Funzionale

In matematica, il termine funzionale è applicato a determinate funzioni. Ci sono due modi in cui è applicato comunemente: sono collegati storicamente, ma il loro senso si è allontanato nel XX secolo.

Significato originale

Il senso iniziale è una funzione che accetta funzioni come argomento; cioè, una funzione il cui dominio è un insieme di funzioni. Questo è il modo in cui era usata la parola inizialmente nel calcolo delle variazioni, dove l'integrale da minimizzare deve essere un funzionale, applicato a una funzione incognita che soddisfa solo alcune condizioni al contorno e le condizioni di differenziabilità. (Vedi anche Operatore, per un significato più ampio.)

Questa terminologia si applica ancora in quel contesto e in molti settori della fisica e dell'informatica, dove nel lambda calcolo e nella programmazione funzionale una funzione di ordine superiore è una funzione che accetta una funzione come argomento e restituisce un certo valore.

Differenza fra funzionale e funzione

Un funzionale è una legge o corrispondenza fra funzioni e numeri. Una funzione è una legge o corrispondenza fra numeri e numeri. In pratica la differenza fra funzione e funzionale consiste nel fatto che le funzioni associano a dei numeri altri numeri, mentre i funzionali associano a funzioni dei numeri.

Equazione funzionale

Il termine si applica anche quando si parla di una equazione funzionale, intendendo una equazione fra funzionali: una equazione F = G fra funzionali può essere letta come una 'equazione da risolvere', con funzioni come soluzioni. In tali equazioni ci possono essere molte variabili incognite, ad esempio quando si dice che una funzione f è additiva significa che soddisfa l'equazione funzionale

f(x + y) = f(x) + f(y).

Funzionali lineari

Il secondo uso del termine nella locuzione funzionale lineare viene dall'analisi funzionale. Mentre nel periodo di fondazione dell'analisi funzionale (1900-1920) vi era lo studio di spazi vettoriali come gli spazi Lp, che sono spazi funzionali, il successivo approccio assiomatico non fa questa assunzione. Il nome funzionale lineare comunque è stato mantenuto e applicato alla costruzione dello spazio duale, nel caso generale.

Funzionali regolari

Sia $S(\Bbb{R})$ lo spazio delle funzioni a supporto compatto in $\Bbb{R}$ ed infinitamente derivabili. Un funzionale $F\in S^{\prime}( \Bbb{R} )$ si dice regolare se $\exists f(x)$ tale che:

$F(x) = \int f(x) \varphi(x) dx \, \forall \varphi \in S(\Bbb{R})$

Le funzioni $\varphi \in S(\Bbb{R})$ sono chiamate funzioni test.

NB: per amor di praticità in fisica (e spesso anche in matematica) si indica con $\int f(x) \varphi(x) dx \, \forall \varphi \in S(\Bbb{R})$ qualsiasi distribuzione, anche non regolare, benché in questi casi non si sappia definire che cosa rappresenta l'integrale; si parla allora di notazione simbolica, ed è necessario prestare un minimo di attenzione.

Si può mostrare che tutti gli L^P definiscono distribuzioni regolari, ma non tutti gli elementi di $S^{\prime}( \Bbb{R} )$ sono regolari, ad esempio la δ(x) (delta di Dirac). In questi casi non è possibile costruire il funzionale a partire da una funzione f(x), ma solo come di una successione di funzioni.

Derivata funzionale e integrale funzionale

Le derivate funzionali sono usate nella meccanica lagrangiana. Sono derivate di funzionali: cioè portano informazione su come un funzionale (nel senso riportato sopra) cambia, quando la funzione cambia di una piccola quantità.

Richard Feynman ha usato integrali funzionali come idea centrale nella sua formulazione della meccanica quantistica come somma sulle storie. Questo uso implica un integrale preso su un certo spazio funzionale.

Voci correlate

• Distribuzione (matematica)
• Applicazione parziale

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