Cicloide

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In geometria, la cicloide (dal greco kykloeidés, kýklos 'cerchio' e -oeidés 'forma', cioè che è fatto da un cerchio) è una curva piana appartenente alla categoria delle roulette. Essa è la curva tracciata da un punto fisso su una circonferenza che rotola lungo una retta; in pratica il disegno composto da un punto su una ruota di bicicletta in movimento.

Una cicloide (in rosso) generata da una circonferenza (in blu) che rotola su di una retta.

La cicloide fu studiata per la prima volta da Nicola Cusano e ricevette il suo nome nel 1599 da Galileo. Si dedicarono allo studio di questa curva anche (tra i più celebri) Torricelli, Fermat, Cartesio, Huygens e Johann Bernoulli.

Indice

[modifica] Proprietà geometriche


[modifica] Relazioni con la circonferenza

le dimensioni di una cicloide sono strettamente legate a quella della circonferenza generatrice:

  1. L'altezza massima dell'arco è pari al suo diametro
  2. La lunghezza di un arco di cicloide è 4 volte il diametro[1], ovvero l'altezza 4h
  3. La base sottostante l'arco è pari al circonferenza[2], ovvero πh
  4. L'area compresa fra un arco di cicloide e la base è 3 volte l'area del cerchio

[modifica] Area

L'area sottostante la cicloide è pari a 3 volte l'area del cerchio generatore; tale equivalenza era già sospettata da Galileo, il quale la riscontro, non riuscendo a misurare per via teorica l'area, per via fisica, pesando materialmente dei pezzi di metallo ritagliati secondo la sagoma della curva e della circonferenza generatrice[3]. Galileo riscontrò, così, per via empirica che il rapporto doveva essere prossimo a 3:1, ma rifiutò la sua prima intuizione forse ritenendo tale rapporto troppo semplice[4], e anzi si convinse persino dell'erroneità della sua prima impressione dopo un serie di errori accidentali in successivi studi e misurazioni.

L'esattezza della relazione tra le due aree fu invece dimostrata, dopo la sua morte, dall'allievo Torricelli e, quasi contemporaneamente da altri matematici, tra cui Robeval. È possibile offrire la facile dimostrazione data da Torricelli attraverso il metodo degli infinitesimi

[modifica] Forma matematica

In rappresentazione parametrica la cicloide passante per l'origine generata da un cerchio di raggio r è data da:

\left\{ \, \begin{matrix} x = r \left ( t - \sin t \right ) \\ y = r \left ( 1 - \cos t \right ) \end{matrix} \right. .

La cicloide è una funzione continua ed è differenziabile ovunque tranne sulle cuspidi. Dove è differenziabile soddisfa l'equazione differenziale

\left ( \frac {d y}{d x} \right )^2 = \frac {2 r - y}{y}.

È anche possibile scrivere l'equazione parametrica della trocoide, descritta da un punto rigidamente collegato al cerchio ma non necessariamente collocato sulla circonferenza. Se il raggio del cerchio è r e la distanza dal centro del punto considerato è d avremo:

\left\{ \, \begin{matrix} x = rt - d \sin t \\ y = r - d \cos t \end{matrix} \right. .

Infatti se d = r si ottiene l'equazione della cicloide, che ne costituisce un caso particolare. La trocoide con d > r (punto esterno al cerchio) è detta allungata, mentre quella con d < r (punto interno) è detta accorciata.


L'equazione cartesiana di una cicloide è data da:

x= \sqrt{y(2 r-y)}+r \text{ArcCos}\left[1-\frac{y}{r}\right]

[modifica] Area

L'elemento infinitesimale di area è pari a:

dA=\left|x(t)\frac{dy(t)}{dt}-\frac{dx(t)}{dt}y(t)\right|dt=r^2 \left|(-2+2 \cos t+t \sin t)\right|dt

da cui, l'area sotto un solo arco è:

A=r^2\int_{0}^{2\pi}\left|(-2+2 \cos t+t \sin t)\right|dt= r^2 \left|-2 t - t\cos t + 3\sin t \right|=r^23\pi

[modifica] Proprietà

La sua lunghezza d'arco è pari a:

l(t)=4 8r\sin^2\left(\frac{1}{4}t\right)

quindi la lunghezza del primo arco è

l(2\pi)=8r\frac{}{}

La curvatura è:

K(t)=-\frac{\csc \left(\frac{t}{2}\right)}{4 \sqrt{r^2}}

[modifica] Note

  1. ^ Questa proprietà fu dimostrata da Christopher Wren nel 1658, consecutivamente ad una sfida lanciata dal Pascal a gli altri matematici dell'epoca
  2. ^ Questa semplice e forse banale proprietà fu la prima formalizzata da padre Mersenne
  3. ^ Premessa di La cicloide, la bella Elena della matematica
  4. ^ Benché allora non fosse ancora nota la trascendenza del π, erano già largamente note le difficoltà circa la sua approssimazione e anche riguardanti la quadratura del cerchio; non dovono quindi stupire le perplessità del matematico pisano posto dinanzi a un numero così "tondo"

[modifica] Voci correlate

[modifica] Collegamenti esterni

(EN) la cicloide su MathWorld


Estratto da "http://it.wikipedia.org/wiki/Cicloide"
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