Curva piana

In matematica una curva piana è una curva che giace interamente in un (unico) piano ed è identificabile da una funzione continua:

$\alpha: I \longrightarrow \R^2$

dove $I$ è un intervallo nell'insieme dei numeri reali.

L'immagine di una curva viene anche chiamata supporto della curva. Talvolta si usa l'espressione curva anche per indicare il supporto di una curva. Una curva su uno spazio euclideo di dimensione maggiore di 2 si dice piana se il suo supporto giace su un piano contenuto nello spazio euclideo in cui è definita.

Prime considerazioni

Le curve piane sono oggetti geometrici ampiamente studiati, fin dall'antichità, per obiettivi non solo matematici, ma anche meccanici, astronomici, architettonici, ornamentali, mistici, scaramantici, ... . La collezione delle curve che sono state studiate in termini matematici è molto varia e complessa e conviene rilevare subito alcune distinzioni.

Una curva piana si dice semplice se non si autointerseca, ovvero se

$\forall \ t_1 \ne t_2 \in I \Longrightarrow \alpha(t_1) \ne \alpha(t_2)$;

in caso contrario si dice dotata di punti doppi, tripli, ... .

Un'altra evidente distinzione riguarda il fatto che una curva piana sia limitata, cioè abbia come supporto un insieme limitato di punti di $\R^2$, oppure sia illimitata. Curve piane limitate sono le ellissi e le lemniscate, mentre sono illimitate le iperboli e le spirali.

Rappresentazioni

Rappresentazione in forma cartesiana esplicita

Un tipo di rappresentazione della curva piana è l'equazione:

$y = f(x)\,$

tale che ad ogni punto x corrisponde un punto y, e in modo che ogni punto del piano xy: (x,y) rappresenti il supporto della curva. Una curva di questo tipo si dice anche grafico in riferimento al grafico delle funzioni reali; in effetti la rappresentazione si può anche scrivere come:

$\alpha (t) = (t, f(t))\,$

cioè come funzione di una variabile indipendente. Questa rappresentazione ha molti limiti geometrici derivanti dal fatto che una curva molto spesso ha una descrizione molto complesse in questa forma, non adatte allo studio delle proprietà geometriche.

Rappresentazione in forma cartesiana implicita

Una curva si può rappresentare anche nella forma:

$F(x,y) = 0\,$

cioè come funzione di due variabili indipendenti. Questa rappresentazione è, sotto alcuni punti di vista, migliore di quella esplicita; però, si possono incontrare problemi quando è necessario esplicitare una variabile in funzione dell'altra: spesso ciò è arduo, quando non è impossibile.

Rappresentazione parametrica

La migliore rappresentazione è sicuramente quella parametrica, del tipo:

$\alpha : \begin{cases} x = \phi(t) \\ y = \psi(t) \end{cases}$

oppure: $\alpha(t) = (\phi(t), \psi(t))$

dove $t \in I$ si chiama parametro.

La condizione di continuità non basta per rappresentare e studiare le curve intese come oggetti filiformi ad una dimensione con le caratteristiche di regolarità volute. La condizione aggiuntiva è che la curva piana sia differenziabile entro I.

Una curva piana parametrica $\alpha (t) = (\phi (t), \psi (t))$ si dice differenziabile in ogni punto se le funzioni $\phi (t)$ e $\psi (t)$ hanno derivate continue in ogni punto.

Una curva piana differenziabile si dice regolare in un punto $t_0$ se $\alpha'(t_0) = (\phi'(t_0), \psi'(t_0)) \ne (0,0)$ e regolare in I se $\alpha'(t) \ne (0,0)$ in ogni punto di I.

Un punto in cui si abbia $\alpha'(t_0) = (0,0)$ si dice che è un punto singolare per la curva.

Retta tangente

La regolarità della curva permette di definire la retta tangente alla curva. Sia $\alpha (t)$ una curva differenziabile e $P_0 = \alpha(t_0)$ un punto regolare. Si può definire la retta tangente alla curva in quel punto come la retta passante per $P_0$ parallela al vettore $\alpha'(t_0) =(\phi'(t_0),\psi'(t_0))$.

La retta tangente ha equazione cartesiana nel punto $t_0$:

$\psi'(t_0) \cdot (\phi(t_0) - \phi) - \phi'(t_0) \cdot (\psi(t_0) - \psi) = 0$

e equazioni parametriche:

$\begin{cases} \phi = \phi'(t_0) (t-t_0) + \phi(t_0) \\ \psi = \psi'(t_0) (t-t_0) + \psi(t_0) \end{cases}$

Nel caso di curva rappresentata esplicitamente da un'equazione $y = f(x)$, la retta tangente nel punto $(x_0,y_0)$ è data:

$f'(x_0) \cdot (x-x_0) - (y-y_0) = 0$;

mentre nel caso di una curva rappresentata da un'equazione implicita $F(x,y) = 0$ la retta tangente nel punto $(x_0,y_0)$ è data da:

$F_{x} \cdot (x-x_0) + F_{y}(y-y_0) = 0$.

Retta normale

La regolarità della curva permette di definire anche la retta normale alla curva nel punto $t_0$ di equazione cartesiana:

$\phi'(t_0) \cdot (\phi(t_0) - \phi) + \psi'(t_0) \cdot (\psi(t_0) - \psi) = 0$

Nel caso di curva rappresentata esplicitamente:

$f'(x_0) \cdot (y-y_0) + (x-x_0) = 0$;

mentre per il caso di curva rappresentata implicitamente:

$F_{y} \cdot (x-x_0) - F_{x} \cdot (y-y_0) = 0$.

Coseni direttori

Dalla definizione stessa di derivata si ottiene:

$\frac {\psi(t)}{\phi(t)} = \tan \theta$

che geometricamente rappresenta la pendenza della retta tangente, cioè la tangente goniometrica dell'angolo che la retta tangente forma con l'asse orizzontale x. Da questa relazione si possono estrarre i coseni direttori della retta tangente:

$\cos \theta = \pm \frac {\phi'(t)}{\sqrt{\phi'(t)^2 + \psi'(t)^2}}$

$\sin \theta = \pm \frac {\psi'(t)}{\sqrt{\phi'(t)^2 + \psi'(t)^2}}$

Riparametrizzazione

Data una curva $\alpha : I \longrightarrow \R^2$ differenziabile e una funzione $t = t(s)$ definita sull'intervallo $S \longrightarrow I$ allora la curva:

$\beta = \alpha \circ t : S \longrightarrow \R^2,$

tale che per ogni $s \in S \longrightarrow \beta(s) = \alpha(t(s)),$ è una riparametrizzazione della curva $\alpha$. La riparametrizzazione è regolare se: $t(S) = I$ e se $t'(s) \ne 0$.

Vale il seguente teorema: se $\beta = \alpha \circ t$ è una riparametrizzazione di $\alpha$ tramite $t=t(s)$ allora:

$\beta' (s) = \frac {dt}{ds} \alpha' (t(s))$

Dimostrazione

Se $\alpha (t) = (\phi(t),\psi(t)) allora \beta(s) = (\phi(t(s)), \psi(t(s)))$ e per la regola di derivazione delle funzioni composte si ottiene:

$\frac {d\phi(t(s))}{ds} = \frac {d\phi}{dt} \cdot \frac {dt}{ds}$

$\frac {d\psi(t(s))}{ds} = \frac {d\psi}{dt} \cdot \frac {dt}{ds}$

e così si ottiene:

$\beta'(s) = \frac {dt}{ds} \left(\frac {d\phi}{dt} , \frac {d\psi}{dt} \right) = \frac {dt}{ds} \alpha'(t(s))$

Lunghezza di una curva

Lunghezza in forma parametrica

Sia data $\alpha (t) = (\phi(t),\psi(t))$ differenziabile e $[a,b] \subseteq I$. Allora la lunghezza dell'arco di curva compreso tra $[\alpha(a),\alpha(b)]$ vale:

$\mbox{Lungh}(\alpha) = \int_{a}^{b} \| \alpha'(t) \| dt = \int_{a}^{b} \sqrt{\phi'(t)^2 + \psi'(t)^2} \cdot dt.$

Si aggiunga che, se $\beta(s)$ è una riparametrizzazione della curva, allora:

$\mbox{Lungh}(\alpha) = \mbox{Lung}(\beta) = \int_{a}^{b} \| \alpha'(t) \| dt = \int_{a}^{b} \| \beta'(s) \| ds$.

Lunghezza in forma cartesiana esplicita

Se la curva è rappresentata in forma cartesiana esplicita $y=f(x)$ (cioè $F(x,y)=y-f(x)=0$) allora, sapendo che $\frac{\partial F}{\partial y} = 1$ e che $\frac {\partial F}{\partial x} = \frac {df(x)}{dx}$ ed applicando il Teorema di Pitagora, la lunghezza della curva è data:

$\mbox{Lungh}(y) = \int_{a}^{b}{\sqrt{1 + \left ( \frac {dy}{dx} \right)^2} \cdot dx}.$

Parametrizzazione in coordinate polari piane

Una forma di parametrizzazione che assume importanza notevole nello studio della matematica, della geometria e in molti campi di applicazione della matematica è quella in coordinate polari piane. Data una curva che ha parametrizzazione in coordinate polari piane in forma cartesiana:

$r = r(\theta)$ con $c \le \theta \le d$

e in forma parametrica con parametro $\theta$:

$\begin{cases} \phi(\theta) = r(\theta) \cos \theta \\ \psi(\theta) = r(\theta) \sin \theta \end{cases}$

allora sue derivate sono:

$\begin{cases}\phi'(\theta) = r'(\theta) \cos \theta - r(\theta) \sin \theta \\ \psi'(\theta) = r'(\theta) \sin \theta + r(\theta) \cos \theta \end{cases}$

di modo che la lunghezza della curva sia uguale a:

$\mbox{Lungh} = \int_{c}^{d} \sqrt{\phi'(\theta)^2 + \psi'(\theta)^2} \cdot d\theta = \int_{c}^{d} \sqrt{r(\theta)^2 + r'(\theta)^2} d\theta = \int_{c}^{d} \sqrt{r(\theta)^2 + \left(\frac {dy}{dx} \right)^2} \cdot d\theta.$

Ascissa curvilinea

Si definisce ascissa curvilinea oppure parametro lunghezza arco la riparametrizzazione particolare ottenuta fissando l'estremo inferiore di integrazione a in modo che l'integrale:

$s(t) =\int_{a}^{t} \| \alpha'(u) \| du$

dipenda solo dall'estremo superiore t inteso come variabile. Questa funzione è la lunghezza dell'arco di curva a partire da un punto fisso a e può avere segno. Si può sempre riparametrizzare la curva nell'ascissa curvilinea. In tal modo se si vuole calcolare la retta tangente in un punto, si sa che essa è parallela ad un vettore tangente unitario, cioè ad un versore. Si dimostra che si può sempre riparametrizzare una curva tramite l'ascissa curvilinea nel modo seguente:

dato che $s'(t) = \| \alpha'(t) \| > 0$ allora si può invertire s(t) e se la sua inversa è t = t(s) allora si ha la riparametrizzazione ascissa curvilinea data da:

$\beta (s) = \alpha (t(s))$.

Si dimostra poi che il vettore tangente è unitario nel modo seguente:

$\| \beta'(s) \| = | \frac {dt}{ds} | \cdot \| \alpha'(t) \| = \frac {1}{|s'(t)|} \| \alpha'(t) \| = \frac {\| \alpha'(t) \|}{\| \alpha'(t) \|} = 1$.

Curvatura

Sia $\beta(s)$ una curva parametrizzata secondo l'ascissa curvilinea e $\beta'(s)$ il suo versore tangente. Si considera la funzione $k(s) : S \longrightarrow \R$ che associa ad ogni $s \in S$ il valore $k(s) = \| \beta'(s) \|$. La funzione $k(s) \ge 0$ è detta curvatura della curva.

Se la curva è rappresentata esplicitamente, la sua curvatura è:

$k = \frac{f''(x)}{ \left(1 + f'^{2} \right)^{3/2}}$;

mentre per una curva rappresentata da un'equazione implicita:

$k = \frac{F_{y}^{2} \cdot F_{xx} - 2 F_{x} \cdot F_{y} \cdot F_{xy} + F_{x}^{2} \cdot F_{yy}}{\left(F_{x}^{2} + F_{y}^{2} \right)^{3/2}}$.

Formule di Frenet

Per approfondire, vedi la voce geometria differenziale delle curve.

Una curva (sufficientemente regolare) nello spazio ha in ogni suo punto un sistema di riferimento, detto triedro di Frenet, dato da una terna di vettori tangente, normale e binormale. Tale curva è piana precisamente quando il vettore binormale è sempre nullo.

Sia $\beta(s) = (\phi(s), \psi(s))$ una curva parametrizzata secondo l'ascissa curvilinea. Il versore tangente è dato da:

$T(s) = \beta'(s) = (\phi'(s), \psi'(s)).$

Il versore normale è dato da:

$N(s) = i \cdot T(s) = (- \psi'(s), \phi'(s)),$

dove i è l'unità immaginaria. Sfruttando la definizione di curvatura si può dare un'altra forma al versore normale:

$N(s) = \frac {T'(s)}{\| T'(s) \|} = \frac {T'(s)}{k(s)}.$

Si dimostra che il vettore $T'$ è ortogonale a T e quindi parallelo ad N.

In definitiva le formule di Frenet e la curvatura per una curva piana con parametrizzazione qualsiasi $\alpha(t) = (\phi(t),\psi(t))$ sono:

$T(t) = \frac {\alpha'(t)}{\| \alpha'(t) \|}$

$N(t) = \frac {i \cdot \alpha'(t)}{\| \alpha'(t) \|}$

$k(t) = \frac {\alpha''(t) \cdot (i \alpha'(t))}{\| \alpha'(t) \|^3}$

Voci correlate

• Curva (matematica)
• Differenziabilità
• Derivata
• Curva nello spazio
• Geometria differenziale delle curve

Bibliografia

• Luciano Cresci, Le curve celebri: Invito alla storia della matematica attraverso le curve piane più affascinanti, Franco Muzzio Editore, 1998, pp. 194. ISBN 8870218643

Collegamenti esterni

• (EN) Geometry Center
• Macchine per il tracciamento di curve piane dal Laboratorio di Matematica di Modena del Museo di Storia Naturale e della Strumentazione Scientifica dell'Università di Modena e Reggio Emilia.
• (EN) Curve famose da MacTutor
• (FR) curve 2D, e curve 3D da Mathcurve, Encyclopédie des formes Mathématiques remarquables
• (EN) Mathematics Museum (Japan) presenta varie figure, generate soprattutto mediante il sistema computazionale Mathematica.
• (EN) A Visual Dictionary of Famous Plane Curves presenta varie figure, generate soprattutto mediante il sistema computazionale Mathematica.

Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica