Decadimento esponenziale

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Rappresentazione grafica di decadimenti con costanti di tempo di 25, 5, 1, 1/5, e 1/25.

In fisica e matematica, il decadimento esponenziale è la diminuzione di una quantità proporzionale al valore della stessa.

Equazione del decadimento esponenziale[modifica | modifica wikitesto]

Data una quantità il cui valore è N, il decadimento esponenziale è espresso dall'equazione differenziale

\frac{dN}{dt} = -\lambda N.

dove λ è un numero detto costante di decadimento.
La soluzione di questa equazione è

N(t) = N_0 e^{-\lambda t}.

Dove N(t) è la quantità al tempo t, e N_0 = N(0) è la quantità iniziale, al tempo t=0.

In alternativa si può scrivere

N(t) = N_0 e^{-t/\tau}

dove:

\tau = \frac{1}{\lambda}

è detta costante di tempo ed è il tempo necessario a ridurre la quantità iniziale di circa il 63,21%.

Soluzione dell'equazione differenziale[modifica | modifica wikitesto]

L'equazione che descrive il decadimento esponenziale si può scrivere

\frac{dN(t)}{N(t)} = -\lambda dt

integrando si ottiene

\ln N(t) = -\lambda t + C

dove C è la costante di integrazione, e quindi

N(t) = e^C e^{-\lambda t} = N_0 e^{-\lambda t}

dove la sostituzione finale N_0 = e^C è ottenuta valutando l'equazione al tempo t=0. Inoltre λ è l'autovalore dell'operatore differenziale con N(t) la relativa autofunzione. Il decadimento si misura in s-1.

Vita media[modifica | modifica wikitesto]

Dato un insieme di elementi, il cui numero decresce col tempo fino a diventare nullo, la vita media \tau è il valore atteso del tempo che un elemento resta nell'insieme prima di esserne rimosso.

Data la quantità di elementi

N(t) = N_0 e^{-\lambda t}

si ha:

1 = \int_{0}^{\infty}c \cdot N_0 e^{-\lambda t}\, dt = c \cdot \frac{N_0}{\lambda}

con c costante di normalizzazione:

c = \frac{\lambda}{N_0}

Si nota che il decadimento esponenziale è un multiplo della distribuzione esponenziale, che ha un valore atteso ben noto. Usando l'integrazione per parti:

\tau = \langle t \rangle = \int_{0}^{\infty} t \cdot c \cdot N_0 e^{-\lambda t}\, dt = \int_{0}^{\infty} \lambda t e^{-\lambda t}\, dt = \frac{1}{\lambda}

Decadimento in più fasi[modifica | modifica wikitesto]

Una quantità può decadere passando per due o più processi contemporaneamente, che in generale hanno differenti probabilità di verificarsi. Il valore di N è dato dalla somma dei possibili percorsi, e nel caso di due processi:

-\frac{dN(t)}{dt} = N\lambda _1 + N\lambda _2 = (\lambda _1 + \lambda _2)N.

La soluzione è data nel paragrafo precedente, dove la somma dei \lambda _1 + \lambda _2 è trattata come una nuova costante di decadimento totale \lambda _c.

N(t) = N_0 e^{-(\lambda _1 + \lambda _2) t} = N_0 e^{-(\lambda _c) t}.

Dal momento che \tau = 1/\lambda:

\frac{1}{\tau_c} = \lambda_c = \lambda_1 + \lambda_2 = \frac{1}{\tau_1} + \frac{1}{\tau_2}
\tau_c = \frac{\tau_1 \tau_2}{\tau_1 + \tau_2}.\,

Tempo di dimezzamento[modifica | modifica wikitesto]

Un parametro caratteristico del decadimento esponenziale è il tempo di dimezzamento, definito come il tempo occorrente per ridurre la quantità del 50%. Esso è legato alla costante di tempo dalla formula:

t_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda} = \tau \ln 2

Nel caso di due processi si ha

T_{1/2} = \frac{t_1 t_2}{t_1 + t_2} \, = \frac{\ln 2}{\lambda _c} = \frac{\ln 2}{\lambda _1 + \lambda _2}

dove t_1 è il tempo di dimezzamento del primo processo, e t_2 del secondo.

Nel caso di tre processi, infine:

T_{1/2} = \frac{t_1 t_2 t_3}{(t_1 t_2) + (t_1 t_3) + (t_2 t_3)} = \frac{\ln 2}{\lambda _c} = \frac{\ln 2}{\lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3}

Scienze naturali[modifica | modifica wikitesto]

  • In un campione di Radioisotopo che subisce un decadimento radioattivo con cui acquista un differente stato, il numero di atomi nello stato originale segue un decadimento esponenziale.
  • Se un oggetto ad una temperatura è immerso in un mezzo a temperatura differente, la differenza di temperatura segue un decadimento esponenziale.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]