Momento angolare

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

1leftarrow.pngVoce principale: Momento di un vettore.

Esempio di funzionamento del momento angolare

Il momento angolare (o momento polare, o momento della quantità di moto, o impulso angolare) è un'importante grandezza fisica di tipo vettoriale legata alle rotazioni spaziali. È infatti la quantità che si conserva se un sistema fisico è invariante sotto rotazioni; in altri termini costituisce l'equivalente per le rotazioni spaziali della quantità di moto per le traslazioni.

Nella meccanica newtoniana il momento angolare \bar  L rispetto a un polo \Omega di un punto materiale è definito come il prodotto vettoriale del vettore posizione (con origine in \Omega) e del vettore quantità di moto. Omettendo la dipendenza dal polo:

\bar  L = \bar  r \times \bar  V = \bar  r \times m \, \bar  v \;.

Per sistemi discreti il momento angolare totale è definito dalla somma dei singoli momenti angolari:

\bar  L = \sum_i m_i \, \bar  r_{i} \times \bar  v_i \;.

Nei sistemi continui si estende in modo naturale la definizione introducendo la densità \rho e il campo di velocità \bar  v ( \bar  r ):

\bar  L = \int_V \rho \, \bar  r \times \bar  v \ \operatorname{d} V .

Più in generale, nelle formulazioni della meccanica discendenti da un principio variazionale, il momento angolare è definito in termini del teorema di Noether come la quantità conservata risultante dall'invarianza dell'azione rispetto alle rotazioni tridimensionali. Questa formulazione è più adatta per estendere il concetto di momento angolare ad altri enti, quali ad esempio il campo elettromagnetico.

Momento angolare in meccanica classica[modifica | modifica wikitesto]

Momento angolare

Come già detto, in meccanica classica il momento angolare \bar  L è definito come il prodotto vettoriale tra il vettore posizione \bar  r (rispetto alla stessa origine) e il vettore quantità di moto \bar V:

 \bar  L = \bar  r \times \bar V = \bar  r \times m \bar  v

Il modulo di \bar  L è quindi definito da:

{L} = {{r} {mv}}\sin{\theta}\,

La direzione di \bar  L è perpendicolare al piano definito da \bar V e da \bar  r; il verso è quello di un osservatore che vede ruotare \bar V in senso antiorario. La grandezza {r}\sin{\theta}, distanza dell'asse di rotazione dalla retta su cui giace \bar V è detto braccio di \bar V.

Se \bar V e \bar  r sono tra loro perpendicolari il momento angolare è massimo e questo avviene quando \sin \theta = 1. Il momento angolare è nullo invece se la quantità di moto o il braccio sono nulli, oppure se \bar V è parallelo ad \bar  r, in tal caso infatti \sin \theta = 0.

Si definisce momento angolare assiale il momento angolare proiettato su un asse passante per il polo.

Il momento angolare nel SI si misura in kg·m²/s. Questa unità di misura coincide con la grandezza di un'azione (ovvero di un'energia per un tempo), anche se i significati di azione e momento angolare sono differenti. Poiché il prodotto di due variabili coniugate (ad esempio posizione e impulso) deve essere un'azione, questo ci dice che la variabile coniugata al momento angolare deve essere adimensionale (è infatti l'angolo di rotazione attorno al polo).

Equazioni del moto[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Equazioni cardinali dei sistemi.
Relazione tra forza (F), momento meccanico (τ), quantità di moto (p) e momento angolare (L) in un sistema rotante.

Per quanto riguarda la dinamica dei sistemi di punti materiali, il momento angolare è una caratteristica fondamentale del moto. Infatti se un punto materiale P si muove con quantità di moto: \bar V = m \bar  v, il momento angolare del punto rispetto a un polo O è dato da:

\bar  L = \bar  r(t) \times \bar  V(t)

se il polo O è in moto con velocità \bar  v_O, allora il momento angolare varia nel tempo:

\frac{d\bar  L}{dt}= \frac{d}{dt} \left(\bar  r(t) \times \bar V(t) \right) = \frac{d\bar  r}{dt} \times \bar V + \bar  r \times \frac{d \bar V}{dt}

dove \frac{d\bar  r}{dt} rappresenta la velocità relativa del punto P rispetto alla velocità di O, mentre \frac{d \bar V}{dt} per il secondo principio della dinamica rappresenta la forza totale risultante. Allora da questa equazione si ottiene la seconda equazione cardinale dei sistemi, infatti dalla

\frac{d\bar  L}{dt} = (\bar  v - \bar v_O) \times \bar V + \bar  r \times \bar  F = \bar  v \times \bar V - \bar  v_O \times \bar V + \bar  M_O

essendo nullo il prodotto vettoriale tra v e V (perché paralleli), si ottiene:

\bar  M_O = \frac{d\bar  L}{dt} + \bar  v_O \times \bar V

dove \bar  M_O = \bar  r \times \bar  F è il Momento meccanico polare.

Nei casi in cui:

  • il polo sia fermo
  • il polo coincida con il centro di massa
  • il polo si muova parallelamente alla traiettoria del centro di massa

allora ci si riconduce alla più familiare:

\bar  M = \frac{d\bar  L}{dt}

Momento angolare semplificato utilizzando il centro di massa[modifica | modifica wikitesto]

Spesso è conveniente considerare il momento angolare di un sistema discreto rispetto al proprio centro di massa, perché i calcoli ne risultano notevolmente semplificati. Il momento angolare di un insieme di punti materiali è la somma del momento angolare di ciascun punto:

\mathbf{L}=\sum_i ( \mathbf{r}_i\times m_i \mathbf{v}_i )

dove ri è il vettore posizione del punto i rispetto all'origine, mi è la sua massa, e vi è la sua velocità lineare. Il centro di massa è definito da:

\mathbf{R}=\frac{1}{M}\sum_i m_i \mathbf{r}_i

dove la massa totale di tutte le particelle è data da

M=\sum_i m_i.\,

Ne consegue che la velocità lineare del centro di massa è

\mathbf{V}=\frac{1}{M}\sum_i m_i \mathbf{v}_i.\,

Se si definiscono Ri il vettore posizione della particella i, e Vi la sua velocità rispetto al centro di massa, si ha

\mathbf{r}_i=\mathbf{R}+\mathbf{R}_i\,   e    \mathbf{v}_i=\mathbf{V}+\mathbf{V}_i\,

si può vedere che

\sum_i m_i \mathbf{R}_i=0\,   e    \sum_i m_i \mathbf{V}_i=0\,

cosicché il momento angolare totale rispetto all'origine è

\mathbf{L}=\sum_i \mathbf{r}_i\times m_i \mathbf{v}_i = \left(\mathbf{R}\times M\mathbf{V}\right) + \sum_i ( \mathbf{R}_i\times m_i \mathbf{V}_i ).

Il primo termine è semplicemente il momento angolare del centro di massa. È il medesimo momento angolare che si otterrebbe se ci fosse una sola particella di massa M, posta nel centro di massa, che si muove con velocità v . Il secondo termine è il momento angolare delle particelle relativamente al proprio centro di massa. Esso può essere ulteriormente semplificato se le particelle formano un corpo rigido, nel qual caso è il prodotto del momento di inerzia e della velocità angolare del moto rotatorio. Lo stesso risultato si ottiene se al sistema di punti materiali discreti esaminato sopra si sostituisce una distribuzione continua di massa.

Conservazione del momento angolare ed esempi[modifica | modifica wikitesto]

Il momento angolare è importante in tutti i moti dipendenti da variazioni che riguardano variabili angolari.

Inoltre resta fondamentale perché nei sistemi non soggetti a momenti di forze esterne, vale la legge di conservazione del momento angolare. La conservazione del momento angolare è fondamentale nello studio dei moti in campi di forze centrali, poiché è legata alla costanza della velocità areolare, come nello studio dei moti dei pianeti e dalle leggi di Keplero, e ancora allo studio del moto del pendolo.

Momento della forza[modifica | modifica wikitesto]

Il momento della forza è la derivata rispetto al tempo del momento angolare. Esso è uguale al prodotto vettoriale del braccio per la forza di cui si calcola il momento. Se nullo il momento angolare si conserva.


Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Altri progetti[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

Meccanica Portale Meccanica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di Meccanica