Ingranaggio

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Serie di ruote cilindriche a denti dritti in una macchina agricola

Un ingranaggio è un meccanismo utilizzato per trasmettere un momento meccanico da un oggetto ad un altro. Generalmente è costituito da due o più ruote dentate, che possono essere di uguale o diversa dimensione. La ruota più piccola è comunemente chiamata pignone, mentre la grande è chiamata corona.

Un ingranaggio settoriale è invece semplicemente un settore circolare di una ruota dentata comune, che lavora solamente sulla parte dentata ed è impiegata dove non è necessaria la rotazione continua col vantaggio di risparmiare peso e ingombro.

Caratteristiche[modifica | modifica sorgente]

Ruote di diversa dimensione sono spesso usate in coppia per aumentare il momento meccanico riducendo nel contempo la velocità angolare, o viceversa aumentare la velocità diminuendo il momento. È il principio alla base del cambio automobilistico.

\tau_{12} = \frac{\omega_2}{\omega_1} = \pm \frac{R_1}{R_2}

La trasmissione tra ruote non dentate avviene grazie all'attrito che si sviluppa nell'accoppiamento: si parla quindi di ruote di frizione. Perché essa avvenga è perciò necessario che la forza periferica imposta dal momento meccanico che si vuole trasmettere non superi l'attrito dell'accoppiamento. Per la trasmissione di potenze più elevate si ricorre allora a ruote dentate, cui d'ora in avanti ci si riferirà esclusivamente come ruote, che si suddividono in più famiglie a seconda della base della sezione (circolari e non), dell'andamento di tale sezione con la dimensione perpendicolare al piano di sezione (cilindriche, coniche, toroidali), del profilo dei denti (evolvente, spirale, profili corretti).

Le ruote dentate sono fabbricate per impronta con un'opportuna dentiera (cilindriche), o corona (coniche), oppure per intaglio da speciali macchine fresatrici, dette dentatrici. Per il montaggio sull'albero motore hanno solitamente una guida nel foro interno per la chiavetta di Woodruff, altrimenti, come negli ingranaggi del cambio, hanno delle scanalature per alberi a millerighe.

Disposizione della dentatura[modifica | modifica sorgente]

un ingranaggio a dentatura laterale

La dentatura di un ingranaggio può essere posta in vari modi:

  • esterna: questa è la disposizione classica di un ingranaggio; dà all'elemento una forma raggiata, con i denti rivolti verso l'esterno.
  • interna: questa disposizione lascia il bordo esterno liscio, mentre nella parte interna sono presenti gli ingranaggi, col vantaggio di avvicinare gli assi paralleli di corona e pignone. Per queste ruote si considera convenzionalmente negativo il diametro della corona, poiché in questo caso la velocità trasmessa è equiversa a quella conducente.
  • laterale: questa disposizione fa assumere all'ingranaggio una forma simile a una corona di un re.


Le ruote circolari[modifica | modifica sorgente]

Animazione delle forze normali in gioco in un ingranaggio circolare

Il profilo dei denti delle ruote a sezione (lungo un piano perpendicolare all'asse di trasmissione) a base circolare più impiegato per semplicità di lavorazione è ad evolvente di cerchio, tecnicamente chiamato base; tale soluzione assicura un rotolamento senza strisciamento reciproco tra le due ruote, che minimizza usura, vibrazioni e rumore e massimizza il rendimento. Le primitive del moto sono invece più grandi e concentriche alle rispettive basi, e tangenti tra loro per definizione nel centro di istantanea rotazione C, che viene fatto coincidere col punto di contatto tra i denti per impedire lo strisciamento: per definizione dipendono dall'interasse delle ruote (distanza tra i centri delle due ruote), al contrario delle basi.

Vi sono due tangenti alle due basi passanti per C: a seconda della direzione del moto di rotazione relativa fra le due ruote, si individua quale delle due è la retta di contatto. In assenza di attrito la direzione lungo la quale i profili dei denti si toccano durante l'ingranamento, scambiandosi la mutua sollecitazione, coincide con essa. L'arco di primitiva e il segmento di retta d'azione corrispondenti alla rotazione delle due primitive, durante la quale si ha almeno una coppia di denti in presa, sono detti rispettivamente arco e segmento d'azione. Quest'ultimo è rappresentato in figura dalla porzione di segmento blu compresa tra la posizione occupata all'accesso e quella occupata al recesso del contatto tra due denti coniugati (rispettivamente dove il punto inizia e dove finisce il suo moto periodico).

Rapporto di trasmissione[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Rapporto di trasmissione.

Detto l'angolo (in C) fra la retta di contatto e la tangente alle due primitive angolo di pressione  \alpha , i raggi delle due circonferenze sono legati dalla relazione \ R \cos \alpha = \rho raggio circonferenza di base, R raggio primitiva. Perciò il rapporto di trasmissione dipende unicamente dalle basi, ed è indipendente dall'interasse:  \tau_{12} = \frac{ R_1}{ R_2} = \frac{\rho_1}{\rho_2}

La distanza fra due punti omologhi di due denti consecutivi, misurata lungo una circonferenza, è denominata passo della dentatura, suddivisa in vano e spessore del dente. Per poter ingranare correttamente, due ruote dentate devono avere lo stesso passo sulle primitive: il rapporto di trasmissione risulta allora inversamente proporzionale al rapporto tra il numero dei rispettivi denti:[1]

\tau_{12} = \pm \frac{z_1}{z_2}

Il segno negativo o positivo indica rispettivamente la concordanza o discordanza del senso di rotazione della ruota condotta nei confronti di quella motrice.

Momento meccanico e rendimento meccanico[modifica | modifica sorgente]

Poiché una serie di ingranaggi non è un amplificatore né un servosistema, la legge di conservazione dell'energia impone che la potenza in uscita dal sistema sia minore di quella entrante, per via delle perdite per attrito.

Perciò in caso di assenza di attrito la potenza entrante è uguale a quella uscente, il rendimento è unitario \eta=1 ed il rapporto tra le velocità angolari degli ingranaggi (ingresso/uscita) è pari a quello dei momenti necessari ad azionarli (uscita/ingresso):

\tau_{12}=\tau = \frac{\omega_2}{\omega_1} = \frac{M_1}{M_2} =\tau_m = \pm \frac{R_1}{R_2}

Tuttavia in generale ci sono perdite per attrito ed il rendimento risulta inferiore a 1. Il rendimento meccanico di un sistema è pari al rapporto tra la potenza uscente e quella entrante \eta=W_u/W_e , nel nostro caso  W_u=\omega_1 M_1,\ W_e=\omega_2 M_2 e quindi in generale la coppia disponibile in uscita sarà più bassa di quella del caso ideale senza perdite:

 \tau_m=\tau \eta  con \eta<1
\tau=\frac{\omega_2}{\omega_1}=\frac{R_1}{R_2}
\tau_m=\frac{M_1}{M_2}=\eta \frac{R_1}{R_2} =\eta \tau

Data la presenza dell'attrito il momento motore sulle ruote 1 e 2 si calcolano come segue. Detto f il coefficiente d'attrito cinetico, s la distanza tra il punto di contatto P e il centro di istantanea rotazione C e N_{12} la forza scambiata fra i denti, si ha nella fase di recesso (fase finale del contatto tra denti):

M_1 = N_{12} R_1 \cos(\alpha) + f N_{12} (R_1 \sin(\alpha) - s)
M_2 = N_{12} R_2 \cos(\alpha) + f N_{12} (R_2 \sin(\alpha) + s)

Quindi, ricorrendo ai raggi primitivi \rho=R \cos(\alpha), il rapporto di trasmissione dei momenti che dipende dal rendimento meccanico dell'ingranaggio vale:

\tau_m = \frac{M_1}{M_2} = \frac{R_1 \cos(\alpha) + f (R_1 \sin(\alpha) - s)}{R_2 \cos(\alpha) + f (R_2 \sin(\alpha) + s)} = \frac{\rho_1}{\rho_2} \frac{1 + f \tan(\alpha) - f \frac{s}{\rho_1}}{ 1 + f \tan(\alpha) + f \frac{s}{\rho_2}} = \tau \frac{1 + f \tan(\alpha) - f \frac{s}{\rho_1}}{ 1 + f \tan(\alpha) + f \frac{s}{\rho_2}}

e quindi (in recesso):

 \eta= \frac{1 + f \tan(\alpha) - f \frac{s }{\rho_1}}{ 1 + f \tan(\alpha) + f \frac{s}{\rho_2}}

Questi risultati dipendendono dall'attrito, dall'angolo di pressione e dai raggiR_1, R_2, \rho_1, \rho_2.

Ciononostante, per fattori d'attrito bassi come nel caso di una corretta lubrificazione, si possono trascurarne i termini quadratici in f:

\tau_m = \tau \frac{(1 + f \tan \alpha - f \frac{s }{\rho_1})(1 - f \tan \alpha - f \frac{s }{\rho_2})}{(1 - f^2 \tan^2 \alpha - f^2 \frac{s^2 }{\rho_2^2}-2f^2\tan\alpha\frac{s}{\rho_2})} = \tau \frac{(1 + f \tan \alpha - \frac{fs}{\rho_1} )(1 - f \tan{\alpha} - \frac{f s}{\rho_2} )}{(1 - f^2 \tan^2 \alpha - f^2 \frac{s^2 }{\rho_2^2}-2f^2\tan\alpha\frac{s}{\rho_2})} ~  \tau (1 - f s (\frac{1}{\rho_1} + \frac{1}{\rho_2}) ) =
\tau_m ~  \frac{\rho_1}{\rho_2} (1 - f s (\frac{\rho_1 + \rho_2}{\rho_1 \rho_2})
\eta ~ (1 - f s (\frac{\rho_1 + \rho_2}{\rho_1 \rho_2}))=(1 - \frac{f s}{\cos(\alpha)} (\frac{R_1 + R_2}{R_1 R_2}))

Invece durante la fase di accesso (inizio contatto tra i denti) si ottiene:

\tau_m = \frac{M_1}{M_2} = \frac{R_1 \cos(\alpha) - f (R_1 \sin(\alpha) + s)}{R_2 \cos(\alpha) - f (R_2 \sin(\alpha) - s)} = \frac{\rho_1}{\rho_2} \frac{1 - f \tan(\alpha) - f \frac{s}{\rho_1}}{ 1 - f \tan(\alpha) + f \frac{s}{\rho_2}} = \tau \frac{1 - f \tan(\alpha) - f \frac{s}{\rho_1}}{ 1 - f \tan(\alpha) + f \frac{s}{\rho_2}}

e quindi (in accesso):

 \eta= \frac{1 - f \tan(\alpha) - f \frac{s }{\rho_1}}{ 1 - f \tan(\alpha) + f \frac{s}{\rho_2}}

e quindi anche in questo caso

 \eta ~ (1 - f s (\frac{\rho_1 + \rho_2}{\rho_1 \rho_2}))=(1 - \frac{f s}{\cos(\alpha)} (\frac{R_1 + R_2}{R_1 R_2}))

introducendo il valore dell'interasse I=R_1+R_2 si ottiene:

 \eta ~ (1 - f s (\frac{\rho_1 + \rho_2}{\rho_1 \rho_2}))=(1 - \frac{f s}{\cos(\alpha)} \frac{(\tau+1)^2}{I \tau})


ove  s varia durante il contatto ed occorre quindi assumere un valore medio.

Da questa approssimazione, ma anche dalla relazione esatta precedente, risulta chiaro come ad attrito basso, aumentando il numero dei denti e l'interasse (dimensioni globali) e aumentando l'angolo di pressione, il rapporto di trasmissione dei momenti tende al rapporto di trasmissione delle velocità, e le ruote dentate tendono a ruote di frizione, infatti:

\forall \alpha  I_{(\frac {\pi}{2})} \quad : \quad \tau_m ~  \frac{\rho_1}{\rho_2} (1 - f s \alpha (\frac{\rho_1 + \rho_2}{\rho_1 \rho_2}))

Proporzionamento della dentatura[modifica | modifica sorgente]

I denti, che sono superfici coniugate, cioè superfici continuamente a contatto durante l'ingranamento, si sviluppano in direzione radiale, a cavallo della superficie primitiva. Si definisce testa del dente la parte sporgente da questa, mentre la parte rientrante è chiamata base del dente. Ciascuna delle superfici laterali del dente è denominata profilo. Esso è suddiviso in due porzioni dalla circonferenza di primitiva: quella esterna ad essa si chiama costa, quella posta all'interno si chiama fianco.

Si definisce profilo efficace, la porzione del profilo che partecipa al contatto fra i denti dell'accoppiamento e costruito secondo le regole dei profili coniugati. Esso è compreso fra la circonferenza di troncatura interna e la circonferenza di troncatura esterna. Il dente è prolungato oltre la troncatura esterna fino alla circonferenza di testa, una smussatura che non partecipa al contatto e ha lo scopo di facilitare l'imbocco di una coppia di denti in presa, ed evitare rigature. Il dente si prolunga, inoltre, anche al di sotto della troncatura interna, con un raccordo fino alla circonferenza di piede, realizzato con profilo tale da evitare fenomeni di interferenza dell'accoppiamento.[2]

Il profilo di un dente può essere considerato diviso in due parti: si definisce addendum, la distanza presa in direzione radiale fra la primitiva e la testa, quella cioè che, come abbiamo visto, delimita il dente superiormente; dedendum, la distanza, anch'essa radiale, fra la primitiva e il piede, che delimita il dente inferiormente. La somma di queste due grandezze, costituisce l'altezza del dente. Per poter costituire un accoppiamento, i denti di due ruote coniugate dovranno avere la stessa altezza, mentre queste due grandezze possono invece essere per esse differenti. (questo vale per ruote esterne, per ruote interne l'addendum è interno alla primitiva, e il dedendum esterno ad essa).[3]

Ruota cilindrica dritta[modifica | modifica sorgente]

Gears animation.gif

Il tipo più comune di ingranaggio è quello a denti dritti, che si possono considerare generati dalla protrusione di una sezione lungo un asse perpendicolare al piano stesso. La ruota dentata risulta perciò piatta, l'asse dei denti si proietta radialmente dal centro di rotazione dell'ingranaggio e le creste dei denti decorrono trasversalmente al piano di rotazione e parallelamente tra loro. Soffrono del problema del gioco:

quando la rotazione avviene in un senso, un dente spinge contro un lato del corrispondente dente dell'altra ruota; se la rotazione si inverte, la faccia opposta deve spingere sulla corrispondente e questo comporta un momento in cui i denti si spostano senza trasmettere movimento. Questo comporta che per un attimo dopo avere applicato rotazione in entrata non si ha rotazione in uscita.

Rack and pinion animation.gif

La cremagliera (o dentiera) è una ruota cilindrica degenere, utilizzata in coppia con un'altra non degenere che avendo raggio minore del suo (che è considerabile infinito) fa sempre da pignone (o rocchetto): il sistema permette la conversione reciproca tra rotazione e traslazione. La velocità v con la quale la cremagliera trasla è infatti uguale a quella di un punto della primitiva della ruota dentata che la muove; inoltre i fianchi dei denti di una cremagliera sono costituiti da segmenti di retta inclinati, rispetto alla verticale di un angolo pari all'angolo di spinta, mentre i fianchi dei denti della ruota dentata sono ad "evolvente".

Questo sistema è usato nelle automobili per convertire la rotazione dello sterzo in moto lineare laterale degli organi che agiscono sulle ruote e nella ferrovia a cremagliera, in cui i treni sono in grado di risalire forti pendenze grazie al contatto tra una ruota dentata sporgente sotto il locomotore ed una lunga cremagliera solidale al binario, posta in mezzo alle rotaie dello stesso.

Ruota cilindrica elicoidale[modifica | modifica sorgente]

Animazione di una coppia d'ingranaggi elicoidali
Albero con ingranaggio elicoidale

La ruota elicoidale è un miglioramento rispetto a quella semplice. I denti sono tagliati con un certo angolo rispetto al piano, in modo che la superficie di spinta tra i denti sia maggiore e il contatto avvenga più dolcemente, eliminando lo stridore caratteristico degli ingranaggi semplici.

Progettando opportunamente l'angolo dei denti, è possibile accoppiare ingranaggi con gli assi sghembi o anche perpendicolari.

Lo svantaggio di questa soluzione è la produzione di una forza risultante lungo l'asse dell'ingranaggio, che deve essere sostenuta da un apposito cuscinetto a sfere. Un altro svantaggio è un maggiore attrito tra i denti causato dalla maggiore superficie di contatto, che deve essere ridotto con l'uso di lubrificanti (molto spesso, infatti, si trovano immersi in un bagno d'olio: come nel cambio)

Vite ad evolvente[modifica | modifica sorgente]

Riduttore di velocità con vite senza fine e corona dentata
Animazione di una vite senza fine e corona dentata

La "vite ad evolvente" è una ruota cilindrica elicoidale con angolo d'elica molto grande, solitamente compreso tra i 70° e gli 85°[4], e perciò ha un basso numero di denti, chiamati princìpi. Viene definita spesso vite senza fine perché la sua rotazione ha il solo scopo di essere trasmessa, come in tutte le ruote dentate. L'accoppiamento "vite senza fine-corona cilindrica elicoidale" ha lo scopo di trasferire moto e momento meccanico con elevato rapporto tra due assi perpendicolari non intersecantisi. Influiscono su questo rapporto l'inclinazione del filetto della vite e il numero dei denti (Z) della corona. La trasmissione del movimento è di norma dato dalla vite (ed è definita "conduttrice") e questo permette di mantenere una situazione statica all'uscita del sistema. Tuttavia esistono accoppiamenti dove la vite e la corona hanno una inclinazione del filetto e dei denti (Z) tale da permettere la reversibilità. Vale a dire la possibilità di avere anche la corona dentata come "conduttrice", in grado cioè di trasmettere il movimento alla vite. Uno svantaggio di questo meccanismo è che ha rendimento <0,5, quindi per particolari angoli di elica, l'accoppiamento potrebbe risultare irreversibile, in parole povere: "la ruota non può muovere la vite". Il rendimento è basso perché si hanno molti strisciamenti e quindi c'è un'elevata usura, e quindi il dispositivo va regolato nel tempo. Per tale motivo i materiali utilizzati sono acciaio su bronzo.

Ruota cilindrica a doppia elica o bielicoidale (cuspide)[modifica | modifica sorgente]

Ingranaggi a doppia elica

L'ingranaggio a doppia elica supera il problema precedentemente accennato grazie all'uso di denti con cresta a forma di V. Si può immaginare questo ingranaggio come costituito da due ruote elicoidali distinte affiancate specularmente, in modo che le forze assiali si annullino vicendevolmente.

Il simbolo della Citroën rappresenta appunto la V della ruota dentata a doppia elica, inventata da André Citroën.

Ruota cilindrica cicloidale[modifica | modifica sorgente]

Disegno a visione frontale di un ingranaggio cicloidale

Questo tipo di ruota, conosciuta anche come "a linea d'imbocco circolare" è del tutto simile al bielicoidale, ma differisce da questo perché il profilo dei denti non è rettilineo, ma curvilineo.

Ruote coniche[modifica | modifica sorgente]

Coppia d'ingranaggi conici

Nelle ruote coniche la corona della ruota è smussata e le creste dei denti giacciono sulla superficie di un cono ideale. In questo modo due ingranaggi possono essere affiancati con un certo angolo tra gli assi. Se l'inclinazione dei denti di ciascuna ruota è di 45°, l'angolo tra gli assi è di 90°. Questo sistema è usato per esempio tra planetari e satelliti nel differenziale delle automobili.

Corona ipoide e pignone[modifica | modifica sorgente]

Coppia d'ingranaggi ipoidi
Schema d'ingranaggi ipoidi

La corona ipoide è un particolare ingranaggio conico in cui i denti sono ruotati fino a diventare paralleli al piano di rotazione della ruota. Si ingrana con un pignone a denti paralleli o elicoidali di piccole dimensioni, questa soluzione è utilizzata nella smerigliatrice angolare.

Una variante di questo sistema è usata in diversi sistemi di scappamento per orologi meccanici.

Un'altra variante, la coppia conica ipoide, è formata da una corona ed un pignone (con denti a spirale) i cui assi non giacciono sullo stesso piano. Per questo motivo l'angolo medio della spirale della corona è molto inferiore a quello del pignone. Tale coppia conica è stata introdotta nel campo dell'autotrazione per molti pregi: è più silenziosa, trasmette più momento meccanico avendo più ricoprimento tra i denti di entrambi i membri, permette di ridurre l'altezza del tunnel dove corre l'albero di trasmissione del moto dal motore anteriore al ponte posteriore aumentando l'abitabilità del mezzo, aumentando nel contempo la luce tra il terreno e la scatola del differenziale.

Ingranaggi non circolari[modifica | modifica sorgente]

Animazione dettagliata di un ingranaggio non circolare

Gli ingranaggi non circolari sono ingranaggi speciali appositamente progettati per particolari impieghi. Mentre in un ingranaggio normale si cerca di massimizzare la trasmissione di energia con un rapporto costante, in un ingranaggio non circolare l'obiettivo è di avere un rapporto di trasmissione variabile durante la rotazione oppure lo spostamento dell'asse o altre funzioni. La sagoma dell'ingranaggio può essere di qualunque forma adatta allo scopo, limitatamente all'immaginazione dell'inventore o dell'ingegnere. Ruote con minime variazioni di rapporto possono avere forma quasi circolare, oppure l'asse può non corrispondere con il centro geometrico della ruota.

Normalmente sono usati per questi ingranaggi i denti paralleli, a causa in particolare della complicazione del moto. La fabbricazione non avviene come per i normali ingranaggi per fresatura, ma in genere per fusione, sinterizzazione o taglio da una lastra (al plasma o laser).

L'impiego si ha in particolare in macchine tessili e cambi automatici.

Sistemi epicicloidali[modifica | modifica sorgente]

Una serie di ingranaggi epicicloidali è usata in questa illustrazione per aumentare la velocità. Il planetario porta-satelliti (verde) è messo in rotazione da un momento entrante, il pignone solare (giallo) costituisce l'uscita, mentre la corona internamente dentata (in rosso) è fissa. Si notino i segni rossi prima e dopo che l'ingresso ha subito una rotazione di 45° in senso orario

Quando almeno uno degli assi delle ruote non è fisso, a differenza del caso dei rotismi ordinari, si ha un rotismo epicicloidale.

I treni di ingranaggi epicicloidali o a planetario e satelliti costituiscono un sistema di uno o più ingranaggi chiamati satelliti, montati su un organo porta-satelliti chiamato portatreno (o anche planetario), che ruotano intorno ad un pignone centrale anche detto solare; il tutto è posto all'interno di una ruota dentata internamente detta corona. L'asse di rotazione del portatreno e del solare coincidono. Uno di questi elementi è mantenuto fisso, un altro costituisce l'ingresso e il terzo l'uscita. Il rapporto di trasmissione è determinato dal numero dei denti ma anche da quale elemento è fisso, e questo è sfruttato in alcuni tipi di cambi di velocità. Il nome deriva dal fatto che il movimento degli ingranaggi satelliti è simile a quello che si supponeva avessero i pianeti del sistema solare nel sistema tolemaico, in cui si ipotizzava l'esistenza di moti detti epicicli.

Situazione in cui il planetario è fermo (per il particolare esempio considerato)

Esempio[modifica | modifica sorgente]

Un caso si ha quando il portatreno (in verde nell'illustrazione a lato) è fermo e il pignone (giallo) costituisce l'ingresso. I satelliti (blu) ruotano con un rapporto determinato dal numero di denti in ogni ruota. Se il pignone ha S denti (Solare) e ogni satellite P denti (Portatreno), il rapporto è uguale a -S/P. Nell'illustrazione il rapporto è -24/16 ovvero -3/2: ogni rotazione del pignone S produce una rotazione e mezza dei satelliti in direzione opposta. Se all'esterno viene applicata una corona con C denti, questa ruoterà P/C volte la rotazione dei satelliti. Poiché la rotazione dei satelliti è -S/P la rotazione del pignone, ne consegue che il rapporto tra corona e pignone è pari a: -S/C.

Un'altra possibilità è che la corona sia fissa, con l'ingresso applicato al portatreno (planetario) e l'uscita sul pignone. Questa configurazione produce un incremento di velocità con rapporto 1+C/S - (1+Corona/Pignone).

Se invece è mantenuta ferma la corona e applicato l'ingresso al pignone, il portatreno (planetario) costituisce l'uscita, ed il rapporto è 1/(1+C/S) cioè 1/(1+Corona/Pignone). Questo è il massimo rapporto ottenibile da un sistema epicicloidale, ed è spesso usato in trattori e macchine edili per fornire un momento meccanico molto elevato alle ruote.

Infatti, se ipotizziamo di applicare al rotismo una velocità angolare -  \omega_ p di verso opposto a quella del portatreno (planetario), si ha che, in questo modo, quest'ultimo avrà velocità angolare nulla, con la conseguenza che il rotismo epicicloidale è adesso ordinario. Il calcolo del rapporto di trasmissione  \tau _0  del rotismo reso ordinario, porta alla formula di Willis:[5]

  \tau _0 = \frac{\omega_ 3 - \omega_ p }{\omega_ 1 - \omega_ p }

avendo numerato le ruote col criterio:

  • 1 sia il pignone, avente S denti (Solare)
  • 2 sia il generico satellite, avente P denti (Portatreno o Planetario)
  • 3 sia la corona (unica ruota a dentatura interna), avente C denti

ed avendo scritto la formula di Willis considerando il moto entrante da 1 ed uscente da 3, allo stesso modo per il rapporto di trasmissione del rotismo reso ordinario, vale che:

  \tau _0 = - \frac{S}{C}

avendo messo a numeratore il numero di denti della ruota in cui il moto è entrante e considerando segno negativo poiché i versi di rotazione del pignone e della corona sono discordi.

Nell'ipotesi di corona fissa, e moto uscente dal pignone, si ha di conseguenza:

 \frac{ \omega_ 1 }{ \omega_ p } = 1 - \frac{1}{\tau _0} = 1+\frac{C}{S}

avendo, questa volta, la velocità angolare del pignone a numeratore, nel calcolo del rapporto di trasmissione del rotismo epicicloidale, in quanto si sta considerando il moto uscente dal pignone.

Nel caso in cui, invece, il moto entra dal pignone, si ha che l'espressione:

  \tau _0 = - \frac{S}{C}

resta invariata, mentre si ha:

 \frac{ \omega_ p }{ \omega_ 1 } = \frac{\tau _0}{\tau _0  - 1} = \frac{1}{1+  \frac{C}{S} }

espressione con a denominatore la velocità angolare del pignone, poiché il moto è entrante da esso.

Diverse unità epicicloidali possono essere collegate in serie, con ogni planetario solidale con il pignone successivo (tranne ovviamente il primo e l'ultimo elemento). Si realizza così un gruppo motoriduttore (in diminuzione o in aumento) compatto, con rapporti molto elevati e con gli alberi di ingresso e uscita allineati.

Un sistema di cambio di velocità epicicloidale è utilizzato in alcune biciclette al posto del più comune cambio a deragliamento.

Casi particolari della formula di Willis[modifica | modifica sorgente]

  • il solare sia fisso (  \omega_ 1 = 0 ), di conseguenza:

  \tau _0 =  \frac{\omega_ n - \omega_ p }{- \omega_ p } ;

  \tau _0 = \frac{\omega_ p - \omega_ n }{ \omega_ p } ;

  \frac{\omega_ n }{ \omega_ p}  =1- \tau _0

  • la corona sia fissa (  \omega_ 3 = 0 ), e si ha:

 \tau _0 = \frac{ -\omega_ p }{\omega_ 1 - \omega_ p } ;

 \frac{ \omega_ p - \omega_ 1 }{ \omega_ p }  = \frac{1}{ \tau _0} ;

 \frac{ \omega_ 1 }{ \omega_ p } = 1 - \frac{1}{\tau _0}

  • se il portatreno è fisso, si ha il caso di un rotismo ordinario.

Modulo[modifica | modifica sorgente]

Il modulo m di una ruota dentata viene definito come il rapporto tra il diametro primitivo 2R, e il numero di denti z:

 m =  \frac{2R}{z}

ed è il parametro su cui si basa il dimensionamento dei denti della ruota stessa. Il passo della ruota, distanza tra due profili omologhi consecutivi misurata lungo la primitiva, è conseguentemente funzione del modulo esso è infatti:

p = m \pi = \frac{2 \pi R}{z}

Dal modulo dipende, ancora più nello specifico, l'altezza del dente, infatti questo presenta un'altezza totale pari ad h=2.25m, così suddivisa:

  • addendum e = m
  • dedendum i = 1,25 \cdot \ m

Danni[modifica | modifica sorgente]

Corona ipoide con denti rotti
Ruote cilindriche dritte con ruggine

Gli ingranaggi possono incorrere a diversi danni a loro carico:

  • Ruggine, si genera con l'avanzare del tempo e il non utilizzo, viene accentuata in caso d'esposizione all'aria o acqua.
  • Usura, si ha con il normale utilizzo e viene accelerata se si lavora in privazione di lubrificanti
  • Ammaccatura, l'ingranaggio si trova ad avere uno o più denti leggermente deformati, per via di un carico eccessivo
  • Frattura dei denti, l'ingranaggio si ritrova ad avere uno o più denti in meno, saltati per via di difetti di produzione, per un eccessivo carico, ma più spesso per sollecitazione a fatica

Utilizzo[modifica | modifica sorgente]

Ruota cilindrica dritta per uso estetico

L'ingranaggio viene utilizzato per il trasporto dell'energia e per modificare il rapporto di trasmissione, ma negli ultimi anni si stanno utilizzando questi ingranaggi anche per i gioielli. Una ruota cilindrica dritta appare inoltre sull'emblema della Repubblica Italiana come simbolo del lavoro su cui si basa la Repubblica.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ Arduino, op. cit., p. 577
  2. ^ Giovannozzi, op. cit., p. 5
  3. ^ G. Jacazio, op. cit., p. 77
  4. ^ Funaioli, Maggiore, Meneghetti, Meccanica Applicata alle Macchine, vol. I p. 226
  5. ^ Jacazio, op. cit., p. 167

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • Gianni Arduino, Renata Moggi, Educazione tecnica, 1ª ed., Lattes, 1990.
  • R. Giovannozzi, Costruzione di macchine, Vol. 2, Pàtron Editore, 1965.
  • G. Jacazio, B. Piombo, Meccanica applicata alle macchine, Vol. 2, Levrotto & Bella Editore, 1992.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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