Pierre de Fermat

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.
bussola Disambiguazione – "Fermat" rimanda qui. Se stai cercando altri significati, vedi Fermat (disambigua).
Ritratto di Pierre de Fermat

Pierre de Fermat (Beaumont-de-Lomagne, 1607 – Castres, 12 gennaio 1665) è stato un matematico e magistrato francese . Pierre de Fermat, matematico francese, nasce in Francia, a Beaumont de Lomagne, il17 agosto 1601, da una famiglia dell’alta borghesia; il padre, Dominique Fermat, fu il secondo console di Beamount. Era senz'altro una persona atipica. Infatti nel 1631 comprò una carica al Parlamento di Tolosa, cioè, in pratica, di mestiere faceva l'ufficiale giudiziario. Dedica, però, tutto il suo tempo libero alla matematica, dimostrandosi un vero genio in tale disciplina, cionononstante non ha mai pubblicato alcun opera matematica e i suoi manoscritti circolavano di mano in mano, in copie più o meno fedeli. Si accontentò di intrattenere una fitta corrispondenza con vari scienziati del suo tempo, in particolare con Padre Mersenne, e molto viva, fu la sua amicizia nei confronti di Blaise Pascal,altro importante scienziato. Ha dato notevoli contributi allo sviluppo della matematica moderna; in particolare, è stato il precursore del calcolo differenziale con il suo metodo per la individuazione dei massimi e dei minimi delle funzioni, analogo a quello del calcolo differenziale sviluppato successivamente da Gottfried Leibniz e Isaac Newton. Forse ancor più importanti sono le sue brillanti ricerche in teoria dei numeri; egli ha lavorato in tale campo mentre preparava un'edizione di Diofanto e le note e le osservazioni su ciò contengono numerosi teoremi di considerevole eleganza. Altri contributi riguardano sia la geometria analitica che il calcolo della probabilità. Fermat è famoso per il suo "Enigma", anche conosciuto come ultimo teorema di Fermat, che può essere considerato un'estensione del teorema di Pitagora, che ha sconcertato i matematici per più di 300 anni e che soltanto nel 1994 è stato dimostrato da Andrew Wiles. Insieme a Cartesio, Fermat è stato uno dei due matematici principali della prima metà del XVII secolo. Indipendentemente da Cartesio scoprì i principi fondamentali della geometria analitica. Fu tra i principali matematici della prima metà del XVII secolo e dette importanti contributi allo sviluppo della matematica moderna:

Indice

Biografia [modifica]

Pierre de Fermat nacque a Beaumont-de-Lomagne, città a 57 chilometri a nord-ovest di Tolosa. Figlio di un mercante di cuoio, studiò legge e divenne avvocato al Parlamento di Tolosa, dove si trasferì nel 1631. Nello stesso anno sposò la cugina materna Luisa de Long, dalla quale ebbe cinque figli. Lavorava duramente e scrupolosamente, ma nonostante ciò nel tempo libero si occupava di letteratura (compose persino alcuni versi) e, soprattutto, di matematica. Per questo è chiamato "il principe dei dilettanti", poiché, pur dedicandosi alla matematica solo nel tempo libero, la sua influenza sulla storia della disciplina fu notevolissima. Pubblicava le sue idee molto raramente e per lo più sappiamo delle sue scoperte grazie alla corrispondenza scambiata con altri matematici, come Mersenne o Pascal. La conoscenza di altre sue intuizioni, come già detto per l'"ultimo teorema", ci viene da suoi commenti in margine a libri che stava leggendo. Per questo motivo spesso il suo lavoro fu imputato ad altri. Nel 1648 divenne Consigliere del Re al Parlamento di Tolosa e mantenne tale carica per i successivi diciassette anni. Morì all'età di 63 anni a Castres, città a 79 chilometri ad est di Tolosa.

La più antica e prestigiosa scuola superiore di Tolosa porta il suo nome ed è indicata nelle prime dieci scuole preparatorie della Francia. La residenza del tardo XV secolo a Beaumont-de-Lomagne, dove Fermat nacque, è ora un museo.

L'Unione Astronomica Internazionale gli ha dedicato un cratere sulla Luna.

Scoperte matematiche [modifica]

Geometria analitica [modifica]

Da una lettera del 1635 sappiamo che Fermat sapeva rappresentare curve matematiche tramite equazioni prima che Cartesio pubblicasse La Geometrie. Questa scoperta sta alla base della geometria analitica, che quindi Fermat aveva sviluppato per primo indipendentemente da Cartesio, al quale è di solito attribuita.

Sappiamo però che i due guardavano alla loro scoperta in modo del tutto diverso: Cartesio infatti la considerava una rottura con la matematica antica, mentre Fermat la vedeva come una sorta di continuazione, e faceva notare che anche Apollonio nelle sue Coniche arrivava a concetti vicini alla geometria analitica.

Si occupò del problema delle tangenti ad una curva data e risolse il problema in modo differente da Cartesio. La sua soluzione del problema, il Metodo delle tangenti di Fermat, utilizza strumenti molto vicini a quelli di limite e derivata. Questo metodo permette anche di trovare i massimi e i minimi di una funzione, una volta che se ne sappia l'equazione della retta tangente. Per questo Fermat oggi è considerato uno dei fondatori del calcolo differenziale.

Studiò anche, in coordinate polari, la spirale di Fermat, descritta dall'equazione:

r^2\ =\ \alpha^2 \theta

Calcolo delle probabilità [modifica]

Abbozzo matematica
Questa sezione sull'argomento matematica è solo un abbozzo. Contribuisci a migliorarla secondo le convenzioni di Wikipedia. Segui i suggerimenti del progetto di riferimento.

In una corrispondenza del 1650 con Blaise Pascal, Fermat sviluppò il calcolo delle probabilità, del quale è considerato uno dei fondatori. In particolare questa corrispondenza verteva sui problemi del gioco d'azzardo come, per esempio: Se si lanciano più volte due dadi, quanti lanci sono necessari affinché si possa scommettere con vantaggio che esca il doppio sei? Nel carteggio con Pascal si trova anche la prima soluzione al problema della divisione della posta, che consiste nella divisione dei soldi in gioco se si è costretti ad interrompere una partita d'azzardo senza essere arrivati alla fine.

Teoria dei numeri [modifica]

Il campo in cui Fermat fu più attivo è sicuramente la teoria dei numeri, di cui si può in effetti considerare uno dei fondatori. Espresse molte delle sue scoperte sotto forma di congettura, senza provvedere ad una dimostrazione; molte di queste furono trovate nel XVIII secolo da Eulero, mentre per altre, ad esempio il già citato noto "ultimo teorema di Fermat", si dovrà aspettare ancora oltre.

Fermat trovò che la formula F_n = 2^{2^n}+1, per valori di n uguali a 1, 2, 3, 4 dà numeri primi. Congetturò quindi che essa restituisse solo numeri primi, ma, come scoperto da Eulero, se si immette 5 nella formula essa dà come risultato un numero composto. Quando un numero che può essere scritto in questa forma è primo viene chiamato numero primo di Fermat. I numeri primi di Fermat hanno grande importanza in matematica: ad esempio Gauss nel 1776 dimostrò che ogni poligono regolare costruibile con riga e compasso ha un numero di lati che è il prodotto di uno o più numeri primi di Fermat.

Congetturò poi che ogni numero primo nella forma 4n+1 può essere espresso come somma di due quadrati. Per la dimostrazione di questa congettura bisognerà aspettare Eulero. Il risultato è noto come teorema di Fermat sulle somme di due quadrati.

Studiò l'equazione di Pell e congetturò il teorema secondo il quale ogni numero può essere scritto come somma, al più di n numeri poligonali di grado n (tre numeri triangolari, quattro quadrati...)

Scoprì, senza dimostrarlo, anche il piccolo teorema di Fermat, il quale afferma che

a^p \equiv a \pmod{p}

(in altre parole che un qualsiasi numero a elevato a una potenza prima p dà resto a se diviso per p). La dimostrazione di questo teorema è dovuta anch'essa a Eulero, che lo generalizzò con il teorema di Eulero. Ai nostri giorni esso è alla base dei sistemi di crittografia a chiave pubblica come l'RSA.

Ideò anche un nuovo algoritmo di fattorizzazione, il cosiddetto test di Fermat.

Ma il suo teorema più famoso è senza dubbio l'ultimo teorema di Fermat. L'ultimo teorema di Fermat Il problema della ricerca dei triangoli rettangoli con lati misurati da numeri naturali è noto fin dall'antichità, anzi forse il triangolo di lati 3, 4, 5 (o loro multipli) veniva usato nell'antichità proprio come test di perpendicolarità, per esempio, nel tracciare i confini dei campi o le piante degli edifici. Le terne di numeri siffatti si chiamano Pitagoriche: esse sono le terne (x,y,z) tali che x2 + y2 = z2 Il problema analogo quando l'esponente due viene sostituito dall'esponente tre è geometricamente quello di decomporre un cubo con lato intero nella somma di altri due cubi con lati anch'essi interi. Fermat si pose il problema più generale: trovare le terne (x,y,z) di interi tali che xn + yn = zn In una nota a margine dell'Arithmetica di Diofanto, Fermat affermò di avere provato che il problema non aveva soluzioni per nessun n maggiore di due, ma che la dimostrazione era così complessa da non poter essere contenuta in un margine così piccolo come quello del libro che aveva sottomano. Non sappiamo se Fermat avesse veramente trovato una tale dimostrazione: se le cose stanno come egli afferma, allora sarebbe veramente un genio, visto che su tale problema si sono cimentati fior di matematici e che solo recentemente Andrew Wiles è riuscito a risolvere l'enigma dopo anni di lavoro e con tecniche che Fermat non poteva nemmeno immaginare. Numeri di Fermat Il problema è: tra i numeri del tipo 2k+1, quali sono primi? I numeri primi del tipo 2k-1 erano già stati considerati da Euclide trattando dei numeri perfetti, e Fermat, come era suo costume, si interessa allora ai numeri del tipo 2k+1. È chiaro che, se k è dispari, il numero non può essere primo, perché è divisibile per 3: basta tenere conto della nota scomposizione ak + bk = (a + b)(ak-1 – ak-2b – ak-3 b2 …) valida per k dispari. Se poi k è pari e non è una potenza di 2, allora k sicuramente è il prodotto tra un pari e un dispari: k = pd. Scrivendo 2k =(2p)d, si conclude, come prima, che il numero in questione è divisibile per 2p+1. Dunque gli unici primi di questo tipo devono essere ricercati tra i numeri della forma . Un calcolo immediato prova che i numeri di questo tipo corrispondenti ai valori di n = 0, 1, 2, 3, 4 sono primi: . Fermat congetturò allora che tutti questi numeri fossero primi. Eulero però, un secolo più tardi, provò che , cioè che il sesto numero di Fermat non era primo. Dopo di allora attraverso i calcoli di una schiera di appassionati è stato provato che i numeri da F5 a F21 non sono primi, anche se non di tutti si è scoperta la fattorizzazione completa. Si conosce anche qualche altro numero molto più grande che non è primo: per esempio F1945 e F9448. È chiaro che simili risultati non si possono ottenere con un calcolatore: già il primo di questi due numeri ha un numero di cifre sicuramente più grande del numero stimato di atomi nell'universo, per cui non potrà mai essere scritto sulla carta!. Paradossalmente oggi la ricerca è volta più a dimostrare la congettura opposta a quella di Fermat: nessun numero di Fermat, a parte i primi cinque, è primo!. Ma non è detto che la domanda potrà mai avere una risposta. Forse è il diavolo che ci ha messo lo zampino. Mentre la generalizzazione del problema della ricerca delle terne pitagoriche andò esattamente come Fermat pensava, cioè non c'erano soluzioni, la generalizzazione del problema della scomposizione dei numeri del tipo , andò in maniera opposta all'idea di Fermat, cioè questi numeri possono essere scomponibili, o addirittura forse sono sempre scomponibili, tranne i primi cinque. Dato l'intero n > 1 diciamo C(n) l'insieme degli interi compresi tra 1 ed n-1 che sono coprimi con n. In simboli: C (n) = {a : 1 ≤ a ≤ n-1 ∧ MCD(a,n) = 1}, dove MCD(a, b) è il massimo comun divisore di a e b. Per definizione ϕ (n) è il numero degli elementi che stanno in C(n): ϕ (n) = |C(n)| La funzione ϕ è detta funzione di Eulero Esempi C(12) = {1, 5, 7, 11} C(5) = {1, 2, 3, 4} C(15) = {1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14} Evidentemente se p è primo ϕ (p) = p - 1. Inoltre, se MCD(a,b) = 1 allora ϕ (a b) = ϕ (a)ϕ (b). Vale l'importante Teorema di Eulero: Se a appartiene a C(n) allora: aϕ(n) = 1 mod n equivalentemente: n divide ( aϕ(n) - 1) In particolare se p è primo e p non divide a allora: p divide (ap-1 - 1) Il caso particolare di p primo, cioè ap-1 = 1 mod n viene detto Piccolo Teorema di Fermat, perché venne scoperto da Fermat (1601-1665), che però non lo dimostrò. La dimostrazione venne data da Eulero (1707-1783. Il suo enunciato è molto semplice, ma dimostrarlo ha rappresentato una sfida per secoli. Esso dice che non è possibile trovare quattro numeri interi x,y,z e n con n>2 per cui:

x^n + y^n=z^n

Fermat annotò la sua congettura, sul margine di un volume dell'Arithmetica di Diofanto, con le seguenti parole:

« È impossibile dividere un cubo in altri due cubi, una quarta potenza o in generale una potenza qualsiasi in due potenze dello stesso valore maggiore del secondo. Dispongo di una meravigliosa dimostrazione di questo teorema che non può essere contenuta nel margine troppo stretto della pagina »

La presunta dimostrazione del teorema non fu mai trovata, ma in compenso se ne rinvenne una dello stesso Fermat per il caso particolare di n=4, con la quale inventò un nuovo tipo di dimostrazione, la discesa infinita. Oggi si ritiene che la dimostrazione generale che Fermat affermò di aver trovato fosse sbagliata. Eulero provò a dimostrare il teorema, ma riuscì solo nel caso particolare n=3. La dimostrazione completa arrivò, come già detto, solo nel 1994 da parte del matematico Andrew Wiles. Una dimostrazione completa era già stata fornita dallo stesso Wiles, nel 1993, ma dopo la consueta revisione dell'elaborato da parte di matematici specializzati, era apparso un errore in un passaggio logico, in seguito corretto.

Ottica [modifica]

In ottica è noto il principio di Fermat il quale afferma che: "Il percorso fra due punti preso da un raggio di luce è quello che è attraversato nel minor tempo". Questo principio è molto utile per spiegare vari fenomeni luminosi quali la rifrazione.

Bibliografia [modifica]

  • Giulio Giorello, Corrado Sinigaglia (2001): Fermat: i sogni di un magistrato all'origine della matematica, Collana "I grandi della scienza" curata da Le Scienze, IV, n. 24, dicembre 2001
  • Ludovico Geymonat, Storia del pensiero filosofico e scientifico vol. II

Voci correlate [modifica]

Altri progetti [modifica]

Collegamenti esterni [modifica]

Controllo di autorità VIAF: 14769633 LCCN: n82130428

Estratto da "http://it.wikipedia.org/w/index.php?title=Pierre_de_Fermat&oldid=58497367"