Legge di Snell

Rifrazione (θ₁ = 60°)

La legge di Snell, nota anche come legge di Descartes o legge di Snell-Descartes (o legge di Cartesio o legge di Snell-Cartesio), è una formula che descrive le modalità di rifrazione di un raggio luminoso nella transizione tra due mezzi con indice di rifrazione diverso. Prende il nome da uno dei suoi scopritori, il matematico olandese Willebrord van Roijen Snell (1580-1626).

Introduzione

La luce si propaga nel vuoto alla velocità costante di: c=3x10^8 m/s.

Il fenomeno di rifrazione della luce all'interfaccia tra due mezzi con indice di rifrazione diverso.

La figura a fianco mostra due mezzi trasmissivi con indice di rifrazione n₁ (a sinistra) e n₂ (a destra) in contatto tra loro attraverso una superficie, che viene chiamata interfaccia (linea verticale in figura). Nel caso n₂ > n₁, la luce ha una velocità di fase più bassa nel secondo mezzo.

Il raggio luminoso PO proveniente dal mezzo di sinistra colpisce l'interfaccia nel punto O. A partire da tale punto O tracciamo una retta perpendicolare all'interfaccia stessa, che viene chiamata normale all'interfaccia (linea orizzontale in figura). L'angolo tra la normale e il raggio luminoso PO viene chiamato angolo d'incidenza, θ₁.

Il raggio attraversa l'interfaccia e prosegue nel mezzo di destra, indicato come OQ. L'angolo che tale raggio (rifratto) forma con la normale si chiama angolo di rifrazione, θ₂.

La legge di Snell fornisce la relazione tra gli angoli θ₁ e θ₂:

$n_1\sin \theta_1 = n_2\sin \theta_2\,$ '

Si noti che nel caso θ₁ = 0° (ovvero il raggio risulta perpendicolare all'interfaccia) la soluzione è θ₂ = 0° per qualunque valore di n₁ e n₂. In altri termini, un raggio che entra in un mezzo in modo perpendicolare alla sua superficie non viene mai deviato.

Quanto detto sopra vale anche nel caso di un raggio luminoso che passa da un mezzo più denso a uno meno denso; la simmetria della legge di Snell mostra che gli stessi percorsi luminosi sono validi anche nella direzione opposta.

Una regola di carattere qualitativo per determinare la direzione della rifrazione è che il raggio luminoso è sempre più vicino alla normale dal lato del mezzo più denso.

La legge di Snell è valida in generale solo per mezzi isotropi, come il vetro. Nel caso di mezzi anisotropi (ad esempio alcuni cristalli) il fenomeno della birifrangenza può dividere in due il raggio rifratto. Si vengono allora ad avere due raggi, uno ordinario (raggio o) che segue la legge di Snell, e uno straordinario (raggio e) che può non essere complanare con quello incidente.

Riflessione interna totale

L'angolo di incidenza del raggio blu θ₂ è maggiore dell'angolo critico: il raggio di luce viene riflesso

Nel passaggio da un mezzo più denso a uno meno denso (ovvero, n₁ > n₂) si può verificare facilmente che l'equazione sopra riportata sia priva di soluzioni quando θ₁ supera un valore che viene chiamato angolo critico:

$\theta_{\mathrm{crit}} = \arcsin \left( \frac{n_2}{n_1} \right)$

Quando θ₁ > θ_crit non appare alcun raggio rifratto: la luce incidente subisce una riflessione interna totale ad opera dell'interfaccia. Si genera un'onda di superficie, o onda evanescente (leaky wave), che decade esponenzialmente all'interno del mezzo con indice di rifrazione n₂.

Esempio di riflessione interna totale

Forma vettoriale

Dato un versore v, con direzione e verso uguali al raggio luminoso incidente, ed un versore p, normale all'interfaccia, è possibile ricavare i versori associati al raggio riflesso e rifratto:

$\cos\theta_1=\mathbf{v}\cdot\mathbf{p}$

$\cos\theta_2=\sqrt{1-\left(\frac{n_1}{n_2}\right)^2\left(1-\left(\cos\theta_1\right)^2\right)}$

$\mathbf{v}_{\mathrm{riflesso}}=\mathbf{v}-\left(2\cos\theta_1\right)\mathbf{p}$

$\mathbf{v}_{\mathrm{rifratto}}=\left(\frac{n_1}{n_2}\right)\mathbf{v}+\left(\cos\theta_2-\frac{n_1}{n_2}\cos\theta_1\right)\mathbf{p}$

Derivazione

La legge di Snell può essere ricavata dal Principio di Fermat:

"il percorso fra due punti preso da un raggio di luce è quello che è attraversato nel minor tempo".

Per verificarlo, si può prendere la lunghezza del cammino ottico e verificare che il cammino seguito dalla luce è un punto stazionario per esso, vale a dire che in corrispondenza di esso la derivata del cammino ottico si annulla. In alternativa, la relazione può essere ottenuta considerando l'interferenza di tutti i possibili percorsi che l'onda di luce può percorrere dalla sorgente all'osservatore - risulta che l'interferenza è distruttiva ovunque, eccetto che negli estremi di fase (dove è costruttiva) - che diventa il percorso effettivo.

In una classica analogia proposta da Feynman, la regione a indice di rifrazione più basso è rappresentata da una spiaggia, mentre la regione a indice di rifrazione più alto dal mare; il modo più rapido per raggiungere una persona che sta affogando da parte di un bagnino che si trova sulla spiaggia è correre lungo un percorso che segue la legge di Snell.

Storia

Il nome della legge di Snell rispetta la legge dell'eponimia di Stigler. La legge è documentata per la prima volta in un manoscritto scritto intorno al 984 del matematico arabo Ibn Sahl, che la usò per ottenere i profili delle lenti asferiche (lenti che fuocheggiano la luce senza indurre aberrazioni geometriche). Fu poi scoperta di nuovo da Thomas Harriot nel 1602, che però non pubblicò il suo lavoro. Nel 1621, fu scoperta ancora una volta da Willebrord Snell, in una forma matematicamente equivalente, ma rimase inedita fino alla sua morte. René Descartes derivò indipendentemente la legge in termini di funzioni sinusoidali nel suo trattato Discorso sul metodo del 1637 e la usò per risolvere diversi problemi di ottica. In francese la legge di Snell è chiamata "di Descartes" o "di Snell-Descartes".

Voci correlate

• Leggi di Fresnel
• Riflessione (fisica)
• Rifrazione
• Onda
• Onda elettromagnetica
• Radiazione elettromagnetica
• Velocità della luce
• Luce

Collegamenti esterni

• (EN) La scoperta delle leggi della rifrazione

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