Coordinate generalizzate

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In meccanica lagrangiana un sistema di coordinate generalizzate (o lagrangiane) è un sistema di coordinate, di numero pari o superiore ai gradi di libertà del sistema, che determina univocamente lo stato del sistema.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Dato un sistema meccanico con I gradi di libertà e un qualunque sistema di coordinate, per esempio cartesiane, nel quale lo stato del sistema è indicato dal vettore \bar x=(x_d), con  m\ge n, è possibile esprimere ogni variabile x_d in funzione del vettore  \bar r=(r_i). Ogni r_i è detta variabile generalizzata:

 
\begin{cases} x_1 = \phi (r_1, \dots, r_I)\\
x_2 = \phi (r_1, \dots , r_I) \\
\dots \; \; \dots \\ 
x_D = \phi (r_1, \dots , r_I)
\end{cases}

dove \bar r = (r_i) \in A \subset \mathbb{R}^n con A aperto, e \bar \phi : A \longrightarrow \mathbb{R}^m è una funzione regolare. Queste devono costituire necessariamente un insieme di generatori dello spazio vettoriale I-dimensionale degli stati del sistema, mentre non è necessario che siano linearmente indipendenti. Ciò non è vero ad esempio in presenza di vincoli che legano tra di loro alcune tra le x_i. Le coordinate generalizzate possono quindi anche essere rappresentate da grandezze diverse da posizioni o angoli, per esempio dall'energia meccanica o dal volume del sistema.

Esempi[modifica | modifica sorgente]

Un sistema di N particelle nello spazio D-dimensionale può avere fino a N D gradi di libertà, e quindi coordinate generalizzate (una per ogni dimensione del moto di ciascuna particella). Un sistema di N corpi rigidi può avere fino a 6N coordinate generalizzate nello spazio tridimensionale, includendo 3 assi di rotazione per ogni corpo. Il numero di gradi di libertà effettivi si riduce in seguito all'introduzione di vincoli tra le posizioni delle particelle (vincoli olonomi) e le velocità (vincoli anolonomi). Ad esempio un sistema formato da due particelle puntiformi nello spazio 3D ha 6 gradi di libertà (3 per ogni coordinata cartesiana di ciascuna particella), ma con l'introduzione di un vincolo, come la condizione che le particelle rimangano a distanza fissata l'una dall'altra, riduce a 5 i gradi di libertà (6 coordinate - 1 vincolo). Una scelta conveniente delle variabili lagrangiane consiste in questo caso nell'usarne tre per localizzare il centro di massa del sistema e le rimanenti due per determinare l'orientazione nello spazio della retta che congiunge le due particelle: in questo modo abbiamo 5 coordinate indipendenti tra loro.

Un corpo costretto a spostarsi lungo un vincolo unidimensionale (es. una curva regolare \phi(t), \phi:\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}^3) ha solo un grado di libertà, e la coordinata generalizzata usata il più delle volte per descriverne il moto è l'ascissa curvilinea q=t, cioè la variabile che parametrizza la curva. Da notare che un moto nelle tre dimensioni è stato ridotto ad una dimensione.

Analogamente un corpo vincolato ad una superficie ha due gradi di libertà, anche se il suo moto è ancora agganciato alle tre dimensioni. Se la superficie è una sfera, una buona scelta di coordinate è \lbrace r_1,r_2\rbrace = \lbrace \theta,\phi \rbrace , dove \theta e \phi sono le coordinate di angolo provenienti dalle coordinate sferiche. La coordinata r è stata soppressa in quanto una particella che si muove su una sfera mantiene una distanza costante dal centro della sfera.

Un doppio pendolo costretto a muoversi su un piano può essere descritto, in un sistema di assi cartesiani (x,y), con l'asse y verticale discendente, da quattro coordinate cartesiane \lbrace x_1,y_1,x_2,y_2\rbrace, ma il sistema ha solo due gradi di libertà, ed un sistema più efficiente potrebbe essere quello di considerare come variabili lagrangiane l'angolo che ciascun pendolo forma con la verticale. Ponendo \lbrace r_1,r_2\rbrace = \lbrace\theta_1,\theta_2 \rbrace otteniamo le seguenti relazioni:

\lbrace x_1, y_1 \rbrace = \lbrace l_1\sin\theta_1, l_1\cos\theta_1 \rbrace
\lbrace x_2, y_2 \rbrace = \lbrace l_1\sin\theta_1 + l_2\sin\theta_2 , l_1\cos\theta_1 + l_2\cos\theta_2  \rbrace

dove l_1 è la lunghezza del pendolo vincolato all'origine e l_2 è la lunghezza del pendolo vincolato all'estremità libera dell'altro.

Velocità generalizzata[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi spazio delle fasi.

Ogni coordinata generalizzata r_i è associata ad una velocità generalizzata \dot r_i, definita come:

\dot r_i \stackrel{\mathrm{\Delta}}{=}{dr_i \over dt}

Nell'ipotesi che le coordinate sono linearmente indipendenti fra loro, esse dipendono solo dal tempo:

\dot r_i={\partial r_i \over \partial t}

Sia dato un sistema di N particelle in D dimensioni, quindi con al massimo ND gradi di libertà. L'n-esima particella ha come coordinata d-esima (X_{nd}), e quindi le posizioni del sistema sono rappresentabili come una matrice X \in R^{N \times D}. Si può passare ad un sistema di riferimento formato da ND coordinate generalizzate se esistono le D+1 equazioni di trasformazione tra le D coordinate cartesiane e le generalizzate:

x_d = x_d \left (r_n, t \right )

Queste equazioni possono infatti essere derivate nel tempo, ottenendo le velocità:

\dot x_d \stackrel{\mathrm{\Delta}}{=} \frac {d}{dt} x_d \left (r_n, t \right )=\sum_{i=1}^{ND}\frac{\partial x_d}{\partial r_i}{\partial r_i \over \partial t}+\frac{\partial x_d}{\partial t} = \sum_{i=1}^{ND}\frac{\partial x_d}{\partial r_i}\dot r_i+\frac{\partial x_d}{\partial t}

e quindi il vettore D-dimensionale velocità è dato da:

\dot {\bar x}_{(\dot {\bar r})} = \nabla \bar x \cdot \dot {\bar r} + \frac{\partial \bar x}{\partial t}

Quantità di moto generalizzata[modifica | modifica sorgente]

La quantità di moto generalizzata è definita come grandezza corrispondente alle quantità di moto newtoniane:

q_i \stackrel{\mathrm{\Delta}}{=} \sum_{n = 1}^N p_n \frac{\partial \bar x_n}{\partial r_i} = \sum_{n = 1}^N m_n \dot {\bar x}_n \frac{\partial \dot {\bar x}_n}{\partial \dot r_i} = \frac{\partial {\sum_{n = 1}^N \frac{1}{2}m_n \dot {\bar x}_n^2}}{\partial \dot r_i}

Risulta che:

q_i = \frac{\partial T}{\partial \dot r_i}=\sum_{j = 1}^I H_{ij} T_{(\bar 0)} \dot r_j + \nabla_i T_{(\bar 0)}

Quest'ultima equivalenza può essere comprovata utilizzando la dimostrazione delle equazioni di Lagrange. La quantità di moto generalizzata vale dunque:

\bar q_{(\dot {\bar r})} = \bar H T_{(\bar 0)} \cdot \dot {\bar r} + \nabla T_{(\bar 0)}

Si tratta di una forma lineare dell'energia cinetica nelle velocità generalizzate. Per un sistema olonomo, in particolare, risulta:

\bar q_{(\dot {\bar r})} = \bar H T_{(\bar 0)} \cdot \dot {\bar r}

Si deve porre attenzione nel legare quantità di moto generalizzate e forze generalizzate, in quanto le quantità di moto lagrangiane sono in base alle equazioni di Lagrange del I tipo:

q_i = \int F_i - \frac{\partial T}{\partial r_i} dt = p_i - \int \frac{\partial T}{\partial r_i} dt

e differiscono quindi per il secondo termine  - \int\frac{\partial T}{\partial r_i} dt dal momento coniugato p_i = \int F_i dt cui si arriverebbe tentando di generalizzare la definizione newtoniana di forza come derivata totale temporale della quantità di moto, cioè il secondo principio della dinamica.

In coordinate cartesiane, la quantità di moto generalizzata ritorna chiaramente la quantità di moto semplice, mentre in coordinate sferiche diventa il momento angolare. In generale però non ne è sempre possibile una interpretazione intuitiva.

Energia cinetica in coordinate generalizzate[modifica | modifica sorgente]

L'energia cinetica di N particelle è data in meccanica newtoniana D-dimensionale come:

 T : \R^{N D} \to \R
T_{(\dot {\bar x})} \stackrel{\mathrm{\Delta}}{=} \frac {1}{2} \sum_{n=1}^{N} m_n \dot {\bar x}_n \cdot \dot {\bar x}_n

Esprimendo gli N vettori posizione newtoniani \bar x_{(\bar r)} (delle particelle rispetto ai D assi cartesiani) in funzione delle I coordinate lagrangiane r_i:

T_{(\dot {\bar r})}=\frac {1}{2} \sum_{n=1}^{N}m_n \left(\frac{\partial \bar x_n}{\partial t} + \sum_{i=1}^{I}\frac{\partial \bar x_n}{\partial r_i}\dot r_i\right)\cdot \left(\frac{\partial \bar x_n}{\partial t} + \sum_{j=1}^{I}\frac{\partial \bar x_n}{\partial r_j}\dot r_j\right).

Svolgendo e raccogliendo nelle velocità generalizzate \dot r_i:

T_{(\dot {\bar r})}= \frac{1}{2} \sum_{n = 1}^N {m_n} (\frac{\partial \bar x_n}{\partial t})^2+ \sum_{i=1}^{I}\sum_{n = 1}^N {m_n} \frac{(\partial \bar x_n)^2}{\partial r_i \partial t} \dot r_i + \frac{1}{2}\sum_{i, j=1}^{I} \sum_{n = 1}^N {m_n} \frac{(\partial \bar x_n)^2}{\partial r_i \partial r_j} \dot r_i \dot r_j

se :\quad T_{(\bar 0)} \stackrel{\mathrm{\Delta}}{=} \quad \frac{1}{2}\sum_{n = 1}^N {m_n} (\frac{\partial \bar x_n}{\partial t})^2,

 \quad \nabla_i T_{(\bar 0)} \stackrel{\mathrm{\Delta}}{=} \quad \frac{\partial}{\partial r_i} \sum_{n = 1}^N m_n \bar x_n \frac{\partial \bar x_n}{\partial t} = \sum_{n = 1}^N {m_n} \frac{(\partial \bar x_n)^2}{\partial r_i \partial t}, \, per sistemi classici in cui la massa non dipende dalle coordinate generalizzate: \nabla m_n = \bar 0, \,
\quad \bar \bar H_{ij} T_{(\bar 0)} \stackrel{\mathrm{\Delta}}{=} \quad \frac{{\partial}^2}{\partial r_i \partial r_j} \sum_{n = 1}^N m_n (\bar x_n)^2 = \sum_{n = 1}^N {m_n} \frac{(\partial \bar x_n)^2}{\partial r_i \partial r_j}, \, per sistemi classici in cui la massa non dipende dalle coordinate generalizzate: \bar \bar H m_n = \bar 0.

Quindi riassumendo vettorialmente l'identità scalare:

T_{(\dot {\bar r})}= T_{(\bar 0)} + \sum_{i=1}^{I}\nabla_i T_{(\bar 0)} \dot r_i + \frac{1}{2}\sum_{i, j=1}^{I} H_{ij} T_{(\bar 0)} \dot r_i \dot r_j

si ottiene infine:

T_{(\dot {\bar r})}= T_{(\bar 0)} + \nabla T_{(\bar 0)} \cdot \dot {\bar r} + \frac{1}{2} \dot {\bar r} \cdot \bar \bar H T_{(\bar 0)} \cdot \dot {\bar r}
 T : \R^I \to \R

L'energia cinetica in coordinate lagrangiane è in conclusione una serie di Taylor in I variabili del second'ordine nel vettore velocità \dot {\bar r}, definita positiva poiché lo è l'hessiana H che vi compare. Inoltre i due termini lineare \nabla T_{(\bar 0)} e costante T_{(\bar 0)} dipendono in generale dal tempo: nel caso di un sistema olonomo l'energia cinetica si riduce a

T|_{(\frac{\partial \bar x_n}{\partial t} = 0)} = \frac{1}{2} \dot {\bar r} \cdot \bar \bar H_{\dot {\bar r}}T_{(\bar 0)} \cdot \dot {\bar r} = \frac{1}{2} \bar p \cdot \dot {\bar r}

È importante ricordare che le coordinate lagrangiane rispetto a cui si determina l'energia cinetica hanno l'ulteriore vantaggio di non dovere necessariamente essere inerziali, a differenza di quelle cartesiane.

Forza generalizzata[modifica | modifica sorgente]

Le forze generalizzate sono definite come in numero di I grandezze scalari, con I il grado di libertà del sistema:

F_i \stackrel{\mathrm{\Delta}}{=} \frac{\partial W}{\partial r_i} = \sum_{n = 1}^N \bar F_n \cdot \frac{\partial \bar x_n}{\partial r_i},

Dove W è il lavoro della risultante attiva F agente sul sistema. Si tratta quindi in termini newtoniani per variabili lunghezza e angolo rispettivamente delle grandezze forza e momento meccanico prese lungo la variabile, nel caso più generale di una combinazione delle due.

Nel caso di vincoli bilaterali permettono di ignorare nell'analisi del sistema le reazioni vincolari (di risultante R), anche per sistemi scleronomi: dato uno spostamento virtuale \delta x_n, ottenuto considerando solo gli spostamenti ammissibili con i vincoli considerati come fissi all'istante di riferimento, il lavoro virtuale agente sull'n-esima particella del sistema vale:

\delta W_n=(\bar F_n+\bar R_n)\cdot \bar \delta \bar x_n

Se i vincoli del sistema sono bilaterali, per il principio delle reazioni vincolari i lavori virtuali vincolari sono nulli, e cioè le reazioni sono ortogonali agli spostamenti virtuali:

\delta W_{i}=F_i\cdot \delta \bar x_i

Esprimendo \delta \bar x_n in funzione delle coordinate generalizzate r_i, e ricordando che \frac{\partial \bar x_n}{\partial t}=0 per definizione di spostamento virtuale:

\delta W_{n}=\sum_{i=1}^I \bar F_n\cdot \frac{\partial \bar x_n}{\partial r_i}\delta r_i=\sum_{i=1}^I F_{n,i} \cdot \delta r_i

Il lavoro virtuale sulla particella sottoposta a vincoli bilaterali è cioè interamente calcolabile tramite le forze generalizzate agenti su di essa. A livello ingegneristico dove è necessario risalire allo sforzo che dovrebbe essere fatto da tutte le forze non vincolari se il sistema subisse uno spostamento virtuale \delta r_h, oppure alle sollecitazioni esterne imposte realmente dai vincoli, l'approccio Lagrangiano risulta quindi particolarmente utile.

In base alle equazioni di Lagrange del I tipo e in forma di Nielsen si può legare la forza generalizzata all'energia cinetica del sistema: F_i = \dot p_i  = {\partial{T}\over \partial{\dot r_i}} - 2 {\partial{T}\over \partial r_i}, Si noti ancora che la forza generalizzata differisce in generale per il secondo termine  - \frac{\partial T}{\partial r_i} dalla derivata temporale della quantità di moto \dot q_i, cui si arriverebbe erroneamente inducendo una generalizzazione da una definizione di forza basata sul secondo principio della dinamica, valida solo per la dinamica newtoniana.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • Wells, D.A., Schaum's Outline of Lagrangian Dynamics; McGraw-Hill, Inc. New York, 1967.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

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