Onda

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.
(Reindirizzamento da Onda (fisica))
bussola Disambiguazione – Se stai cercando altri significati, vedi Onda (disambigua).
Onda superficiale nell'acqua

In fisica con il termine onda si indica una perturbazione che nasce da una sorgente e si propaga nel tempo e nello spazio, trasportando energia o quantità di moto senza comportare un associato spostamento della materia[1].

Le onde possono propagarsi sia attraverso un materiale, sia nel vuoto. Ad esempio la radiazione elettromagnetica, ed a livello teorico la radiazione gravitazionale, possono esistere e propagarsi anche in assenza di materia, mentre altri fenomeni ondulatori esistono unicamente in un mezzo fisico, che deformandosi produce le forze elastiche di ritorno in grado di permettere all'onda di propagarsi.

Dal punto di vista matematico un'onda è una soluzione dell'equazione delle onde, la cui espressione varia a seconda della tipologia di perturbazione.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Non è semplice dare una definizione autonoma e precisa del termine onda, sebbene questo termine sia comunemente molto usato in contesti molto differenti fra loro. La definizione delle caratteristiche necessarie e sufficienti che identificano il fenomeno ondulatorio è flessibile. Intuitivamente il concetto di onda è qualificato come il trasporto di una perturbazione nello spazio senza comportare un trasporto netto della materia del mezzo, qualora presente, che occupa lo spazio stesso. Einstein e Infeld hanno cercato di rispondere alla domanda "Cos'è un'onda?" unendo questo fatto all'esperienza comune:

(EN)

« A bit of gossip starting in Washington reaches New York very quickly, even though not a single individual who takes part in spreading it travels between these two cities. There are two quite different motions involved, that of the rumor, Washington to New York, and that of the persons who spread the rumor. The wind, passing over a field of grain, sets up a wave which spreads out across the whole field. Here again we must distinguish between the motion of the wave and the motion of the separate plants, which undergo only small oscillations [...] The particles constituting the medium perform only small vibrations, but the whole motion is that of a progressive wave. The essentially new thing here is that for the first time we consider the motion of something which is not matter, but energy propagated through matter. »

(IT)

« Un po' di pettegolezzo che parte da Washington raggiunge molto rapidamente New York, anche se nessun singolo individuo che prende parte allo spargimento della voce viaggia fra queste due città. Ci sono due movimenti abbastanza differenti in questione, quello della voce, da Washington a New York, e quello delle persone che spargono la voce. Il vento, che passa sopra un campo di grano, genera un'onda che si sparge lungo tutto l'intero campo. Qui dobbiamo distinguere ancora fra il movimento dell'onda ed il movimento delle singole piante, che subiscono soltanto le piccole oscillazioni [...] Le particelle che costituiscono il mezzo realizzano soltanto piccole vibrazioni, ma l'intero movimento è quello di un'onda progressiva. La cosa essenzialmente nuova qui è quella che per la prima volta consideriamo il movimento di qualcosa che non sia materia, ma di energia propagata attraverso la materia. »

(Albert Einstein e Leopold Infeld, What is a wave? in The Evolution of Physics[1])

Una vibrazione può essere definita come il moto avanti e indietro intorno a un punto definito x, tuttavia una vibrazione non è necessariamente un'onda. Infatti in un'onda sulla superficie dell'acqua, oppure lungo una stringa, l'energia vibrazionale si muove dalla sorgente sotto forma di perturbazione senza un moto collettivo delle particelle dell'acqua o della corda in cui si propaga[2]. Questa rappresentazione diventa però problematica quando si ha a che fare con le onde stazionarie (per esempio le onde sulle corde di una chitarra), dove l'energia in tutte le direzioni è identica e non viene trasportata lungo lo spazio, perciò talvolta nella definizione di onda si cita solamente la propagazione di un disturbo senza richiedere il trasporto di energia o quantità di moto[3]. Per le onde elettromagnetiche (ad esempio la luce) bisogna considerare ulteriormente che il concetto di mezzo non può essere applicato.

Per queste ragioni la teoria delle onde rappresenta una particolare branca della fisica teorica riguardante lo studio delle onde indipendentemente dalla loro origine fisica. Questa peculiarità deriva dal fatto che la teoria matematica delle onde si può applicare per descrivere fenomeni ondulatori in contesti anche molto differenti. Per esempio l'acustica si distingue dall'ottica per il fatto che la prima si occupa del trasporto vibrazionale di energia meccanica, mentre la seconda di perturbazioni del campo elettrico e magnetico. Concetti come massa, inerzia, quantità di moto, elasticità diventano quindi cruciali per descrivere i processi ondulatori acustici, al contrario dell'ottica. La struttura particolare del mezzo introduce inoltre alcuni fattori di cui bisogna tenere conto, come ad esempio i fenomeni vorticosi per l'aria e l'acqua o la complessa struttura cristallina nel caso di alcuni solidi.

Altre proprietà tuttavia possono essere usate per descrivere indifferentemente tutti i tipi di onde. Per esempio, basandosi sull'origine meccanica delle onde acustiche, ci può essere un movimento nello spazio e nel tempo di una perturbazione se e solo se il mezzo non è né infinitamente flessibile né infinitamente rigido. Se tutte le parti che compongono il mezzo si dispongono in modo rigido l'una rispetto all'altra, non sarà possibile alcun movimento infinitesimo e quindi non ci sarà alcuna onda (ad esempio l'idealizzazione del corpo rigido). Al contrario, se tutte le parti sono indipendenti l'una dall'altra senza alcun tipo di interazione reciproca, non vi sarà alcuna onda in quanto non ci sarà trasmissione di energia fra le varie parti componenti del corpo. Nonostante queste considerazioni non si possano applicare alle onde che non si propagano in alcun senso, si possono comunque trovare caratteristiche comuni a tutte le onde: ad esempio, in un'onda la fase è differente per punti adiacenti nello spazio, perché la vibrazione raggiunge questi punti in tempi differenti.

Similmente, alcuni fenomeni che si sono scoperti in determinati contesti, sono poi stati generalizzati ad altri fenomeni ondulatori. L'interferenza è stata studiata da Young nel caso particolare delle onde luminose, tuttavia è stata recentemente analizzata in alcuni problemi riguardanti le proprietà atomiche quantistiche dell'elettrone[4][5].

Caratteristiche[modifica | modifica wikitesto]

A = Onde di acqua profonda.
B = Onde marine superficiali. Il movimento ellittico/circolare della superficie del mare caratterizza un'onda mista.
1 = Direzione di propagazione dell'onda
2 = Cresta
3 = Ventre

Un'onda può essere caratterizzata da una singola oscillazione oppure da un treno o successione di onde aventi caratteristiche simili, come ad esempio la periodicità intrinseca. In generale le onde sono caratterizzate da una cresta (punto alto), da un ventre (punto più basso) e da fronti d'onda di propagazione nel caso di treni di onde e sono in prima istanza classificabili come longitudinali o trasversali. Nelle onde trasversali la vibrazione è perpendicolare alla direzione di propagazione (ad esempio le onde su una corda, le parti infinitesime si muovono in alto e in basso in verticale, mentre l'onda si propaga orizzontalmente). Le onde longitudinali sono invece caratterizzate da una vibrazione concorde con la direzione di propagazione dell'onda (ad esempio le onde sonore, le particelle dell'aria si muovono infinitesimamente nella stessa direzione di propagazione del suono). Esistono onde che sono sia longitudinali che trasversali e sono dette onde miste (ad esempio le onde sulla superficie del mare). Parametri di riferimento di un'onda sono l'ampiezza, la lunghezza d'onda, il periodo, la frequenza, la fase, la velocità di propagazione, l'energia e la potenza ad essa associata. Per quanto riguarda la velocità di un'onda sono definibili la velocità di fase e la velocità di gruppo.

Mezzi di propagazione[modifica | modifica wikitesto]

Il mezzo in cui le onde viaggiano può essere classificato a seconda delle seguenti proprietà:

  • Mezzo limitato se ha una estensione finita (altrimenti viene chiamato illimitato)
  • Mezzo omogeneo se le proprietà fisiche del mezzo in un suo punto qualsiasi non cambiano a seguito di una traslazione (spostamento rettilineo) da quel punto
  • Mezzo isotropo se le proprietà fisiche del mezzo in un suo punto qualsiasi non cambiano a seguito di una rotazione da quel punto. Affermare che un mezzo è isotropo equivale a dire che "è lo stesso" in tutte le direzioni (altrimenti viene chiamato anisotropo)

Durante la propagazione nel mezzo l'onda è soggetta ad attenuazione da parte del mezzo fino all'esaurimento dell'energia trasportata.

Effetti[modifica | modifica wikitesto]

Tutte le onde hanno un comportamento comune in situazioni standard e possono subire i seguenti effetti o fenomeni:

  • Attenuazione dell'ampiezza durante la propagazione nel mezzo.
  • Riflessione, il cambio di direzione di propagazione a causa di uno scontro con un materiale riflettente.
  • Rifrazione, il cambio di direzione di un'onda causata dal cambio del mezzo di propagazione (ad esempio di densità diversa).
  • Diffrazione, la diffusione delle onde, per esempio quando passano attraverso una fessura stretta.
  • Dispersione, la divisione di un'onda in sotto onde in dipendenza della loro frequenza.
  • Interferenza, la somma vettoriale (possono annullarsi) di due onde che entrano in contatto tra loro.
  • Effetto Doppler, lo spostamento di frequenza di un'onda periodica viaggiante rispetto alla direzione di osservazione.

Polarizzazione[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Polarizzazione.

Un'onda è polarizzata se può oscillare solo in una direzione. La polarizzazione di un'onda trasversale descrive la direzione di oscillazione, nel piano perpendicolare alla direzione di moto. Onde longitudinali come quelle sonore non hanno polarizzazione, in quanto per queste onde la direzione di oscillazione è lungo la direzione di moto. Un'onda può essere polarizzata con un filtro polarizzatore.

Tipologia di onda[modifica | modifica wikitesto]

A seconda delle caratteristiche, le onde si possono classificare in molti modi.

Riguardo al tipo di mezzo:

  • Onde meccaniche: si propagano esclusivamente in mezzi materiali diversi dal vuoto, in quanto sfruttano le proprietà di elasticità del mezzo per la loro propagazione (onde elastiche).
  • Onde non meccaniche: possono propagarsi in mezzi non materiali, cioè nel vuoto[6].

Riguardo alle dimensioni del mezzo in cui si propagano:

  • Onde unidimensionali o lineari (es. oscillazione di una corda)
  • Onde bidimensionali (es. onde circolari su una superficie d'acqua)
  • Onde tridimensionali (es. onde sonore)

Riguardo alla loro direzione vettoriale di propagazione, cioè alla loro polarizzazione:

Riguardo alla propagazione:

A seconda del mezzo in cui si propagano e della caratteristica fisica che usiamo per rappresentarle:

  • onde elastiche o di spostamento, in cui poniamo l'attenzione sullo spostamento vettoriale;
  • "onda di velocità", se poniamo l'attenzione sulla velocità delle particelle;
  • "onda di densità", se studiamo la densità volumica e per questo ne è associata un'"onda di pressione".
  • radiazione elettromagnetica, che riguarda un insieme di onde come luce, onde radio, raggi ultravioletti, raggi X appartenenti allo spettro elettromagnetico e nel cui caso la propagazione non ha bisogno di un mezzo, cioè le onde associate posso propagarsi nel vuoto.

Alcune onde caratteristiche sono:

Descrizione matematica[modifica | modifica wikitesto]

I fenomeni ondulatori possono essere matematicamente descritti dall'equazione delle onde. Questa semplice equazione fornisce utili strumenti di analisi di tutte le onde e spesso, come nel caso di una stringa vibrante, le sue soluzioni rappresentano una prima approssimazione valida per piccole perturbazioni.

L'equazione delle onde[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Equazione delle onde.

L'equazione delle onde per una funzione scalare u(x,t) è un'equazione differenziale alle derivate parziali iperbolica della forma:

{ \partial^2 u \over \partial t^2 } = v^2 \nabla^2 u

In una dimensione questa equazione si riduce a:

{ \partial^2 u \over \partial t^2 } = v^2 \frac{\partial^2 u }{\partial x^2}

la cui soluzione generale si ottiene definendo le variabili:[7]

\xi = x - v t \qquad \eta = x + v t

e riscrivendo l'equazione:

\frac{\partial^2 u}{\partial \xi \partial \eta} = 0

la cui soluzione è dunque:

 u(\xi, \eta) = F(\xi) + G(\eta)

ovvero:

 u(x, t) = F(x - v t) + G(x + v t)

Tale soluzione di basa sul principio di Duhamel[8]

Caratteristiche delle soluzioni dell'equazione delle onde[modifica | modifica wikitesto]

Una funzione f(x,t) rappresenta quindi un'onda dotata di ampiezza costante che si propaga lungo l'asse x di un sistema di riferimento cartesiano se la dipendenza dallo spazio x e dal tempo t è data dalla sola combinazione \xi = x \pm vt:[9]

f(x,t) = f(\xi) = f(x \pm vt)

dove v è una costante positiva. A seconda che l'argomento sia x + vt o x - vt, l'onda si dice rispettivamente regressiva o progressiva.

Un'onda progressiva di velocità v dipende dall'argomento \xi = x \pm vt e trasla lungo spazio e nel tempo a velocità costante, senza cambiare la sua forma. Se si considera infatti la stessa perturbazione al tempo t + \Delta t, si ha, per la definizione di onda:

f(\xi) = f(x - vt)~ \rightarrow ~f(\xi') = f(x - v(t + \Delta t ) )

Dato che l'onda è funzione solo di \xi, allora la traslazione v \Delta t può essere vista come una semplice traslazione spaziale di \Delta x = v \Delta t:

f(\xi') = f(x - \Delta x - v t )

e quindi l'onda ad un istante successivo t' = t + \Delta t non è altro che la stessa onda dell'istante t, con la medesima forma, ma solo traslata di \Delta x.

Si definisce fronte d'onda il luogo dei punti nello spazio in cui \xi assume il medesimo valore ad un determinato istante temporale.

Descrizione dell'onda

Se f(\xi) è periodica nel suo argomento allora descrive un'onda periodica. La periodicità dell'onda è identificata dal periodo T, che rappresenta il tempo necessario affinché un ciclo completo di oscillazione venga completato. La frequenza \nu dell'onda è inoltre il numero di periodi per unità di tempo; se l'unità di tempo è il secondo la frequenza si misura in hertz.

Periodo e frequenza sono legate dalla relazione:

\nu = \frac{1}{T}

Ad un periodo temporale corrisponde un periodo spaziale detto lunghezza d'onda \lambda, e vale la relazione:

v = \lambda \nu

Onda sinusoidale[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Onda sinusoidale.
Onda che può essere rappresentata da un semplice moto armonico. Secondo il teorema di Fourier ogni onda può essere scritta come sommatoria (eventualmente infinita) di semplici onde armoniche

Nel caso di un'onda periodica, la rappresentazione in serie di Fourier permette di descrivere l'onda come somma di termini sinusoidali del tipo:

f(\xi) = f(\vec r \pm \vec v t) = f_{max} \cos ( \vec k \cdot \vec r + \omega t + \phi)

Equivalentemente, usando la formula di Eulero, questi termini possono essere rappresentati come la parte reale di una funzione immaginaria:

f(\xi) = f_{max} \, \Re{[\mathrm e^{i(\vec k \cdot \vec r + \omega t + \phi)}]}

In queste formule \vec k è il vettore d'onda, che identifica la direzione di propagazione dell'onda al posto della velocità di propagazione. Il suo modulo è chiamato pulsazione spaziale, ed è legato alla lunghezza d'onda dalla relazione:

k = |\vec k| = \frac {2 \pi}{\lambda}

Lo scalare f_{max} è l'ampiezza dell'onda, e rappresenta il massimo valore della grandezza rappresentativa dell'onda in un periodo. Il termine \phi rappresenta la fase iniziale dell'onda.

Un'onda può essere descritta per mezzo della sua frequenza angolare, che è correlata alla frequenza \nu secondo la relazione:

\omega = \frac{2\pi}{T} = 2 \pi \nu

Fenomeni ondulatori[modifica | modifica wikitesto]

I fenomeni ondulatori rappresentano una classe di fenomeni naturali estremamente importante in fisica; alcuni esempi di onde sono: le onde elastiche, le onde di pressione (onde acustiche e onde d'urto), le onde marine, le onde elettromagnetiche (la luce), le onde gravitazionali, le onde sismiche. In prima approssimazione, secondo il modello concettuale della fisica classica, si può affermare che in natura, al di là delle nozioni di spazio, tempo, energia e carica elettrica, tutto ciò che non è materia (cioè dotato di massa) è un'onda, cioè "energia in propagazione". La differenza sostanziale tra onda e corpuscolo materiale è che mentre il corpuscolo in un certo istante temporale è sempre localizzato in un preciso volume dello spazio, l'onda appare invece più delocalizzata nello spazio.

È solo con la fisica moderna che si raggiunge un punto di contatto nella realtà fisica tra le due diversissime classi di fenomeni, ondulatori e corpuscolari: agli inizi del XX secolo la meccanica quantistica, attraverso il principio di complementarità, sancisce infatti il cosiddetto dualismo onda-particella nei fenomeni fisici che avvengono a scala atomica e subatomica, secondo il quale le stesse particelle microscopiche dotate di massa propria, oltre alle proprietà classiche quali energia meccanica e quantità di moto, assumono proprietà ondulatorie nell'interpretazione di determinati contesti e fenomeni.

Onda stazionaria[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Onda stazionaria.
Un'onda stazionaria, i pallini rossi rappresentano i punti che non sono coinvolti dall'oscillazione, detti nodi

Un caso particolare di onda, descrivibile matematicamente a partire dall'equazione delle onde imponendo opportune condizioni al contorno, è l'onda stazionaria cioè un'onda che rimane in una posizione spaziale costante fissa nel tempo senza propagarsi oscillando tra punti fissi detti nodi. Questo fenomeno può accadere per esempio quando il mezzo si muove in direzione opposta all'onda oppure come risultato di una interferenza fra due onde, di eguale ampiezza e frequenza, che viaggiano in opposte direzioni[10].

In un'onda stazionaria vi sono alcuni punti, detti nodi, che restano fissi e non oscillano[11]. Questo fatto determina a stretto rigore per questa tipologia di perturbazione delle caratteristiche intrinsecamente differenti da una "onda" nel senso stretto del termine. In quanto tale, un'onda stazionaria può permettere per esempio di immagazzinare energia in una regione spaziale ma non rappresenta quindi alcun trasporto energetico netto fra differenti punti dello spazio[12].

La sovrapposizione di due onde che si muovono in direzione opposte con uguale ampiezza e frequenza, ma fase opposta è un fenomeno tipico indotto dalla riflessione di una singola onda contro un ostacolo fisso, esattamente quanto accade per esempio in una onda elettromagnetica che incide contro una lastra di materiale conduttore. Questo meccanismo è usato per generare onde stazionarie ed è alla base del funzionamento di alcuni strumenti musicali a corda, a fiato[13] e delle cavità risonanti[14].

Stringa vibrante[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Corda vibrante.
Un'onda che si propaga lungo una stringa venendo riflessa e sfasata all'incontro degli estremi fissi di oscillazione.

Le onde che possono svilupparsi lungo una stringa sono di tipo trasversale e soddisfano l'equazione delle onde di d'Alembert solamente se l'ampiezza della perturbazione che genera il fenomeno ondulatorio è piccola. In questo limite si ricava che la velocità di propagazione è pari a:

v=\sqrt{T\over\mu}

dove T è la tensione a cui è sottoposta la stringa mentre \mu è la sua densità lineare o massa lineica, cioè la massa per unità di lunghezza. Un'onda su una stringa può essere riflessa in seguito all'urto contro un estremo fisso oppure essere parzialmente trasmessa e parzialmente riflessa in seguito all'incontro di una giunzione fra due stringhe di differente densità lineare \mu. Questo tipo di onde, insieme al fenomeno delle onde stazionarie, sono alla base del funzionamento di molti strumenti a corda.

Onde elettromagnetiche[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Radiazione elettromagnetica.
Un'onda elettromagnetica è composta dall'oscillazione ortogonale alla direzione del moto del campo elettrico (in rosso) e del campo magnetico (in blu).

Un'onda elettromagnetica è un fenomeno ondulatorio dato dalla propagazione in fase del campo elettrico e del campo magnetico, oscillanti in piani tra loro ortogonali e ortogonali alla direzione di propagazione. Tale fenomeno è descritto matematicamente come soluzione dell'equazione delle onde, a sua volta ottenuta a partire dalle equazioni di Maxwell secondo la teoria dell'elettrodinamica classica[15]. Questo tipo di radiazione viaggia nella direzione sempre perpendicolare alle direzioni di oscillazione dei campi, ed è quindi un'onda trasversale[16]. Nel diciannovesimo secolo James Clerk Maxwell ha scoperto infatti che i campi elettrici e magnetici soddisfano l'equazione delle onde, con una velocità di propagazione vuoto pari alla velocità della luce, come determinato sperimentalmente da Heinrich Hertz[17]. Le onde elettromagnetiche, come ad esempio la luce visibile, hanno caratteristiche di propagazione nei mezzi o in presenza di ostacoli dipendenti dalla frequenza[18] (e quindi dalla lunghezza d'onda), alcuni materiali sono trasparenti al passaggio della radiazione elettromagnetica sulla lunghezza d'onda del visibile (come alcuni tipi di vetro), mentre le onde radio sono difficilmente ostacolate nella propagazione da oggetti di piccola dimensione, come anche piccoli edifici[19], infine la radiazione elettromagnetica a lunghezza d'onda inferiore a quella degli ultravioletti può essere dannosa per la salute dell'uomo[20]. Un caso particolare di onda elettromagnetica è l'onda monocromatica.

Onde gravitazionali[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Onda gravitazionale.
Distorsioni dello spaziotempo generate da due pulsar orbitanti l'una attorno all'altra

Le onde gravitazionali sono distorsioni della curvatura dello spazio tempo che viaggiano come un'onda, propagandosi da una sorgente, come ad esempio un corpo massivo. La loro esistenza è stata prevista da Albert Einstein nel 1916 in base alla relatività generale[21] e dovrebbero teoricamente trasportare energia sotto forma di radiazione gravitazionale. Le principali possibili sorgenti dovrebbero essere i sistemi binari composti da pulsar o buchi neri[22]. Questo tipo di onde non sono mai state osservate direttamente, a causa di grosse difficoltà sperimentali nella loro rilevazione[23].

Le onde gravitazionali sono in generale non lineari e interagiscono con la materia e l'energia[24]. Tuttavia questo fenomeno può essere lineare quando le onde sono molto lontane dalle sorgenti e per piccole perturbazioni dello spazio tempo.

Applicazioni[modifica | modifica wikitesto]

Le onde hanno applicazioni diffusissime nella vita comune e in molti campi di studio tecnico-scientifico: dallo studio delle proprietà delle onde elettromagnetiche emesse da un corpo è possibile risalire alle caratteristiche chimico-fisiche del corpo (spettroscopia); le stesse onde elettromagnetiche (ad es. le onde portanti modulate oppure onda quadra) sono anche il mezzo utilizzato per veicolare informazione all'interno dei sistemi di telecomunicazioni attraverso segnali (es. onda radio nelle radiocomunicazioni); inoltre molte tecniche di diagnostica medica, prospezione geofisica, telerilevamento, applicazioni radar ecc., utilizzano particolari onde elettromagnetiche o acustiche.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ a b (EN) Albert Einstein, Leopold Infeld, The Evolution of Physics, CUP Archive, 1971, p. 101, ISBN 0-521-09687-1.
  2. ^ (EN) Julian L. Davis, Mathematics of wave propagation, Princeton University Press, 2000, pp. 9-15, ISBN 0-691-02643-2.
  3. ^ wave. URL consultato il 12 gennaio 2011.
  4. ^ (EN) Chiara Macchiavello, G. M. Palma; Anton Zeilinger, Quantum computation and quantum information theory, World Scientific, 2000, p. 19, ISBN 981-02-4117-8.
  5. ^ (EN) Victoria M. Nield, David A. Keen, Diffuse neutron scattering from crystalline materials, Oxford University Press, 2001, pp. 5-7, ISBN 0-19-851790-4.
  6. ^ Onde Elastiche E Acustica
  7. ^ Eric W. Weisstein, d'Alembert's Solution, MathWorld. URL consultato il 21 gennaio 2009.
  8. ^ . Jalal M. Ihsan Shatah, Michael Struwe, The linear wave equation in Geometric wave equations, American Mathematical Society Bookstore, 2000, pp. 37 ff, ISBN 0-8218-2749-9.
  9. ^ Mencuccini, Silvestrini, Pag. 462
  10. ^ (EN) John Avison, The World of Physics, Nelson Thornes, 1989, pp. 460-461, ISBN 0-17-438733-4.
  11. ^ (EN) David Parker, Fields, flows, and waves: an introduction to continuum models, Springer, 2003, p. 86, ISBN 1-85233-708-7.
  12. ^ (EN) William F. Hughes, John A. Brighton, Schaum's outline of theory and problems of fluid dynamics, McGraw-Hill Professional, 1999, p. 322, ISBN 0-07-031118-8.
  13. ^ (EN) Mikio Tohyama, Hideo Suzuki; Yoichi Ando, The nature and technology of acoustic space, Elsevier, 1995, pp. 116-122, ISBN 0-12-692590-9.
  14. ^ (EN) W. N. Cottingham, D. A. Greenwood, Electricity and magnetism, Cambridge University Press, 1991, p. 51, ISBN 0-521-36803-0.
  15. ^ Mencuccini, Silvestrini, Pag. 467
  16. ^ (EN) Kenneth Frederick Sander, Geoffrey Alexander Leslie Reed, Transmission and propagation of electromagnetic waves, CUP Archive, 1986, pp. 1-10, ISBN 0-521-31192-6.
  17. ^ (EN) Morris H. Shamos, Great experiments in physics: firsthand accounts from Galileo to Einstein, Courier Dover Publications, 1987, pp. 184-197, ISBN 0-486-25346-5.
  18. ^ (EN) Julius Adams Stratton, Electromagnetic theory, Wiley-IEEE, 2007, pp. 324-329, ISBN 0-470-13153-5.
  19. ^ (EN) Ardéshir Guran, Raj Mittra; Philip J. Moser, Electromagnetic wave interactions, World Scientific, 1996, p. 101, ISBN 981-02-2629-2.
  20. ^ (EN) James F. McKenzie, R. R. Pinger; Jerome Edward Kotecki, An introduction to community health, Jones & Bartlett Learning, 2005, p. 488, ISBN 0-7637-2953-1.
  21. ^ (EN) Barry Barish, The Detection of Gravitational Waves with LIGO. URL consultato il 20 novembre 2011.
  22. ^ (EN) Joel M. Weisberg, Joseph H. Taylor, The Relativistic Binary Pulsar B1913+16: Thirty Years of Observations and Analysis in Binary Radio Pulsars, vol. 328, 2005.
  23. ^ Duncan Brown, Ewa Deelman, Looking for gravitational waves: A computing perspective. URL consultato il 19 novembre 2011.
  24. ^ Kip Thorne, Multipole expansions of gravitational radiation in Reviews of Modern Physics, vol. 52, aprile 1980, p. 299, DOI:10.1103/RevModPhys.52.299.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Corrado Mencuccini, Vittorio Silvestrini, Fisica II, Napoli, Liguori Editore, 2010, ISBN 978-88-207-1633-2.
  • (EN) Campbell, M. and Greated, C. (1987). The Musician’s Guide to Acoustics. New York: Schirmer Books.
  • (EN) A.P. French, Vibrations and Waves (M.I.T. Introductory physics series), Nelson Thornes, 1971, ISBN 0-393-09936-9, OCLC 163810889.
  • (EN) D. E. Hall, Musical Acoustics: An Introduction, Belmont, California, Wadsworth Publishing Company, 1980, ISBN 0-534-00758-9.
  • (EN) L. A. Ostrovsky e A. S. Potapov, Modulated Waves, Theory and Applications, Baltimore, The Johns Hopkins University Press, 1999, ISBN 0-8018-5870-4.
  • (EN) Vassilakis, P.N. (2001). Perceptual and Physical Properties of Amplitude Fluctuation and their Musical Significance. Doctoral Dissertation. University of California, Los Angeles.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Altri progetti[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]