Funzionale lineare

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In matematica, e più precisamente in algebra lineare, un funzionale lineare o forma lineare è un'applicazione lineare da uno spazio vettoriale nel suo campo di scalari. Può trattarsi di un funzionale inteso come funzione che ha per argomento un'altra funzione, ma non è necessariamente definito sempre così. Il termine "funzionale lineare" è usato specialmente in analisi funzionale, mentre "forma lineare" è più usato in geometria, dove una forma lineare è un particolare esempio di forma multilineare.

L'insieme dei funzionali lineari agenti su uno spazio vettoriale V forma a sua volta uno spazio vettoriale, lo spazio duale \tilde{V} (spesso denotato anche con V^* o V').

In \R^n, se i vettori sono rappresentati come vettori colonna, i funzionali lineari sono vettori riga, che agiscono sui vettori colonna per mezzo di un prodotto scalare (in generale, una forma sesquilineare) o un prodotto matriciale (tra un vettore riga a sinistra e un vettore colonna a destra). Ad esempio, dati i vettori colonna:

\mathbf {x} = \begin{bmatrix}x_1\\ \vdots\\ x_n\end{bmatrix} \in \R^n

allora ogni funzionale lineare f può essere scritto in tali coordinate come una somma del tipo:

f(\mathbf {x}) = a_1x_1 + \cdots + a_n x_n

Si tratta del prodotto matriciale tra il vettore riga [a_1 \dots a_n] e il vettore colonna \mathbf {x}:

f(\mathbf {x}) = [a_1 \dots a_n] \begin{bmatrix}x_1\\ \vdots\\ x_n\end{bmatrix}

I funzionali lineari sono stati inizialmente introdotti nell'ambito dell'analisi funzionale, in particolare nello studio degli spazi funzionali vettoriali. Un tipico esempio di funzionale lineare è l'operatore integrale di Riemann:

I(f) = \int_a^b f(x)\, dx

che è definito sullo spazio vettoriale C[a,b] delle funzioni continue sull'intervallo [a,b] e mappa nel campo dei reali \R. La linearità si vede da note proprietà degli integrali:

I(f+g) = \int_a^b(f(x)+g(x))\, dx = \int_a^b f(x)\, dx + \int_a^b g(x)\, dx = I(f)+I(g)
I(\alpha f) = \int_a^b \alpha f(x)\, dx = \alpha\int_a^b f(x)\, dx = \alpha I(f)

I funzionali lineari sono molto utilizzati in fisica.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Sia V uno spazio vettoriale su un campo K. Un funzionale lineare  f è una funzione lineare da V a K.[1] Valgono quindi le seguenti relazioni:

f(\mathbf {v}+\mathbf {w}) = f(\mathbf {v})+f(\mathbf {w}) \qquad \forall \mathbf {v}, \mathbf {w}\in V
f(a\mathbf {v}) = af(\mathbf {v})\qquad \forall \mathbf {v}\in V, \forall a\in K

Date due funzioni misurabili a valori positivi f \in L^p (\R) e g\in L^{p'}(\R), con p^{-1} + q^{-1} =1, per la disuguaglianza di Hölder si ha che fg \in L^1 (\R). Considerando la funzione g, è quindi possibile definire:

G(f) = \int_{-\infty}^\infty \bar f g dx

per ogni f \in L^p (\R). L'operatore G è allora un operatore limitato, la cui norma non è maggiore della q-norma di g. Ogni funzionale limitato di L^p (\R) può essere scritto in tal modo per un qualche g\in L^{p'}(\R).

L'insieme di tutti i funzionali lineari da V in K, essendo chiuso rispetto alle operazioni di somma e prodotto per scalare, forma uno spazio vettoriale \tilde{V}, lo spazio duale di V.[1] Se V ha dimensione n, allora anche \tilde{V} ha dimensione n. La mappa che associa ad ogni g\in L^{p'} il corrispondente funzionale lineare G definito su L^p è un isomorfismo isometrico di L^{p'} nel duale di L^p.[2]

Se V è uno spazio vettoriale sui numeri reali o complessi, ed è dotato di una topologia che lo rende uno spazio vettoriale topologico, risultano particolarmente interessanti i funzionali lineari continui, che formano un sottospazio dello spazio duale detto spazio duale continuo o anche duale topologico. Per distinguerlo dal duale continuo, il generico spazio duale è talvolta detto spazio duale algebrico. In dimensione finita, comunque, il duale algebrico e il duale continuo coincidono poiché ogni funzionale lineare è un operatore lineare continuo. In generale il duale continuo è un sottospazio del duale algebrico. Si usa spesso denotare con V^* il duale algebrico e con V' il duale continuo, sebbene la notazione sia varia a seconda degli autori.

Si definisce un funzionale lineare positivo un funzionale  G \ tale che  G(f) \ge 0 per ogni  f puntualmente positiva.[3] Si dimostra che ogni funzionale lineare positivo è continuo.

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

  • La funzione  f: \mathbb R^n \to \mathbb R data da:
 (x_1,\ldots,x_n)\mapsto x_1
è un funzionale lineare che associa ad ogni vettore dello spazio euclideo la sua prima coordinata.
  • Il funzionale:
f \mapsto \int_a^b f(x)\, dx
associa ad una funzione integrabile f, definita sull'intervallo  [a,b] ed a valori nei numeri reali o complessi, l'integrale di f tra i due estremi. Qui lo spazio vettoriale V può essere ad esempio quello delle funzioni continue sull'intervallo, oppure quello più grande delle funzioni integrabili. In entrambi i casi V ha dimensione infinita.
  • Sia P_n lo spazio vettoriale delle funzioni polinomiali a valori reali di grado inferiore a n definite su  [a,b] . Se c \in [a,b] , sia  ev_c : P_n \to \R il funzionale di valutazione:
\operatorname{ev}_c f = f(c)
La mappa f \to f(c) è lineare dal momento che:
(f+g)(c) = f(c) + g(c)
(\alpha f)(c) = \alpha f(c)
Se x_0, \dots , x_n sono n+1 punti sitinti di [a,b] allora l'insieme dei funzionali ev_{x_i} forma una base dello spazio duale di P_n.

Basi in dimensione finita[modifica | modifica wikitesto]

Sia \mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2,\dots,\mathbf{e}_n una base (qualsiasi) dello spazio vettoriale V. Lo spazio duale \tilde{V} possiede allora una base \tilde{\omega}^1,\tilde{\omega}^2,\dots,\tilde{\omega}^n, detta base duale, definita dalla proprietà:

 \tilde{\omega}^i (\mathbf e_j) = \left\{\begin{matrix} 1 &\mathrm{if}\ i=j\\ 0 &\mathrm{if}\ i\not=j.\end{matrix}\right.

In modo più compatto si può scrivere anche:

 \tilde{\omega}^i (\mathbf e_j) = \delta^i_j

dove \delta^i_j è il delta di Kronecker, ed apici e pedici denotano la covarianza e controvarianza degli indici utilizzati.

Un funzionale lineare \tilde{u} \in \tilde{V} può essere espresso come combinazione lineare di funzionali di base, con coefficienti u_i:

\tilde{u} = \sum_{i=1}^n u_i \, \tilde{\omega}^i

Allora, applicando il funzionale \tilde{u} al vettore di base \mathbf e_j si ottiene:

\tilde{u}(\mathbf e_j) = \sum_{i=1}^n (u_i \, \tilde{\omega}^i) \mathbf e_j = \sum_i u_i (\tilde{\omega}^i (\mathbf e_j)) = \sum_i u_i \delta^i {}_j = u_j

Questa relazione mostra come si può estrarre una singola componente di un funzionale lineare applicando il funzionale al corrispondente vettore di base.

Se V possiede un prodotto interno, allora si può scrivere esplicitamente una formula per la base duale di una base data. Se \mathbf {e}_1,\mathbf {e}_2, \mathbf {e}_3 è una base di V, la base duale è:

 \tilde{\omega}^i(\mathbf{v}) = {1 \over 2} \, \left\langle  { \sum_{j=1}^3\sum_{k=1}^3\varepsilon^{ijk} \, (\mathbf e_j \times \mathbf e_k) \over \mathbf e_1 \cdot \mathbf e_2 \times \mathbf e_3} , \mathbf{v} \right\rangle \qquad i=1,2,3

dove \varepsilon^{ijk} è il simbolo di Levi-Civita e \langle,\rangle il prodotto interno su V.

In dimensione maggiore:

 \tilde{\omega}^i(\mathbf{v}) = \left\langle \frac{\underset{{}^{1\le i_2<i_3<\dots<i_n\le n}}{\sum}\varepsilon^{ii_2\dots i_n}(\star \mathbf{e}_{i_2}\wedge\dots\wedge\mathbf{e}_{i_n})}{\star(\mathbf{e}_1\wedge\dots\wedge\mathbf{e}_n)}, \mathbf{v} \right\rangle

dove \star è l'operatore star di Hodge.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ a b Reed, Simon, Pag. 72
  2. ^ Reed, Simon, Pag. 73
  3. ^ Reed, Simon, Pag. 196

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2ª ed., San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0-12-585050-6.
  • (EN) Bishop, Richard; Goldberg, Samuel (1980), "Chapter 4", Tensor Analysis on Manifolds, Dover Publications, ISBN 0-486-64039-6
  • (EN) Halmos, Paul (1974), Finite dimensional vector spaces, Springer, ISBN 0-387-90093-4
  • (EN) Lax, Peter (1996), Linear algebra, Wiley-Interscience, ISBN 978-0-471-11111-5
  • (EN) Misner, Charles W.; Thorne, Kip. S.; Wheeler, John A. (1973), Gravitation, W. H. Freeman, ISBN 0-7167-0344-0
  • (EN) Rudin, Walter (1991), Functional Analysis, McGraw-Hill Science/Engineering/Math, ISBN 978-0-07-054236-5
  • (EN) Schutz, Bernard (1985), "Chapter 3", A first course in general relativity, Cambridge, UK: Cambridge University Press, ISBN 0-521-27703-5

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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