Cicloide

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

In geometria, la cicloide (dal greco kykloeidés, kýklos "cerchio" e -oeidés 'forma', cioè che è fatto da un cerchio) è una curva piana appartenente alla categoria delle rullette. Essa è la curva tracciata da un punto fisso su una circonferenza che rotola lungo una retta; in pratica il disegno composto da un punto su una ruota di bicicletta in movimento.

Una cicloide (in rosso) è generata da un punto su una circonferenza (in blu) che rotola su di una retta.

La cicloide fu studiata per la prima volta da Nicola Cusano e ricevette il suo nome nel 1599 da Galileo. Si dedicarono allo studio di questa curva anche Torricelli, Fermat, Cartesio, Huygens, Bernoulli e Newton.

Proprietà geometriche[modifica | modifica sorgente]

Relazioni con la circonferenza[modifica | modifica sorgente]

Le dimensioni di una cicloide sono strettamente legate a quella della circonferenza generatrice:

  1. L'altezza massima dell'arco è pari al suo diametro
  2. La lunghezza di un arco di cicloide è 4 volte il diametro[1], ovvero l'altezza 4h
  3. La base sottostante l'arco è pari alla circonferenza[2], ovvero πh
  4. L'area compresa fra un arco di cicloide e la base è 3 volte l'area del cerchio

Area[modifica | modifica sorgente]

L'area sottostante la cicloide è pari a 3 volte l'area del cerchio generatore; tale equivalenza era già sospettata da Galileo, il quale la riscontrò, non riuscendo a misurare per via teorica l'area, per via fisica, pesando materialmente dei pezzi di metallo ritagliati secondo la sagoma della curva e della circonferenza generatrice[3]. Galileo dedusse, così, per via empirica che il rapporto doveva essere prossimo a 3:1, ma rifiutò la sua prima intuizione forse ritenendo tale rapporto troppo semplice[4], e anzi si convinse persino dell'erroneità della sua prima impressione dopo un serie di errori accidentali in successivi studi e misurazioni.

L'esattezza della relazione tra le due aree fu invece dimostrata, dopo la sua morte, dall'allievo Torricelli e, quasi contemporaneamente da altri matematici, tra cui Roberval. È possibile offrire la facile dimostrazione data da Torricelli attraverso il metodo degli infinitesimi

Forma matematica[modifica | modifica sorgente]

In rappresentazione parametrica la cicloide passante per l'origine generata da un cerchio di raggio r è data da:

\left\{ \, \begin{matrix} x = r \left ( t - \sin t \right ) \\ y = r \left ( 1 - \cos t \right ) \end{matrix} \right. .

La cicloide è una funzione continua ed è differenziabile ovunque tranne sulle cuspidi. Dove è differenziabile soddisfa l'equazione differenziale

\left ( \frac {d y}{d x} \right )^2 = \frac {2 r - y}{y}.

È anche possibile scrivere l'equazione parametrica della cicloide non ordinaria, descritta da un punto rigidamente collegato al cerchio ma non necessariamente collocato sulla circonferenza. Se il raggio del cerchio è r e la distanza dal centro del punto considerato è d avremo:

\left\{ \, \begin{matrix} x = rt - d \sin t \\ y = r - d \cos t \end{matrix} \right. .

Infatti se d=r si ottiene l'equazione della cicloide, che ne costituisce un caso particolare. La cicloide con d>r (punto esterno al cerchio) è detta allungata, mentre quella con d<r (punto interno) è detta accorciata.

L'equazione cartesiana di una cicloide è data da:

x= -\sqrt{y(2 r-y)}+r \text{ArcCos}\left[1-\frac{y}{r}\right]

Area[modifica | modifica sorgente]

L'elemento infinitesimale di area è pari a:

dA=\frac{1}{2}\left|x(t)\frac{dy(t)}{dt}-\frac{dx(t)}{dt}y(t)\right|dt=\frac{r^2}{2} \left|(-2+2 \cos t+t \sin t)\right|dt

da cui, l'area sotto un solo arco è:

A=\frac{r^2}{2}\int_{0}^{2\pi}\left|(-2+2 \cos t+t \sin t)\right|dt=\frac{r^2}{2} \left|-2 t - t\cos t  + 3\sin t \right|=r^23\pi

Baricentro[modifica | modifica sorgente]

Il baricentro della figura racchiusa tra il primo arco di cicloide e l'asse delle x, ha ascissa pari a x_G = \pi r. L'ordinata del baricentro può essere calcolata usando la formula:

y_G = \frac {\int y dx dy} {\int dx dy}

che possiamo riscrivere nella forma:

y_G = \frac {\frac{1}{2} \int y^2 dx} {\int y dx} = \frac {\frac{1}{2} \int_{0}^{2\pi} r^3 (1 - \cos t)^3 dt} {\int_{0}^{2\pi} r^2 (1 - \cos t)^2 dt}

L'integrale al denominatore restituisce l'area della figura calcolata al punto precedente. Effettuando i calcoli troviamo y_G = \frac {5}{6} r

Il baricentro della figura sottesa dal primo arco della cicloide ha quindi baricentro in (x_G;y_G) = (\pi r; \frac {5}{6} r).

Proprietà[modifica | modifica sorgente]

La lunghezza della cicloide è pari a:

l(t)= 8r\sin^2\left(\frac{1}{4}t\right)

quindi la lunghezza del primo arco è

l(2\pi)=8r\frac{}{}

La curvatura è:

K(t)=-\frac{\left| \csc \left(\frac{t}{2}\right) \right|}{4r}

Trocoide[modifica | modifica sorgente]

Quando la circonferenza mobile rotola su di una retta si parla sempre di cicloide (ordinaria, allungata o accorciata a seconda che il punto solidale alla circonferenza mobile disti dal centro di detta circonferenza una distanza pari, maggiore o minore del raggio). La cicloide ordinaria ha delle cuspidi, quella allungata ha delle asole, quella accorciata si presenta come una curva ondulata.

Le trocoidi (ipotrocoide, epitrocoide) rappresentano una generalizzazione delle epi- e delle ipocicloidi ottenute facendo rotolare una circonferenza mobile all'esterno o all'interno di una circonferenza fissa.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ Questa proprietà fu dimostrata da Christopher Wren nel 1658, consecutivamente ad una sfida lanciata dal Pascal agli altri matematici dell'epoca.
  2. ^ Questa semplice e forse banale proprietà fu la prima formalizzata da padre Mersenne.
  3. ^ Erman Di Rienzo, Premessa in La cicloide, la bella Elena della matematica
  4. ^ Benché allora non fosse ancora nota la trascendenza del π, erano già largamente note le difficoltà circa la sua approssimazione e anche quelle riguardanti la quadratura del cerchio; non devono quindi stupire le perplessità del matematico pisano posto dinanzi a un numero così "tondo".

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • (EN) Martin Gardner, The Cycloid: Helen of Geometry in Martin Gardner's Sixth Book of Mathematical Games from Scientific American, 1971, pp. 127-134. ISBN 0-226-28250-3.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica