Spostamento virtuale

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Uno spostamento virtuale \delta \mathbf {r}_i di un punto materiale in moto nell'ambito di un sistema dotato di vincoli "è un cambiamento del sistema di coordinate assunto infinitesimo a tempo mantenuto costante. Lo spostamento è definito virtuale piuttosto che reale dato che nessuno spostamento può effettivamente avvenire a tempo costante"[1] In pratica, se i vincoli cui il punto materiale (o il punto dello spazio delle configurazioni) è sottoposto sono mobili, lo spostamento virtuale considera soltanto lo spostamento del punto sul vincolo così come questo è posizionato al tempo t, al contrario dello spostamento reale, che considera anche il moto del vincolo.

Caratterizzazione formale[modifica | modifica sorgente]

Il differenziale totale di un insieme di vettori posizione che caratterizzano il sistema, \mathbf {r}_i, che sono funzioni di altre variabili, \lbrace q_1, q_2, ..., q_m\rbrace, e del tempo, t può essere espresso come segue:[1]

d \mathbf{r}_i = \frac {\partial \mathbf {r}_i}{\partial t} d t + \sum_{j=1}^m \frac {\partial \mathbf {r}_i} {\partial q_j} d q_j

Se invece vogliamo lo spostamento virtuale allora[1]

\delta \mathbf{r}_i = \sum_{j=1}^m \frac {\partial \mathbf {r}_i} {\partial q_j} \delta q_j

Questa equazione è utilizzata nella meccanica lagrangiana per collegare le coordinate generalizzate, q_j, al lavoro virtuale, \delta W, e alle forze generalizzate, Q_j.

Nella meccanica analitica il concetto di spostamento virtuale, collegato al concetto di lavoro virtuale ha senso solo se applicato a un sistema fisico vincolato. Come caso particolare di spostamento infinitesimo (solitamente indicato d\mathbf{r}), uno spostamento virtuale (indicato \delta \mathbf{r}) è riferito a un cambiamento infinitesimo nella coordinate di posizione di un sistema così che le equazioni dei vincoli rimangano soddisfatte.

Per esempio, se un corpo è costretto a muoversi su una circonferenza verticale la sua posizione può essere rappresentata dalla coordinata \theta, che indica l'angolo a cui si trova il corpo. Se il corpo si trova al culmine della circonferenza alzarlo dalla sua quota z ad un'altezza z + dz comporta la messa in atto di uno spostamento infinitesimo, ma viola la equazioni di vincolo. Il solo spostamento virtuale possibile consiste nel muovere il corpo, che si trova in \theta, in una nuova posizione \theta + \delta\theta (dove \delta\theta può essere negativo o positivo).

Bisogna notare che uno spostamento virtuale è necessariamente spaziale. Il tempo, infatti, è fissato quando vengono eseguiti. Per questo quando si calcolano i differenziali virtuali di quantità che sono funzioni delle coordinate spaziali e delle temporali non si considera nessuna dipendenza dal tempo (formalmente si ha \delta t = 0).

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ a b c (EN) Bruce Torby, Energy Methods in Advanced Dynamics for Engineers, HRW Series in Mechanical Engineering, CBS College Publishing, 1984, ISBN ,0-03-063366-4.
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