Momento meccanico

Relazione tra la forza F, il momento meccanico τ, la quantità di moto p, e il momento angolare L in un sistema vincolato a ruotare in un piano (non sono considerate forza e momento meccanico gravitazionali e l'attrito).

Il momento meccanico, o momento torcente, indicato con $\bar{M}$ o, in ambito anglosassone, con $\bar{\tau}$ (dall'inglese torque), esprime l'attitudine di una forza a imprimere la rotazione ad un oggetto attorno ad un punto (nel piano) o ad un asse (nello spazio). Costituisce il momento vettoriale della forza.

L'unità di misura del momento meccanico nel SI è N·m o Nm (newton per metro), non il joule, anche se apparentemente ha le stesse dimensioni fisiche, in quanto trattandosi di un vettore non è un'energia.

L'analisi dei momenti meccanici determina la condizione di equilibrio dei corpi estesi e serve allo lo studio dei moti rotazionali, infatti compaiono nella seconda equazione di Eulero.

Momento meccanico polare

Il momento meccanico M rispetto al polo O

Il momento meccanico polare rispetto ad un determinato punto r detto polo o centro di riduzione è definito in meccanica newtoniana come il prodotto vettoriale tra il vettore posizione (rispetto al polo stesso) e la forza:

$\bar M(r) \stackrel{\mathrm{\Delta}}{=} \bar r \times \bar F$

Il modulo di M è quindi definito da

$M(r) = r F \, \mathrm{sen} \, \vartheta \, = F \, b$

Il vettore M è perpendicolare al piano definito da F e da r; il verso, come espresso dalla regola della mano destra, è quello di un osservatore che vede ruotare F in senso antiorario. La grandezza $r \mathrm{sen} \theta$, distanza dell'asse di rotazione dalla retta su cui giace F, è detta braccio b della forza F.

Se F ed r sono ortogonali tra loro, il braccio (vedi leva) si identifica con r, e il modulo del momento è massimo. Il momento può essere nullo se la forza o il braccio sono nulli, oppure se F è parallela a r.

Se il sistema è composto di più componenti puntiformi, il momento meccanico totale è la somma dei singoli momenti meccanici, ognuno dovuto alla forza sul singolo componente e al relativo braccio:

$\bar M = \sum_i m_i \, \bar r_{i} \times \hat n_i \ = \sum_i \bar r_{i} \times \bar F_i \;.$

Nei sistemi continui si estende in modo naturale la definizione introducendo la densità $\rho$ e il campo di accelerazioni $\hat n ( \bar r )$:

$\bar M = \int \rho(\bar r) \, \bar r \times \hat n ( \bar r ) \mathrm{d}V\;.$

Momento meccanico assiale

Il momento meccanico causato dalle due forze opposte F_g e −F_g causa una variazione del momento angolare L nella direzione 55. Questo induce nella cima una precessione.

Si definisce momento meccanico assiale di una forza rispetto ad un asse a passante per un punto O, il vettore:

$\bar M_a \stackrel{\mathrm{\Delta}}{=} ((\bar r \times \bar F) \cdot \hat a) \hat a$

dove $\hat n$ è un vettore di lunghezza unitaria (versore) che identifica l'asse. Il modulo sarà:

$M_n = |\bar M(r)| \cdot \cos \phi = r F \, \mathrm{sen} \, \vartheta \cos \phi = F b \cos \phi$

dove φ è l'angolo formato dal vettore momento polare M_Ω con l'asse n. In pratica è la proiezione ortogonale del momento polare sull'asse n. Per questo il momento assiale è nullo se l'angolo φ = π/2 e massimo quando l'asse a coincide con l'asse di M_Ω, in tal caso infatti: φ = 0.

Risultante

Il teorema di Varignon si applica al momento meccanico: il risultante dei momenti meccanici applicati in uno stesso punto nel caso polare o anche solo ugualmente distanti dallo stesso asse nel caso assiale, corrisponde al momento meccanico della risultante:

$\bar M = \sum_{n = 1}^N \bar M_n = \sum_{n = 1}^N (\bar{r}\times\bar{F}_n) = \bar{r}\times \sum_{n = 1}^N \bar{F}_n = \bar{r}\times \bar{F}$

Ciò risulta di particolare utilità nelle equazioni di Eulero.

Momento angolare

Per approfondire, vedi Momento angolare.

Il momento meccanico è pari alla variazione del momento angolare attorno allo stesso centro o asse del primo. Infatti da:

$\frac{d \bar r}{dt} \times \bar p = \bar v \times m \bar v = \bar 0,$

dove p è la quantità di moto, e v è la velocità del punto di applicazione, segue che:

$\bar M = \bar r \times \bar F = \bar r \times \frac{d \bar p}{dt} = \bar r \times \frac{d \bar p}{dt} + \frac{d \bar r}{dt} \times \bar p = \frac{d \bar (\bar r \times \bar p)}{dt} = \frac{d \bar L}{dt}$

dove L è il momento angolare del punto.

Tensore d'inerzia

Poiché il momento angolare risulta proporzionale alla velocità angolare ω attraverso il tensore d'inerzia I:

$\bar L = \bar \bar I \cdot \bar \omega$

Il momento meccanico, detta α l'accelerazione angolare, attraverso la relazione dimostrata nel precedente paragrafo risulta in generale:

$\bar M = \frac{d \bar L}{dt} = \frac{d \bar \bar \bar I \cdot \bar \omega}{dt} = \bar \bar I \cdot \frac{d \bar \omega}{dt} + \frac{d \bar \bar I}{dt} \cdot \omega = \bar \bar I \cdot \bar \alpha + (\bar \omega \times \bar \bar I) \cdot \omega$

Quest'ultima uguaglianza è valida secondo la relazione di Poisson: il prodotto vettoriale del prodotto triplo può essere convertito in prodotto ordinario servendosi della matrice antisimmetrica della velocità angolare (in analogia per esempio con la definizione del tensore di Kong), definita per esempio in uno spazio tridimensionale come:

$\bar \bar \Omega = \begin{bmatrix} 0 & -\omega_z & \omega_y\\ \omega_z & 0 & - \omega_x \\ - \omega_y & \omega_x & 0 \end{bmatrix}$

Risulta quindi che:

$\bar M = \bar \bar I \cdot \bar \alpha + \bar \bar \Omega \cdot \bar \bar I \cdot \omega$

Si nota allora che il momento meccanico ha in generale due componenti, una a velocità angolare nulla, l'altra ad accelerazione angolare nulla:

$\bar M|_{\omega = 0} = \bar \bar I \cdot \bar \alpha$

$\bar M|_{\alpha = 0} = \bar \bar \Omega \cdot \bar \bar I \cdot \omega$

$\bar M = \bar M|_{\omega = 0} + \bar M|_{\alpha = 0}$

Come esempio notevole si consideri un corpo è vincolato ad un asse fisso baricentrico in un riferimento in cui è inclinato come l'asse z, come per esempio una manovella:

$\bar \omega = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \omega \end{bmatrix}$

M risulta in generale:

$\bar M = \begin{bmatrix} I_{xx} & -I_{xy} & - I_{xz}\\ - I_{xy} & I_{yy} & - I_{yz} \\ - I_{xz} & - I_{yz} & I_{zz} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \dot \omega \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & -\omega & 0\\ \omega & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} I_{xx} & -I_{xy} & - I_{xz}\\ - I_{xy} & I_{yy} & - I_{yz} \\ - I_{xz} & - I_{yz} & I_{zz} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \omega \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} - I_{xz} \dot \omega + I_{yz} \omega^2\\ - I_{yz} \dot \omega - I_{xz} \omega^2\\ I_{zz} \dot \omega \end{bmatrix}$

Lavoro rotazionale

Il lavoro rotazionale, compiuto dal momento meccanico risulta essere:

$W = \int_{r_1}^{r_2} \bar{F} \cdot \mathrm{d}\bar{r} = \int_{r_1}^{r_2} \bar{F} \cdot (\mathrm{d} \bar{\theta} \times \bar{r})$$= \int_{\theta_1}^{\theta_2} (\bar{r} \times \bar{F}) \cdot \mathrm{d} \bar{\theta} = \int_{\theta_1}^{\theta_2} \bar{M} \cdot \mathrm{d}\bar{\theta},$

Come nel caso traslazionale, è possibile quindi per un momento compiere anche lavoro negativo (nel caso si opponga allo spostamento angolare reale), o nullo (nel caso sia normale allo spostamento angolare reale). Si notano qui le analogie con il lavoro traslazionale, che permetteranno l'unificazione lagrangiana di forza generalizzata.

Energia potenziale rotazionale

Un momento meccanico, analogamente ad una forza, può essere conservativo ed ammettere quindi un'energia potenziale in base al lemma di Poincaré:

$\nabla_\theta \times \bar M = 0 \rightarrow \bar M = \nabla_\theta U,$ dove $\nabla_\theta = (\frac {\partial}{\partial \theta}, \frac {\partial}{\partial \phi}, \frac {\partial}{\partial \psi})$

In tal caso essa risulta per un sistema ad un grado di libertà angolare:

$U(\theta)=-\int_{\theta_0}^\theta M(\xi )\mathrm{d}\xi + U(\theta_0),$

Il valore dell'energia potenziale in $\theta_0$ è definito arbitrariamente dal punto di vista matematico; si impone solitamente una condizione al contorno di Dirichlet, a non è applicabile la condizione di località dato che in generale l'energia potenziale rotazionale risulta sempre periodica nelle sue variabili angolari con periodo massimo 2π.

Infine nel caso più generale coi tre gradi di libertà rotazionali:

$U(\theta,\phi,\psi)=-\int_0^\theta \bar M(\tau, 0, 0)\cdot \bar e_1 d\tau -\int_0^\phi \bar M(\theta, \tau, 0) \cdot \bar e_2 d\tau -\int_0^\psi\bar M(\theta,\phi,\tau)\cdot \bar e_3 d\tau + cost$

Potenza rotazionale

La potenza rotazionale, posseduta dal momento meccanico risulta essere:

$P_\theta = \frac {\mathrm dW}{\mathrm dt} = \frac {\bar{M} \cdot \mathrm{d}\bar{\theta}}{\mathrm dt} = \bar{M} \cdot \bar{\omega},$

dove ω è la velocità angolare del punto.

Statica delle strutture

Rispetto ad una trave fissa un momento in generale è scomponibile in una componente normale ad essa, detto momento flettente, ed in una parte a lei parallela, detta momento torcente.

In particolare in una struttura planare su cui agiscano forze complanari ad essa i momenti sono di tipo flettente.

Voci correlate

• Coppia motrice
• Momento flettente
• Momento torcente
• Momento angolare
• Momento meccanico magnetico
• Momento meccanico elettrico

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