Traiettoria

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La traiettoria è il luogo geometrico delle posizioni assunte dal centro di massa di un corpo in moto.
In meccanica classica è in generale una curva continua e derivabile nello spazio euclideo tridimensionale. Può essere ricavata a partire dalla legge oraria, separandola nelle equazioni parametriche nel tempo delle tre coordinate estrinseche, mentre non è possibile il contrario poiché nella traiettoria non sono presenti informazioni sulla velocità.

Coordinate intrinseche cartesiane[modifica | modifica sorgente]

Può essere spesso utile esprimere la traiettoria in modo autoreferenziale nel triedro fondamentale, composto dai vettori di Frenet tridimensionali ottenuti successivamente dal versore tangente col procedimento di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt:

Un sistema di Frenet in tre dimensioni e il relativo piano osculatore evidenziato
Versore tangente[modifica | modifica sorgente]

Viene definito come appartenente alla tangente alla traiettoria, cioè la sua approssimazione al prim'ordine, con verso quello di percorrenza.

\bar{t} = \frac{ \operatorname d\bar{s}}{\operatorname ds}.

Parametrizzare naturalmente la curva  \bar{s} significa adimensionalizzarla nella velocità scalare. Ciò è particolarmente utile per le coordinate intrinseche poiché il vettore tangente coincide con la velocità vettoriale adimensionale:

\bar{t} = \frac{\frac{ \operatorname d\bar{s} }{\operatorname dt}}{\frac{\operatorname ds}{\operatorname dt}}=\frac{\dot {\bar{s}} }{ \dot s}=\dot \bar{s}^*,

e l'azione cinematica[1] S, definita intensiva (propria cioè di un corpo di massa unitaria che la percorra) e unicamente cinetica, se la traiettoria è naturalmente parametrizzata diventa uguale alla semidurata del moto:

\mathcal S^*(s) = \frac{1}{2}\int_{t_0}^{t_0+\Delta t} (\dot \bar{s}^*)^2 \operatorname dt = \frac{1}{2}\int_{t_0}^{t_0+\Delta t} \bar{t}^2 \operatorname dt = \frac{\Delta t}{2}.
Versore normale[modifica | modifica sorgente]

Comincia ora l'ortogonalizzazione: poiché però ds ha per definizione solo componente tangente, dovremo avere a disposizione un altro vettore, che ricaviamo di nuovo intrinsecamente come  \operatorname d^2\bar{s}. A questo punto:

\bar{n} = \frac{(\operatorname d^2\bar{s})_n}{(\operatorname d^2 s)_n}=\frac{\operatorname d^2\bar{s}-(\operatorname d^2s)_t \bar{t}}{|\operatorname d^2\bar{s}-(\operatorname d^2s)_t \bar{t}|} = \frac{\operatorname d^2\bar{s}-(\operatorname d^2\bar{s}\cdot\bar{t})\bar{t}}{|\operatorname d^2\bar{s}-(\operatorname d^2\bar{s}\cdot\bar{t}) \bar{t}|}

Se  \bar{s} è naturalmente parametrizzato, il versore normale si riduce a:

\bar{n} =\frac{\ddot{\bar{s}}_n}{\ddot s_n} = \frac{\dot{\bar{t}}-\dot{\bar{t}}_t\bar{t}}{\sqrt{1- \mathrm{cos}^2\phi_{\dot t,t}}}= \frac{\dot{\bar{t}}-\dot{\bar{t}}_t\bar{t}}{\mathrm{sin}\phi_{\dot t,t}}=\frac{\ddot{\bar{s}}-\ddot{\bar{s}}_t\dot{\bar{s}}}{\mathrm{sin}\phi_{\ddot s,\dot s}}.

I versori tangente e normale generano un piano, chiamato piano osculatore Πtn della curva.

 \Pi_{tn} := \mathrm{Span}(t,n)

Velocità e accelerazione appartengono a questo piano:

 \Pi_{tn} = \mathrm{Span}(\operatorname d\bar{s},\operatorname d^2\bar{s}) = \mathrm{Span}(\bar{\dot s},\bar{\ddot s}) = \mathrm{Span}(\bar{v},\bar{a})
Versore binormale[modifica | modifica sorgente]

Ovviamente sarebbe possibile anche in questo caso definirlo con l'ortogonalizzazione. Essendo però il caso di interesse tridimensionale, il terzo elemento della base è anche semplicemente definibile:

\bar{b}= \bar{t}\times \bar{n}= \bar{t}\times\frac{\operatorname d^2\bar{s}-(\operatorname d^2\bar{s}\cdot\bar{t})\bar{t}}{|\operatorname d^2\bar{s}-(\operatorname d^2\bar{s}\cdot\bar{t}) \bar{t}|}=\frac{\bar{t}\times \operatorname d^2\bar{s}-\bar{t}\times (\operatorname d^2\bar{s}\cdot\bar{t})\bar{t}}{|\operatorname d^2\bar{s}-(\operatorname d^2\bar{s}\cdot\bar{t}) \bar{t}|} = \frac{\bar{t}\times \operatorname d^2\bar{s}}{|\operatorname d^2\bar{s}-\operatorname d^2 (\operatorname d^2\bar{s}\cdot\bar{t}) \bar{t}|}

Se  \bar{s} è naturalmente parametrizzato, questo si riduce semplicemente a:

\bar{b}= \frac{\bar{t}\times \dot{\bar{t}}}{\mathrm{sin}\phi_{\dot t,t}} = \frac{\dot{\bar{s}}\times \ddot{\bar{s}}}{\mathrm{sin}\phi_{\ddot s,\dot s}}

Va aggiunto notevolmente che se il versore si mantiene costante nel sistema di riferimento considerato, lo fa anche il piano osculatore: il moto si definisce allora piano.

\frac {\operatorname d \bar{b}}{\operatorname dt}= \bar 0 \rightarrow \frac {\operatorname d \Pi_{tn}}{\operatorname dt} = 0

Curvature estrinseche[modifica | modifica sorgente]

Sono curvature piane legate ad un sistema di riferimento esterno alla curva, e non definibili in un sistema solidale alla curva. Risolvendo l'equazione differenziale vettoriale del prim'ordine chiamata Formula di Frenet-Serret a tre dimensioni:

 
\begin{bmatrix}
 \partial \bar{t} \\
 \partial \bar{n} \\
 \partial \bar{b} \\
\end{bmatrix}/{\partial s}
=
\begin{bmatrix}
       0 &  \kappa &       0 \\
 -\kappa &       0 &  \gamma \\
       0 & -\gamma &       0 \\
\end{bmatrix} 
\begin{bmatrix}
 \bar{t} \\
 \bar{n} \\
 \bar{b} \\
\end{bmatrix}

Formalmente, il Teorema fondamentale delle curve afferma nel caso tridimensionale che date le curvature estrinseche:\kappa \and \gamma:[a,b] \to \mathbb R^3 sufficientemente differenziabili, con:\kappa(t) \or \gamma(t) > 0 (ne basta cioè una), esiste un'unica curva naturalmente parametrizzata avente date curvature  \exist! s(\kappa*, \gamma*) : \dot s=1 , a meno di isometrie, che si trova risolvendo l'equazione naturale nelle curvature. Se valgono inoltre per la prima equazione scalare della formula di Frenet:

 \frac{\partial \bar{s}}{\partial s}=\bar{t}
 \frac{\partial^2 \bar{s}}{{\partial s}^2}=\frac{\partial \bar{t}}{\partial s}=\kappa\bar{n}
 \frac{\partial^3 \bar{s}}{{\partial s}^3}=\frac{\partial (\kappa\bar{n})}{\partial s}=\frac{\partial \kappa}{\partial s}\bar{n}+\kappa\frac{\partial \bar{n}}{\partial s}=\frac{\partial \kappa}{\partial s}\bar{n}+\kappa\gamma\bar{b}-\kappa^2\bar{t}

Ma allora[2]:

 \frac{\partial \bar{s}}{{\partial s}} \times \frac{\partial^2 \bar{s}}{{\partial s}^2} \cdot \frac{\partial^3 \bar{s}}{{\partial s}^3}=\frac{\partial \bar{s} \times \partial^2 \bar{s} \cdot \partial^3 \bar{s}}{{\partial s}^6}=\kappa\bar{b}\cdot(\frac{\partial \kappa}{\partial s}\bar{n}+\kappa\gamma\bar{b}-\kappa^2\bar{t})=\kappa^2\gamma
Il cerchio osculatore
Curvatura normale[modifica | modifica sorgente]

Dalla prima equazione della formula di Frenet:

\kappa = \frac{\partial \bar{t}}{\partial s}\bar{n} =  \frac {\operatorname d s_t}{\operatorname d s},

Inoltre dalla relazione subito sopra che lega le curvature solo nelle prime due derivate:

 \kappa=|\frac{\partial \bar{s}}{\partial s} \times \frac{\partial^2 \bar{s}}{{\partial s}^2}|(=\frac{|\partial \bar{s} \times \partial^2 \bar{s}|}{{\partial s}^3})=|\bar{t}\times \frac{\partial \bar{t}}{\partial s}|

Costituisce allora un'approssimazione di second'ordine della curva indirettamente sotto forma del circonferenza osculatrice Κ, per definizione:

 \Kappa \in \Pi_{tn}, \quad \Kappa'(s)=\bar{t}, \quad \rho=r_\Kappa=\frac{1}{\left|\kappa\right|}.

Il luogo dei suoi centri CΓ, detti di curvatura è l'evoluta della traiettoria. Nei punti di massima curvatura locale il cerchio osculatore non è mai secato dalla traiettoria.

Avvitamento geodesico[modifica | modifica sorgente]

Dall'ultima equazione della formula di Frenet:

\gamma = - \frac{\partial \bar{b}}{\partial s}\bar{n} =  \frac {\operatorname d s_b}{\operatorname d s},

Inoltre dalla relazione che lega le curvature in tutte e tre le derivate:

 \gamma=\frac{\partial \bar{s} \times \partial^2 \bar{s} \cdot \partial^3 \bar{s}}{(\partial \bar{s} \times \partial^2 \bar{s})^2}=\frac{\partial^3s \quad \mathrm{cos}\phi_{\partial^3 \bar{s},\partial\bar{s} \times \partial^2 \bar{s}}}{|\partial \bar{s} \times \partial^2 \bar{s}|}

Costituisce un indice dell'aplanarità del moto, anche sotto forma della circonferenza d'avvitamento Γ, per definizione:

 \Gamma \in \Pi_{tb}, \quad \Gamma'(s)=\bar{t}, \quad \sigma=r_\Gamma=\frac{1}{\left|\gamma\right|}.

Nel moto piano è nulla non avendo lo spostamento una componente binormale: il piano osculatore rimane per tutto il moto unico, ed è quindi rinominabile piano del moto, un moto elicoidale che è unico lungo tutto il moto: il piano osculatore si sposta di moto uniforme, in particolare rettilineo poiché la binormale mantiene la propria orientazione costante.

Equazione di Lancret[modifica | modifica sorgente]

Si può definire anche una terza curvatura, sintesi delle precedenti poiché definita come:

 \xi = \frac {\operatorname d s_n}{\operatorname d s}

Vale ovviamente il Teorema di Pitagora per via dell'ortogonalità della base (il triedro fondamentale)[3]:

 {\operatorname d s_n}^2 = {\operatorname d s_t}^2 + {\operatorname d s_b}^2

E quindi vale l'equazione detta di Lancret:

 \xi^2 = \kappa^2 + \gamma^2 .

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ il nome è giustificato in quanto le sue geodetiche per massa costante sono le Equazioni di Lagrange
  2. ^ Coxeter 1969, p. 322
  3. ^ Kreyszig, E. Differential Geometry. New York: Dover, p. 47, 1991

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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