Onda evanescente

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Un'onda evanescente è un particolare tipo di onda elettromagnetica piana non uniforme. Essa è fondamentale nello studio di fenomeni quali la riflessione totale.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Un'onda può essere classificata come evanescente se il suo vettore di attenuazione \vec{a} e il suo vettore di fase \vec{k} sono tra loro perpendicolari. Ciò non è possibile in un mezzo qualunque, ma solamente in quelli nei quali la conducibilità è nulla. Difatti, per definizione, il vettore di propagazione \vec{S} si può scrivere come

\vec{S} = \vec{a} + i \vec{k}

ma inoltre vale \vec{S}\cdot\vec{S} = -\omega^2 \mu \varepsilon_c con \mu permeabilità magnetica del mezzo e \varepsilon_c = \varepsilon - \frac{i\gamma}{\omega} permettività dielettrica complessa del mezzo.

Deve quindi valere la coppia di relazioni: 
\left\{
 \begin{array}{l}
   |\vec{a}|^2 - |\vec{k}|^2 = -\omega^2\mu\varepsilon \\ 2\vec{a}\cdot\vec{k} = \omega\mu\gamma\\
 \end{array}
\right.

In un'onda evanescente \vec{a}\cdot\vec{k} = 0, ma tale relazione può essere rispettata solo in un mezzo in cui la conducibilità \gamma è nulla.

Onde evanescenti nei conduttori[modifica | modifica wikitesto]

Per semplicità, consideriamo il caso unidimensionale di un conduttore sottoposto ad un campo elettrico oscillante  \mathbf E = \mathbf E_0 e^{-iwt} . Mettiamoci inoltre nell'approssimazione di campi deboli, così da poter trascurare gli effetti magnetici nel conduttore.
In queste ipotesi, l'equazione del moto per gli elettroni assume la forma:


m( \ddot x + \gamma \dot x + w_0^2 x)= -e \mathbf E_0 e^{-iwt}

ma in un conduttore gli elettroni sono liberi, e quindi il termine armonico si annulla ( w_0 = 0). Ci si riduce così all'equazione:


m( \ddot x + \gamma \dot x) = -e E_0 e^{-iwt}

che ha come soluzione per la velocità:


\mathbf v(t) = - \frac {e}{m (-i \omega + \gamma)} \mathbf E

e ricordando che per definizione vale  \mathbf J = -N e \mathbf v dove con N si indica il numero di elettroni per unità di volume, si ottiene:


\mathbf J= \frac {N e^2}{m( i \omega + \gamma)} \mathbf E

e definendo la frequenza di plasma come:


\omega_{pl}^2 = \frac {N e^2}{m \varepsilon_0}

è possibile esprimere la densità di corrente  \mathbf J come:


\mathbf J = \frac {\omega_{pl}^2}{(-i \omega + \gamma )} \varepsilon_0 \mathbf E

e ricordando la relazione  \mathbf J = \mathbf \sigma \mathbf E è possibile introdurre la conducibilità generalizzata:


\mathbf \sigma =  \frac {\omega_{pl}^2}{(-i \omega + \gamma )} \varepsilon_0

che, come è possibile notare, è in generale una quantità complessa.
Nel caso di basse frequenze  \omega << \gamma essa è puramente reale, e ci si riconduce al caso omhico, nella quale la conducibilità non dipende dalla frequenza. Consideriamo invece alte frequenze  \omega >> \gamma , per le quali si ha un comportamento:


\mathbf \sigma = i \frac {\omega_{pl}^2}{\omega}

e si può quindi notare che la corrente è sfasata di  \frac {\pi}{2} rispetto al campo  \mathbf E .
È giunta l'ora di considerare l'equazione di propagazione del campo elettrico, che come noto è:


\nabla^2 \mathbf E - \frac {1}{c^2} \frac {\partial^2 \mathbf E}{\partial t^2} = \frac {1}{\varepsilon_0 c^2} \frac {\partial \mathbf J}{\partial t}

avente soluzione del tipo:


\mathbf E = \mathbf E_0 e^{ikx - i \omega t}

sostituendola, insieme all'espressione ricavata per  \mathbf J , nell'equazione d'onda, si ottiene la relazione di dispersione:


\omega^2 = k^2 c^2 + \frac {i \omega}{i \omega - \gamma} \omega_{pl}^2

che nel limite di alte frequenze  \omega >> \gamma porta a:


\omega^2 = k^2 c^2 + \omega_{pl}^2

ovvero


k^2 = \frac {\omega^2 - \omega_{pl}^2}{c^2}

e, nel caso  \omega < \omega_{pl}^2 il numero d'onda k è puramente immaginario, il campo elettrico nel conduttore è della forma:


\mathbf E = \mathbf E_0 e^{\frac {-x}{l_p}} e^{-i \omega t}

ovvero, il campo elettrico non si propaga all'interno del conduttore, ma penetra solo sino ad una distanza detta lunghezza di pelle inerziale:


l_p = \sqrt{ \frac {c^2}{\omega_{pl}^2 - \omega^2}}

In virtù di questa caratteristica, questo genere di onde vengono definite evanescenti.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Nello studio della riflessione totale tra due mezzi semi-infiniti si può dimostrare che se l'angolo di incidenza dell'onda è maggiore dell'angolo critico, nel mezzo 2 si instaura un'onda piana evanescente con vettore di fase parallelo alla superficie di separazione tra i mezzi e vettore di attenuazione quindi normale alla stessa.

Un'ulteriore proprietà importante di un'onda piana evanescente è che la parte reale del vettore di Poynting è parallela alla direzione di \vec{k} mentre la sua parte immaginaria è parallela alla direzione di \vec{a}.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • P. Marino, S. Scotto, Appunti di Fisica B II.
  • Michele Midrio, Campi Elettromagnetici, SGEditoriali, 2006, ISBN 88-86281-82-X

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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