\mathbf{q}} [t_2], t_2] T - \mathcal L [\mathbf{q} [t_1], \dot{\mathbf{q}} [t_1], t_1] T - \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot{\mathbf{q}}} \frac{\partial \phi}{\partial \mathbf{q}} \dot{\mathbf{q}} [t_2] T + \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot{\mathbf{q}}} \frac{\partial \phi}{\partial \mathbf{q}} \dot{\mathbf{q}} [t_1] T + \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot{\mathbf{q}}} \frac{\partial \phi}{\partial \varepsilon} [t_2] - \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot{\mathbf{q}}} \frac{\partial \phi}{\partial \varepsilon} [t_1]
\end{align}

da cui si evince che la quantità:

\left( \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot{\mathbf{q}}} \frac{\partial \phi}{\partial \mathbf{q}} \dot{\mathbf{q}} - \mathcal L \right) T - \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot{\mathbf{q}}} \frac{\partial \phi}{\partial \varepsilon}

è una costante del moto, ovvero è una quantità conservata.

Dato che \phi[\mathbf q,0]= \mathbf q si ha:

\frac{\partial \phi}{\partial \mathbf{q}} = 1

e la quantità conservata si semplifica assumendo la forma:

\left( \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot{\mathbf{q}}} \dot{\mathbf{q}} - \mathcal L \right) T - \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot{\mathbf{q}}} \frac{\partial \phi}{\partial \varepsilon}

Nella derivazione si è assunto che il flusso non varia nel tempo, ed un risultato più generale si ottiene in un modo equivalente.

Varietà differenziabili[modifica | modifica sorgente]

Si consideri una varietà liscia M ed una varietà bersaglio T. Sia \mathcal{C} lo spazio delle configurazioni delle funzioni lisce da M a T. In modo più generale si possono considerare sezioni del fibrato lungo M. In meccanica classica, ad esempio, M è la varietà monodimensionale \mathbb{R} che rappresenta il tempo, e lo spazio bersaglio è il fibrato cotangente dello spazio delle posizioni generalizzate.

L'azione è un funzionale del tipo:

\mathcal{S}:\mathcal{C}\rightarrow \R

che mappa su \mathbb{R} (e non su \mathbb{C} per ragioni fisiche). Affinché l'azione sia locale è necessario imporre ulteriori restrizioni sul funzionale: se \phi\in\mathcal{C} si assume che S(\phi) sia l'integrale su M della lagrangiana \mathcal{\mathcal L}(\phi,\partial\phi,\partial\partial\phi, ...,x), che è funzione di \phi, delle sue derivate e della posizione. Esplicitamente, l'azione è definita nel seguente modo:

\mathcal S[\phi]\equiv\int_M \mathcal{\mathcal L}(\phi(x),\partial\phi(x),\partial\partial\phi(x), ...,x)d^nx \qquad \forall\phi\in\mathcal{C}

La maggior parte delle volte si assume che la lagrangiana dipenda soltanto dal valore del campo e dalla sua derivata prima, sebbene questo non sia vero in generale.

Se M è compatto, le condizioni al contorno si ottengono specificando i valori di \phi sulla frontiera. In caso contrario si possono fornire opportuni limiti per \phi quando x tende all'infinito. Questo rende possibile ottenere l'insieme delle funzioni \phi tali che tutte le derivate funzionali di S su \phi sono nulle e \phi soddisfa le condizioni al contorno date. Tale insieme è determinato, considerando le condizioni al contorno, dalle soluzioni on shell delle equazioni di Eulero-Lagrange:

\frac{\delta\mathcal{S}}{\delta\varphi}= - \partial_\mu
 \left(\frac{\partial\mathcal{\mathcal L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\right) + \frac{\partial\mathcal{\mathcal L}}{\partial\phi}=0

Il membro sinistro è la derivata funzionale dell'azione rispetto a \phi. In meccanica classica la lagrangiana è data dalla differenza tra l'energia cinetica T e l'energia potenziale U.

Si consideri una trasformazione infinitesima su \mathcal{C} generata da un funzionale Q tale che:

Q \left[ \int_N \mathcal{\mathcal L} \, \mathrm{d}^n x \right] \approx \int_{\partial N} f^\mu [\phi(x),\partial\phi,\partial\partial\phi,\ldots] \mathrm{d}s_{\mu}

per ogni sottovarietà N. In modo equivalente:

Q[\mathcal{\mathcal L}(x)]\approx\partial_\mu f^\mu(x) \quad \forall x

dove:

\mathcal{\mathcal L}(x)=\mathcal{\mathcal L}[\phi(x), \partial_\mu \phi(x),x]

Se questo vale on shell ed off shell allora Q genera una simmetria off shell. Se invece vale solo on shell, allora Q genera una simmetria on shell. Il funzionale Q è un generatore un gruppo di simmetria di Lie ad un parametro.

Per il teorema di Eulero–Lagrange per ogni N si ha, on shell:

Q\left[\int_N \mathcal{\mathcal L} \, \mathrm{d}^nx \right] =\int_N \left[\frac{\partial\mathcal{\mathcal L}}{\partial\phi}-
\partial_\mu\frac{\partial\mathcal{\mathcal L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\right]Q[\phi] \, \mathrm{d}^nx +
\int_{\partial N} \frac{\partial\mathcal{\mathcal L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}Q[\phi] \, \mathrm{d}s_\mu \approx\int_{\partial N} f^\mu \, \mathrm{d}s_\mu

Dato che questo vale per ogni N vale la relazione:

\partial_\mu\left[\frac{\partial\mathcal{\mathcal L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}Q[\phi]-f^\mu\right]\approx 0

che è l'equazione di continuità per la corrente di Noether J^\mu associata alla simmetria, definita da:[5]

J^\mu\,=\,\frac{\partial\mathcal{\mathcal L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}Q[\phi]-f^\mu

Se si integra la corrente di Noether su una sezione di tipo tempo si ottiene una quantità conservata detta carica di Noether.

Esempi[modifica | modifica sorgente]

Supponiamo di trattare un sistema bidimensionale, e di considerare una trasformazione di coordinate \vec{x}=(x,y) \rightarrow \vec{f} così definita:

 f_{1} = x + s \qquad f_{2} = y

Secondo il teorema, si ha che:

 \frac{\partial f_{n}}{\partial s} = 1 \quad n = 1
 \frac{\partial f_{n}}{\partial s} = 0 \quad n \neq 1

Quindi, automaticamente si conserverà la quantità:

 p_1 = \sum_{i} \frac{\partial f_{i}}{\partial s}(t,0) \, p_{i} = \mathrm{costante}

Questo significa che per un sistema che ha un'invarianza per traslazioni nella direzione x, si conserverà il momento lineare (quantità di moto) in quella direzione.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ E. Noether, Invariante Variationsprobleme. Göttingen 1918, pp. 235-257. Traduzione di M.A. Tavel in Transport Theory and Statistical Mechanics (1971), pp. 183-207
  2. ^ Thompson, W.J., Angular Momentum: an illustrated guide to rotational symmetries for physical systems, vol. 1, Wiley, 1994, p. 5, ISBN 0-471-55264-X.
  3. ^ Seligman, Group theory and its applications in physics, 1980: Latin American School of Physics, Mexico City, American Institute of Physics, 1981.
  4. ^ Analytical Mechanics, L.N. Hand, J.D. Finch, Cambridge University Press, 2008, ISBN 978-0-521-57572-0
  5. ^ Michael E. Peskin, Daniel V. Schroeder, An Introduction to Quantum Field Theory, Basic Books, 1995, p. 18, ISBN 0-201-50397-2.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]