Teorema di Noether

Il teorema di Noether sancisce un legame tra l'invarianza di una certa quantità rispetto a trasformazioni di uno o più campi e la legge di conservazione di una corrente, detta appunto corrente di Noether. Fu dimostrato dalla matematica Emmy Noether nel 1915 e pubblicato nel 1918.

Il teorema di Noether vale solo per leggi di conservazione locali, altrimenti non vi sarebbe una corrente associata. Ad oggi, tutte le leggi di conservazione conosciute sono locali.

Enunciato

Il teorema di Noether afferma che ad ogni simmetria differenziabile generata da azioni locali corrisponde una corrente conservata.

Dimostrazione

Se una certa quantità è invariante rispetto alla trasformazione di un campo, la corrispondente lagrangiana è simmetrica sotto tale trasformazione. Dunque, se il campo $\, \psi$ si trasforma di una quantità infinitesima $\, \delta \psi$

$\, \psi \rarr \psi + \delta \psi$

la lagrangiana $\mathcal {L}$, dovendo mantenersi invariante fino ai termini di superficie, incrementerà anch'essa di una quantità infinitesima proporzionale al gradiente di una qualche grandezza $\mathcal {F}^\mu$ che, come verrà mostrato, è legata ad una qualche corrente che fluisce attraverso la superficie limite

$\mathcal {L} \rarr \mathcal {L} + \delta \alpha \partial _\mu \mathcal {F}^\mu$

la variazione di $\mathcal {L}$ si può anche scrivere come

$\delta \alpha \partial _\mu \mathcal {F}^\mu = \frac {\partial \mathcal {L}}{\partial \psi} (\delta \psi) + \frac {\partial \mathcal {L}}{\partial (\partial_\mu \psi)} \partial _\mu (\delta \psi)$

considerando la derivata di un prodotto, il secondo termine può essere espresso così

$\partial _\mu \left(\frac {\partial \mathcal {L}}{\partial (\partial_\mu \psi)} \delta \psi \right) - \delta \psi \partial _\mu \left(\frac {\partial \mathcal {L}}{\partial ( \partial_\mu \psi)} \right)$

sostituendo, si ottiene

$\delta \alpha \partial _\mu \mathcal {F}^\mu = \left[\frac {\partial \mathcal {L}}{\partial \psi} - \partial _\mu \left(\frac {\partial \mathcal {L}}{\partial ( \partial_\mu \psi)} \right) \right]\delta \psi + \partial _\mu \left(\frac {\partial \mathcal {L}}{\partial (\partial_\mu \psi)} \delta \psi \right)$

questi passaggi servono solo ad evidenziare direttamente nella relazione il ruolo dell'equazione di Eulero-Lagrange, che fornisce alla fine

$\delta \alpha \partial _\mu \mathcal {F}^\mu = \partial _\mu \left(\frac {\partial \mathcal {L}}{\partial ( \partial_\mu \psi)} \delta \psi \right) \Rightarrow \partial _\mu \left(\mathcal {F}^\mu - \frac {\partial \mathcal {L}}{\partial ( \partial_\mu \psi)} \frac {\delta \psi}{\delta \alpha} \right) = 0$

come si voleva far vedere. L'ultima espressione rappresenta infatti la condizione di continuità per una certa corrente, appunto la corrente di Noether

$\mathcal {J}^\mu = \mathcal {F}^\mu - \frac {\partial \mathcal {L}}{\partial ( \partial_\mu \psi)} \frac {\delta \psi}{\delta \alpha}$

Enunciato alternativo

Se un sistema lagrangiano ammette un gruppo di trasformazioni delle coordinate ad un parametro s

$\mathbf{q} = \mathbf{F}(\mathbf{Q},s)$

tale che la lagrangiana sia invariante rispetto a tale trasformazione

$\mathcal{L}(\mathbf{q}, \mathbf{\dot{q}}) = \mathcal{L}(\mathbf{Q}, \mathbf{\dot{Q}})$

allora il gruppo è di simmetria e il sistema ha un integrale primo dato da

$\mathcal{I}(\mathbf{Q}, \mathbf{\dot{Q}}) = \sum_{i} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \mathbf{\dot{q}}_i}(\mathbf{q}, \mathbf{\dot{q}}) \frac{\partial \mathbf{F}_i}{\partial s} (\mathbf{Q},0)$

Dimostrazione

Per l'invarianza della lagrangiana è possibile scrivere

$\frac{\partial}{\partial s} \mathcal{L}(\mathbf{q}, \mathbf{\dot{q}})|_{s=0} = \sum_{i} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \mathbf{q}_i} (\mathbf{q}, \mathbf{\dot{q}}) \frac{\partial \mathbf{F}_i}{\partial s} (\mathbf{Q},0) + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \mathbf{\dot{q}}_i} (\mathbf{q}, \mathbf{\dot{q}}) \frac{\partial \mathbf{\dot{F}}_i}{\partial s} (\mathbf{Q},0) = 0$

ma

$\frac{\partial \mathbf{\dot{F}}_i}{\partial s} (\mathbf{Q},0) = \frac{d}{d t} \frac{\partial \mathbf{F}_i}{\partial s} (\mathbf{Q},0)$

e quindi, invertendo l'ordine di derivazione

$\sum_{i} \left[ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \mathbf{q}_i} (\mathbf{q}, \mathbf{\dot{q}}) \frac{\partial \mathbf{F}_i}{\partial s} (\mathbf{Q},0) - \frac{d}{d t} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \mathbf{\dot{q}}_i} (\mathbf{q}, \mathbf{\dot{q}}) \frac{\partial \mathbf{F}_i}{\partial s} (\mathbf{Q},0) + \frac{d}{d t} \left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \mathbf{\dot{q}}_i} (\mathbf{q}, \mathbf{\dot{q}}) \frac{\partial \mathbf{F}_i}{\partial s} (\mathbf{Q},0) \right) \right]=0$

l'asserto segue quindi direttamente dalle equazioni della meccanica, infatti i primi due addendi della sommatoria costituiscono le equazioni di Eulero Lagrange, quindi la loro somma algebrica risulta zero per ogni indice, rimane quindi la derivata totale rispetto al tempo dell'ultima quantità che è uguale a zero, dunque dalle note regloe di derivazione tale quantità e necessariamente costante. Allora il teorema è dimostrato.

Esempi

Supponiamo di trattare un sistema bidimensionale, e di considerare una trasformazione di coordinate $\vec{x}=(x,y) \rightarrow \vec{f}$ così definita:

$f_{1} = x + s \$

$f_{2} = y \$

Secondo il teorema, si ha che
$\frac{\partial f_{n}}{\partial s} = 1 \quad n = 1$

$\frac{\partial f_{n}}{\partial s} = 0 \quad n \neq 1$

quindi automaticamente si conserverà la quantità:

$p_1 = \sum_{i} \frac{\partial f_{i}}{\partial s}(t,0) \, p_{i} = \mathrm{costante}$

Questo significa che per un sistema che ha un'invarianza per traslazioni nella direzione x, si conserverà il momento lineare (quantità di moto) in quella direzione.

Principali leggi di conservazione

• Principio di conservazione
• Energia
• Carica elettrica
• Carica di colore
• Flusso magnetico
• Massa
• Momento angolare
• Numero barionico
• Numero leptonico
• Quantità di moto
• Spin
• Chiralità (fisica)

Bibliografia

• (EN)The heritage of Emmy Noether in algebra, geometry and physics. Bar Ilan University, Tel Aviv (Israel), 2-3 dicembre 1996

Voci correlate

• Legge di conservazione
• Principio di conservazione
• Meccanica razionale
• Lagrangiana
• Hamiltoniana
• Teoria di gauge

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