Funzionale

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In matematica, il termine funzionale è applicato a determinate funzioni definite su uno spazio vettoriale e a valori nel rispettivo campo di scalari (ad esempio \R o \C). Particolare importanza rivestono i funzionali che sono trasformazioni lineari: l'insieme dei funzionali lineari su uno spazio vettoriale è detto duale dello spazio vettoriale.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

L'associazione:

x_0\mapsto f(x_0)

è una funzione con argomento x_0. Una funzione che associa un'altra funzione al valore di quest'ultima in x_0:

f\mapsto f(x_0)

è detta funzionale. Ad esempio, le distribuzioni sono funzionali lineari.

Equazioni funzionali[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Equazione funzionale.

Un'equazione funzionale è un'equazione per un funzionale g in cui la funzionne incognita compare in forma implicita, ovvero g(h_1, \dots , h_n)=0, dove h_1, \dots , h_n sono funzioni (variabili) note e/o incognite. Ad esempio, si dice che una funzione f è additiva se soddisfa l'equazione funzionale di Cauchy:

f\left(x+y\right) = f\left(x\right) + f\left(y\right)

Funzionali lineari[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Funzionale lineare.

L'insieme dei funzionali che sono lineari e sono definiti sui vettori di uno spazio vettoriale V costituisce lo spazio duale V'. Il prodotto scalare definisce in modo naturale un isomorfismo tra vettori e covettori, cioè tra lo spazio vettoriale e il suo duale. Se il prodotto scalare è euclideo e la base è ortonormale allora le componenti di vettori e covettori coincidono.

Distribuzioni[modifica | modifica wikitesto]

Sia S(\Bbb{R}) lo spazio delle funzioni a supporto compatto in  \Bbb{R} ed infinitamente derivabili. Un funzionale F\in S^{\prime}( \Bbb{R} ) si dice regolare se \exists f(x) tale che:

F(x) = \int f(x) \varphi(x) dx \qquad \forall \varphi \in S(\Bbb{R})

Le funzioni  \varphi \in S(\Bbb{R}) sono chiamate funzioni test.

In fisica (e spesso anche in matematica) si indica solitamente con:

\int f(x) \varphi(x) dx \qquad \forall \varphi \in S(\Bbb{R})

qualsiasi distribuzione, anche non regolare, benché in questi casi non si sappia definire che cosa rappresenta l'integrale; si parla allora di notazione simbolica, ed è necessario prestare un minimo di attenzione.

Si può mostrare che tutti gli L^P definiscono distribuzioni regolari, ma non tutti gli elementi di S^{\prime}( \Bbb{R} ) sono regolari, ad esempio la \delta (x) (delta di Dirac). In questi casi non è possibile costruire il funzionale a partire da una funzione f(x), ma solo come di una successione di funzioni.

Derivata funzionale e integrale funzionale[modifica | modifica wikitesto]

Le derivate funzionali sono derivate di funzionali: portano cioè informazione su come un funzionale cambia quando la funzione argomento cambia di una piccola quantità. Richard Feynman ha usato gli integrali funzionali come idea centrale nella sua formulazione della meccanica quantistica come somma sulle storie. Questo uso implica un integrale preso su un certo spazio funzionale.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) A.N. Kolmogorov, S.V. Fomin, Elements of the theory of functions and functional analysis , 1–2 , Graylock (1957–1961)

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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