Epicicloide

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La curva rossa è un'epicicloide tracciata facendo ruotare il cerchio nero, di raggio r = 1, attorno ed esternamente al cerchio blu, di raggio R = 3.
Epicicloide a tre cuspidi generata da una circonferenza di raggio 2 che rotola su di una circonferenza di raggio 3.

In geometria, un'epicicloide è una curva piana appartenente alla categoria delle rullette, ovvero delle curve generate da un punto di una figura che rotola su di un'altra. L'epicicloide infatti è definita come la curva generata da un punto di una circonferenza che rotola sulla superficie esterna di un'altra circonferenza. L'epicicloide può essere vista come un caso particolare dell'epitrocoide. Questo termine viene anche utilizzato per indicare la curva che la Luna descrive intorno al Sole nel suo moto di traslazione; essa interseca il piano orbitale terrestre ben 24-25 volte all'anno ed è sempre concavo verso il sole.

L'epicicloide è un caso speciale di epitrocoide.

La cardioide è un tipo particolare di epicicloide con una sola cuspide.

Un'epicicloide e la sua evoluta sono simili.

Forma matematica[modifica | modifica wikitesto]

La rappresentazione parametrica di un'epicicloide generata da una circonferenza di raggio r che rotola su di una circonferenza più grande di raggio R=kr è data da

x(\theta)= \left ( R + r \right ) \cos \theta - r \cos \left ( \frac {R+r}{r} \theta \right )
y(\theta)= \left ( R + r \right ) \sin \theta - r \sin \left ( \frac {R+r}{r} \theta \right )

oppure

x(\theta) = r (k + 1) \cos \theta - r \cos \left( (k + 1) \theta \right)
y(\theta) = r (k + 1) \sin \theta - r \sin \left( (k + 1) \theta \right)

L'epicicloide è una funzione continua ed è differenziabile ovunque, tranne che sulle cuspidi.

Esempi di epicicloidi[modifica | modifica wikitesto]

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Pf1.jpg

Facendo riferimento all'immagine a fianco, ipotizziamo di voler determinare la posizione di p. Siano \alpha i radianti dell'arco che ha per estremi il punto di tangenza e il punto mobile p, e \theta i radianti dell'arco che ha per estremi l'intersezione del cerchio maggiore col semiasse x positivo e il punto di tangenza.

Dal momento che non c'è alcuno scorrimento tra le due circonferenze, abbiamo che

\ell_R=\ell_r

Dalla definizione di radiante (rapporto tra arco e raggio), abbiamo che

\ell_R= \theta R, \ell_r=\alpha r

Dalla due condizioni, otteniamo l'identità

\theta R=\alpha r.

Pertanto, la relazione tra \alpha e \theta è

\alpha =\frac{R}{r} \theta.

A questo punto, osservando la figura, la posizione di p si ricava facilmente:

 x=\left( R+r \right)\cos \theta -r\cos\left( \theta+\alpha \right) =\left( R+r \right)\cos \theta -r\cos\left( \frac{R+r}{r}\theta \right)
y=\left( R+r \right)\sin \theta -r\sin\left( \theta+\alpha \right) =\left( R+r \right)\sin \theta -r\sin\left( \frac{R+r}{r}\theta \right)

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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