Ipocicloide

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L'ipocicloide è una curva piana appartenente alla categoria delle rullette ovvero delle curve generate da una figura che rotola su di un'altra. L'ipocicloide infatti è definita come la curva generata da una circonferenza che rotola sulla parte interna di un'altra circonferenza. Essa è un caso particolare di ipotrocoide.

Forma matematica[modifica | modifica wikitesto]

Due ipocicloidi. La prima ha un rapporto a/b pari a 5/3 ed è una curva chiusa con 5 cuspidi. La seconda ha un rapporto fra i raggi irrazionale (1/ √ 2) ed è una curva aperta con un numero infinito di cuspidi (solo una parte del grafico è mostrata).

La rappresentazione parametrica di un'ipocicloide generata da una circonferenza di raggio b che rotola su di una circonferenza di raggio a è data da:

x = \left ( a - b \right ) \cos \phi + b \cos \left ( \frac {a-b}{b} \phi \right )
y = \left ( a - b \right ) \sin \phi - b \sin \left ( \frac {a-b}{b} \phi \right ).

L'ipocicloide è una funzione continua ed è differenziabile ovunque tranne sulle cuspidi.

Se a/b è un numero razionale allora l'ipocicloide è una curva chiusa con a/b cuspidi. Se invece a/b è un numero irrazionale la curva non si chiude mai.


Esempi di ipocicloidi. Nelle prime tre righe sono rappresentate ipocicloidi con un rapporto tra a e b razionale, invece, nell'ultima riga il rapporto tra a e b è irrazionale. Al primo gruppo appartengono tutte ipocicloidi chiuse, al secondo tutte ipocicloidi aperte.

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