Brachistocrona

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Una cicloide usata come una brachistocrona.

In fisica matematica, la brachistocrona (dal greco βράχιστος, brachistos - il più breve, χρόνος, chronos - tempo) è una traiettoria fra due punti che verifica il principio di Fermat. Costituisce un elemento fondamentale nello studio della meccanica del punto e dell'ottica geometrica, collegandosi alla legge di Snell.

Esempio meccanico[modifica | modifica wikitesto]

Siano A e B due punti fissati. Consideriamo una massa puntiforme M che si muove in un piano verticale su una guida curva che connette due punti A e B[1]; la massa M è soggetta alla forza peso. Il tempo che M impiega per andare dal punto A al punto B (con velocità iniziale nulla) dipende dalla traiettoria, che è determinata dalla forma della guida. Contrariamente a quanto ci si potrebbe aspettare, il tempo non risulta minimo se la guida è quella di lunghezza minima fra A e B (cioè una guida rettilinea). La curva che permette alla particella di andare dal punto A al punto B nel minor tempo possibile è chiamata brachistocrona, ossia (curva del) tempo più corto, e la sua determinazione è un esempio classico di problema che si risolve con il calcolo delle variazioni.

La soluzione del problema è una cicloide che passa dai due punti A e B.

Storia[modifica | modifica wikitesto]

Già Galilei aveva notato che una sfera arriva prima rotolando lungo un arco di cerchio piuttosto che sulla corda del cerchio, anche se essa è più corta.

Il problema fu però proposto per la prima volta in forma ufficiale da Johann Bernoulli nel 1697. Nella sua introduzione egli accennava al fatto che esso fosse difficoltoso anche per quei matematici che avevano ampliato la matematica con dei teoremi "che (essi dicono) non erano conosciuti da nessuno", con evidente allusione e sfida a Newton, che era schierato contro di lui nella disputa Newton-Leibniz. Il problema circolò in tutta Europa e dopo poco tempo arrivarono una risposta di Leibniz, una di de l'Hopital e una dall'Inghilterra non firmata: Bernoulli riconobbe subito Newton come l'autore. Si dice addirittura che il grande scienziato inglese risolse il problema in una notte dopo un'estenuante giornata di lavoro.

In seguito anche Jakob, fratello rivale di Johann risolse il problema.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ La guida si suppone priva di attrito; sostituendo il punto materiale con un corpo reale, a esempio una sferetta che rotola, alcuni parametri del problema cambiano ma nella sostanza il risultato è lo stesso.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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