Archimede

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(LA)
« Summis ingeniis dux et magister fuit »
(IT)
« Dei più alti ingegni fu guida e maestro »
(J.L. Heiberg, Archimedis opera omnia III, Prolegomena XCV)
(GRE)
« Εὕρηκα! »
(IT)
« Eureka! »
(Archimede)
Archimede in un dipinto di Domenico Fetti (1620)

Archimede di Siracusa (in greco antico Ἀρχιμήδης, traslitterato in Archimédes; Siracusa, 287 a.C. circa – Siracusa, 212 a.C.[1]) è stato un matematico, fisico e inventore siracusano.

Considerato come uno dei più grandi scienziati e matematici della storia, i contributi di Archimede spaziano dalla geometria all'idrostatica, dall'ottica alla meccanica. Fu in grado di calcolare la superficie e il volume della sfera e intuì le leggi che regolano il galleggiamento dei corpi. In campo ingegneristico, Archimede scoprì e sfruttò i principi di funzionamento delle leve e il suo stesso nome è associato a numerose macchine e dispositivi, come la vite di Archimede, a dimostrazione della sua capacità inventiva. Circondate ancora da un alone di mistero sono invece le macchine da guerra che Archimede avrebbe preparato per difendere Siracusa dall'assedio romano.

La vita di Archimede è ricordata attraverso numerosi aneddoti, talvolta di origine incerta, che hanno contribuito a costruire la figura dello scienziato nella mente collettiva. Ad esempio, è rimasta celebre nei secoli l'esclamazione héureka! (εὕρηκα! - ho trovato!) a lui attribuita dopo la scoperta del principio di Archimede.

Biografia[modifica | modifica wikitesto]

Elementi storici[modifica | modifica wikitesto]

Statua di Archimede al Treptower Park di Berlino

Si hanno pochi dati certi sulla sua vita. Tutte le fonti concordano intanto sul fatto che fosse siracusano e che sia stato ucciso durante il sacco di Siracusa del 212 a.C. Vi è inoltre la notizia, tramandata da Diodoro Siculo, che abbia soggiornato in Egitto e che ad Alessandria d'Egitto abbia stretto amicizia con il matematico e astronomo Conone di Samo. L'unica cosa certa è che egli fu veramente in contatto con Conone (come si evince dal rimpianto per la sua morte espresso in alcune opere.[2]) che però potrebbe aver conosciuto in Sicilia. Tenne corrispondenza con vari scienziati di Alessandria, tra cui Eratostene, al quale dedicò il trattato Il metodo e Dositeo.

Secondo Plutarco era imparentato col monarca Gerone II.[3] La tesi è controversa ma trova riscontro nella stretta amicizia e stima che, anche secondo altri autori, li legava. La data di nascita non è certa. Viene di solito accettata quella del 287 a.C., sulla base dell'informazione, riferita dall'erudito bizantino Giovanni Tzetzes, che fosse morto all'età di settantacinque anni.[4] Non si sa però se Tzetzes si basasse su fonti attendibili ora perdute o avesse solo tentato di quantificare il dato, riportato da vari autori, che Archimede fosse vecchio al momento dell'uccisione. L'ipotesi che fosse figlio di un astronomo siracusano di nome Fidia (altrimenti sconosciuto) è basata sulla ricostruzione di una frase di Archimede effettuata dal filologo Friedrich Blass, contenuta nell'Arenario, che nei manoscritti era giunta corrotta e priva di senso.[5] Se questa ipotesi è corretta, si può pensare che abbia ereditato dal padre l'amore per le scienze esatte.[6]

Archimede intento a studiare la geometria in un particolare de La scuola di Atene di Raffaello; ha le sembianze di Donato Bramante

Dalle opere conservate e dalle testimonianze si sa che si occupò di tutte le branche delle scienze a lui contemporanee (aritmetica, geometria piana e solida, meccanica, ottica, idrostatica, astronomia ecc.) e di varie applicazioni tecnologiche.

Polibio,[7] Tito Livio[8] e Plutarco[9] riferiscono che durante la seconda guerra punica, su richiesta di Gerone II, si dedicò (a detta di Plutarco con minore entusiasmo ma secondo tutti e tre con grandi successi) alla realizzazione di macchine belliche che aiutassero la sua città a difendersi dall'attacco di Roma. Plutarco racconta che, contro le legioni e la potente flotta di Roma, Siracusa disponeva di poche migliaia di uomini e del genio di un vecchio; le macchine di Archimede avrebbero scagliato massi ciclopici e una tempesta di ferro contro le sessanta imponenti quinquereme di Marco Claudio Marcello. Fu ucciso nel 212 a.C., durante il sacco di Siracusa. Secondo la tradizione l'uccisore sarebbe stato un soldato romano che, non avendolo riconosciuto, non avrebbe eseguito l'ordine di catturarlo vivo.[10]

Archimede godeva di grande stima sia nel suo paese, infatti era un riferimento per re Gerone, sia ad Alessandria d'Egitto, dove intratteneva una corrispondenza con i più illustri matematici del suo tempo, sia tra i Romani, tant'è che secondo la leggenda era stato ordinato di catturarlo vivo (invece fu ucciso). Il comandante romano fece costruire una tomba in suo onore.[11]

Due celebri aneddoti[modifica | modifica wikitesto]

La soluzione di Archimede al problema della corona d'oro

Nell'immaginario collettivo Archimede è indissolubilmente legato a due aneddoti. Vitruvio racconta che avrebbe iniziato ad occuparsi di idrostatica perché il sovrano Gerone II gli aveva chiesto di determinare se una corona fosse stata realizzata in oro puro oppure utilizzando (all'interno della corona) altri metalli.[12] Egli avrebbe scoperto come risolvere il problema mentre faceva un bagno, notando che immergendosi nell'acqua si verificava l'innalzamento del suo livello. L'osservazione l'avrebbe reso così felice che sarebbe uscito nudo di casa e avrebbe corso per le strade di Siracusa esclamando "εὕρηκα" (héureka!, ho trovato!). Se non fossimo a conoscenza del trattato Sui corpi galleggianti non si potrebbe dedurre il livello dell'idrostatica archimedea dal racconto vitruviano.[13]

Vitruvio riferisce che il problema sarebbe stato risolto misurando i volumi della corona e di un eguale peso d'oro immergendoli in un recipiente colmo d'acqua e misurando l'acqua traboccata. Si tratta però di un procedimento poco plausibile, sia perché comporta un errore troppo grande, sia perché non ha alcuna relazione con l'idrostatica sviluppata da Archimede. Secondo una ricostruzione più attendibile, attestata nella tarda antichità,[14] Archimede aveva suggerito di pesare la corona e un quantitativo di oro uguale in peso immersi entrambi in acqua. Se la corona fosse stata d'oro puro la bilancia sarebbe stata in equilibrio. Poiché invece la bilancia si abbassò dalla parte dell'oro, si poté dedurre che, essendo pari i pesi, la corona aveva subito una spinta idrostatica verso l'alto maggiore, quindi doveva avere un maggiore volume, il che implicava che doveva essere stata fabbricata impiegando anche altri metalli, in quanto tali metalli (come per esempio l'argento) avevano densità minore dell'oro.[15]

Secondo un altro aneddoto altrettanto famoso Archimede (o Gerone) sarebbe riuscito a spostare una nave grazie ad una macchina da lui inventata. Esaltato dalla capacità di costruire macchine che potessero spostare grandi pesi con piccole forze, in questa o in un'altra occasione avrebbe esclamato: “datemi un punto d'appoggio e solleverò la Terra”. La frase è riportata, con piccole varianti, da vari autori, tra i quali Pappo di Alessandria[16] e Simplicio.[17]

Leggende sulla morte[modifica | modifica wikitesto]

(GRC)
« Ἄφνω δ'ἐπιστάντος αὐτῷ στρατιώτου καὶ κελεύοντος ἀκολουθεῖν πρὸς Μάρκελλον, οὐκ ἐβούλετο πρὶν ἢ τελέσαι τὸ πρόβλημα καὶ καταστῆσαι πρὸς τὴν ἀπόδειξιν. Ὁ δ'ὀργισθεὶς καῖ σπασάμενος τὸ ξίφος ἀνεῖλεν αὐτόν »
(IT)
« Ad un tratto entrò nella stanza un soldato romano che gli ordinò di andare con lui da Marcello. Archimede rispose che sarebbe andato dopo aver risolto il problema e messa in ordine la dimostrazione. Il soldato si adirò, sguainò la spada e lo uccise. »
(Plutarco, Vita di Marcello, 19, 9)
La morte di Archimede
Presunta tomba di Archimede a Siracusa

La leggenda ha tramandato ai posteri anche le ultime parole di Archimede, rivolte al soldato che stava per ucciderlo: «noli, obsecro, istum disturbare» (non rovinare, ti prego, questo disegno).[18] Plutarco, dal canto suo, narra[19] tre differenti versioni della morte di Archimede.

Nella prima afferma che un soldato romano avrebbe intimato ad Archimede di seguirlo da Marcello; al suo rifiuto di farlo prima di aver risolto il problema cui si stava applicando, il soldato lo avrebbe ucciso.

Nella seconda un soldato romano si sarebbe presentato per uccidere Archimede e quest'ultimo lo avrebbe pregato invano di lasciargli terminare la dimostrazione nella quale era impegnato. Nella terza, dei soldati avrebbero incontrato Archimede mentre portava a Marcello alcuni strumenti scientifici, meridiane, sfere e squadre, in una cassetta; pensando che la cassetta contenesse oro, i soldati lo avrebbero ucciso per impadronirsene.

Secondo Tito Livio[20] e Plutarco,[21] Marcello, che avrebbe conosciuto e apprezzato l'immenso valore del genio di Archimede e forse avrebbe voluto utilizzarlo al servizio della Repubblica, sarebbe stato profondamente addolorato per la sua morte. Questi autori raccontano che fece dare onorevole sepoltura allo scienziato. Ciò non è però riferito da Polibio, che è considerato fonte più autorevole sull'assedio e il saccheggio di Siracusa.

Cicerone racconta di avere scoperto la tomba di Archimede grazie a una sfera inscritta in un cilindro, che vi sarebbe stata scolpita in ottemperanza alla volontà dello scienziato.[22]

(LA)
« Cuius [i.e. Archimedis] ego quaestor ignoratum ab Syracusanis, cum esse omnino negarent, saeptum undique et vestitum vepribus et dumetis indagavi sepulcrum. Tenebam enim quosdam senariolos, quos in eius monumento esse inscriptos acceperam, qui declarabant in summo sepulcro sphaeram esse positam cum cylindro. Ego autem cum omnia collustrarem oculis - est enim ad portas Agragantinas magna frequentia sepulcrorum - animum adverti columellam non multum e dumis eminentem, in qua inerat sphaerae figura er cylindri. Atque ego statim Syracusanis - erant autem principes mecum - dixi me illud ipsum arbitrari esse, quod quaererem. Immissi cum falcibus multi purgarunt et aperuerunt locum. Quo cum patefactus esset aditus, ad adversam basim accessimus. Apparebat epigramma exesis posterioribus partibus versiculorum dimidiatum fere. ita nobilissima Graeciae civitas, quondam vero etiam doctissima, sui civis unius acutissimi monumentum ignorasset, nisi ab homine Arpinate didicisset. »
(IT)
« Io quand'ero questore scoprii la sua tomba [di Archimede], sconosciuta ai Siracusani, cinta con una siepe da ogni lato e vestita da rovi e spineti, sebbene negassero completamente che esistesse. Tenevo, infatti, alcuni piccoli senari, che avevo sentito essere scritti nel suo sepolcro, i quali dichiaravano che alla sommità del sepolcro era posta una sfera con un cilindro. Io, poi, osservando con gl'occhi tutte le cose - c'è, infatti, alle porte Agrigentine una grande abbondanza di sepolcri - volsi l'attenzione ad una colonnetta non molto sporgente in fuori da dei cespugli, sulla quale c'era sopra la figura di una sfera e di un cilindro. E allora dissi subito ai Siracusani - c'erano ora dei principi con me - che io ero testimone di quella stessa cosa che stavo cercando. Mandati dentro con falci, molti ripulirono e aprirono il luogo. Per il quale, dopo che era stato aperto l'accesso, arrivammo alla base posta di fronte. Appariva un epigramma sulle parti posteriori corrose, di brevi righe, quasi dimezzato. Così la nobilissima cittadinanza della Grecia, una volta veramente molto dotta, avrebbe ignorato il monumento del suo unico cittadino acutissimo, se non lo fosse venuto a sapere da un uomo di Arpino. »
(Cicerone, Tusculanae disputationes V 23, 64-66)

Archimede ingegnere e inventore[modifica | modifica wikitesto]

Ordigni bellici[modifica | modifica wikitesto]

Stampa che riproduce l'uso degli specchi ustori durante l'assedio romano a Siracusa

Archimede deve gran parte della popolarità al suo contributo alla difesa di Siracusa contro l'assedio romano durante la seconda guerra punica. Polibio, Tito Livio e Plutarco descrivono macchine belliche di sua invenzione, tra cui la manus ferrea, artiglio meccanico in grado di ribaltare le imbarcazioni nemiche, e armi da getto da lui perfezionate.[7][8][9]

Nel II secolo lo scrittore Luciano di Samosata, riportò che durante l'assedio di Siracusa (circa 214-212 a.C.), Archimede distrusse le navi nemiche con il fuoco. Secoli dopo, Antemio di Tralles menziona delle "lenti con il fuoco" come armi progettate da Archimede. Lo strumento, chiamato "specchi ustori di Archimede", fu progettato con lo scopo di concentrare la luce solare sulle navi che si avvicinavano, causando loro incendi.[23][24]

Questa presunta arma fu oggetto di dibattiti sulla sua veridicità fin dal Rinascimento. René Descartes la ritenne falsa, mentre i ricercatori moderni hanno tentato di ricreare l'effetto usando i soli mezzi disponibili ad Archimede.[25] È stato ipotizzato che una vasta schiera di scudi di bronzo o rame lucidati fossero stati impiegati come specchi per concentrare la luce solare su una nave. Questo avrebbe utilizzato il principio della riflessione parabolica in un modo simile a una fornace solare.

Un esperimento per testare gli specchi ustori di Archimede fu effettuato nel 1973 dalle scienziato greco Ioannis Sakkas. L'esperimento ha avuto luogo presso la base navale di Skaramagas, fuori Atene. In questa occasione sono stati utilizzati 70 specchi, ciascuno con un rivestimento di rame e con una dimensione di circa 1 metro e mezzo. Gli specchi sono stati puntati una riproduzione realizzata in compensato di una nave da guerra romana ad una distanza di circa 50 m. Quando gli specchi hanno concentrato i raggi solari con precisione la nave ha preso fuoco in pochi secondi. Il modello aveva un rivestimento di vernice di catrame che può aver aiutato la combustione.[26] Un rivestimento tale sarebbe stato comune sulle navi di quell'epoca.[27]

La Siracusia[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Siracusia.

Moschione, in un'opera di cui Ateneo riporta ampi stralci, descrive una nave immensa voluta dal re Gerone II e costruita da Archia di Corinto[28] con la supervisione di Archimede.[29] L'imbarcazione, la più imponente dell'antichità, fu chiamata Siracusia. Il nome fu cambiato in quello di Alessandria quando fu inviata in regalo al re Tolomeo III d'Egitto assieme a un carico di grano, per dimostrare la ricchezza della città siciliana. Per questa barca, Archimede adottò uno strumento, la coclea, che permetteva di pompare l'acqua al di fuori delle stive, mantenendole asciutte.[30]

L'orologio ad acqua[modifica | modifica wikitesto]

Un manoscritto arabo contiene la descrizione di un ingegnoso orologio ad acqua progettato da Archimede.[31] Nell'orologio il flusso dell'acqua uscente era mantenuto costante grazie all'introduzione di una valvola galleggiante. L'orologio era costituito da due vasche, una sopraelevata rispetto all'altra. La più alta era dotata di un rubinetto che erogava un flusso costante di acqua nella vasca inferiore. Sopra la vasca inferiore era posta un'asse girevole alla quale era arrotolato un filo alle cui estremità erano legate una piccola pietra e un galleggiante. All'inizio della giornata la vasca inferiore doveva essere vuota e il filo veniva tirato giù affinché il galleggiante toccasse il fondo e la pietra salisse in cima. Aprendo il rubinetto la vasca inferiore cominciava a riempirsi sollevando il galleggiante e facendo abbassare la pietra. La lunghezza del filo e il flusso dell'acqua erano calibrati in modo che fossero le 12 quando il galleggiante si trovava all'altezza della pietra e le 6 del pomeriggio quando la pietra era sul fondo. Archimede si pose il problema di mantenere costante il flusso dal rubinetto: infatti, svuotandosi la vasca superiore, si riduceva la pressione dell'acqua ed il flusso diminuiva. Allora aggiunse, più in alto delle prime due una terza vasca che, tramite un galleggiante riempiva la seconda per mantenerne costante il livello e dunque la pressione con cui l'acqua fuoriusciva dal rubinetto.[32]

Un merito che oggi viene riconosciuto ad Archimede è anche quello di essere stato il primo a interpretare il tempo come una grandezza fisica analizzabile con gli strumenti matematici usati per le grandezze geometriche (ad esempio nel trattato Sulle spirali rappresenta intervalli di tempo con segmenti e applica loro la teoria delle proporzioni di Euclide).[33]

Invenzioni meccaniche[modifica | modifica wikitesto]

Il principio del sollevamento della vite di Archimede

Ateneo,[34] Plutarco[3] e Proclo[35] raccontano che Archimede aveva progettato una macchina con la quale un solo uomo poteva spostare una nave con equipaggio e carico. In Ateneo l'episodio è riferito al varo della Siracusia, mentre Plutarco parla di un esperimento dimostrativo, eseguito per mostrare al sovrano le possibilità della meccanica. Questi racconti contengono indubbiamente dell'esagerazione, ma il fatto che Archimede avesse sviluppato la teoria meccanica che permetteva la costruzione di macchine con elevato vantaggio meccanico assicura che fossero nati da una base reale.

Secondo le testimonianze di Ateneo[36] e Diodoro Siculo[37] egli aveva anche inventato quel meccanismo per il pompaggio dell'acqua, impiegato per l'irrigazione dei campi coltivati, noto come vite di Archimede.

« Non mi pare che in questo luogo sia da passar con silenzio l'invenzione di Archimede d'alzar l'acqua con la vite: la quale non solo è maravigliosa, ma è miracolosa; poiché troveremo, che l'acqua ascende nella vite discendendo continuamente »
(Galileo Galilei, Mecaniche)

Lo storico della tecnologia Andre W. Sleeswyk ha attribuito ad Archimede anche l'odometro, descritto da Vitruvio.[38]

Il planetario[modifica | modifica wikitesto]

Una delle realizzazioni di Archimede più ammirate nell'antichità fu il planetario. Le migliori informazioni su quest'oggetto sono fornite da Cicerone, il quale scrive che nell'anno 212 a.C., quando Siracusa fu saccheggiata dalle truppe romane, il console Marco Claudio Marcello portò a Roma un apparecchio costruito da Archimede che riproduceva su una sfera la volta del cielo e un altro che prediceva il moto apparente del sole, della luna e dei pianeti, equivalente quindi a una moderna sfera armillare.[39][40][41] Cicerone, riferendo le impressioni di Gaio Sulpicio Gallo che aveva potuto osservare lo straordinario oggetto, sottolinea come il genio di Archimede fosse riuscito a generare i moti dei pianeti, tra loro tanto diversi, a partire da un'unica rotazione. È noto grazie a Pappo che Archimede aveva descritto la costruzione del planetario nell'opera perduta Sulla Costruzione delle Sfere.[42]

La scoperta della macchina di Anticitera, un dispositivo a ingranaggi che secondo alcune ricerche risale alla seconda metà del II sec. a.C., dimostrando quanto fossero elaborati i meccanismi costruiti per rappresentare il moto degli astri, ha riacceso l'interesse sul planetario di Archimede. Un ingranaggio identificabile come appartenuto al planetario di Archimede sarebbe stato rinvenuto nel luglio del 2006 a Olbia; gli studi sul reperto sono stati presentati al pubblico nel dicembre del 2008. Secondo una ricostruzione il planetario, che sarebbe passato ai discendenti del conquistatore di Siracusa, potrebbe essere andato perso nel sottosuolo di Olbia (probabile scalo del viaggio) prima del naufragio della nave che trasportava Marco Claudio Marcello (console 166 a.C.) in Numidia.[43]

(LA)
« Nam cum Archimedes lunae solis quinque errantium motus in sphaeram inligavit, effecit idem quod ille, qui in Timaeo mundum aedificavit, Platonis deus, ut tarditate et celeritate dissimillimos motus una regeret conversio. Quod si in hoc mundo fieri sine deo non potest, ne in sphaera quidem eosdem motus Archimedes sine divino ingenio potuisset imitari. »
(IT)
« In realtà, quando Archimede racchiuse in una sfera i movimenti della luna, del sole e dei cinque pianeti, fece lo stesso che colui che nel Timeo edificò l'universo, il dio di Platone, e cioè che un' unica rivoluzione regolasse movimenti molto diversi per lentezza e velocità. E se questo non può avvenire nel nostro universo senza la divinità, neanche nella sfera Archimede avrebbe potuto imitare i medesimi movimenti senza un'intelligenza divina. »
(Cicerone, Tusculanae disputationes I, 63)

Misura del diametro della pupilla[modifica | modifica wikitesto]

Archimede utilizzò un regolo graduato per misurare la dimensione apparente del sole. Accortosi di un grande errore nella misura, provò a misurare il diametro della pupilla dell'occhio umano. Con l'utilizzo del regolo ottenne il diametro medio, ottenendo poi una migliore stima del diametro del sole.[44]

Archimede matematico e fisico[modifica | modifica wikitesto]

I risultati scientifici di Archimede possono essere esposti descrivendo prima il contenuto delle opere conservate[45] e poi le testimonianze sui lavori perduti.

Opere conservate[modifica | modifica wikitesto]

La misura del cerchio[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi La misura del cerchio, Approssimazioni numeriche di π e Definizione rigorosa del Pi greco in geometria euclidea.

Già nella Bibbia si suggeriva che il rapporto tra la semicirconferenza e il raggio fosse circa 3[46] e tale approssimazione era accettata universalmente.[47]

Nel breve lavoro La misura del cerchio, Archimede, dimostra anzitutto che un cerchio equivale a un triangolo con base di lunghezza eguale a quella della circonferenza e altezza di lunghezza uguale a quella del raggio. Tale risultato è ottenuto approssimando il cerchio, dall'interno e dall'esterno, con poligoni regolari inscritti e circoscritti. Con lo stesso procedimento Archimede espone un metodo con il quale può approssimare quanto più possibile il rapporto, che oggi s'indica con π, tra lunghezza di una circonferenza e diametro di un cerchio dato. Le stime ottenute limitano questo valore fra 22/7 (circa 3,1429) e 223/71 (circa 3,1408).[48][49]

Metodo di quadratura del cerchio

Quadratura della parabola[modifica | modifica wikitesto]

Procedimento per determinare il massimo triangolo inscritto

Nell'opera Quadratura della parabola (che Archimede dedica a Dositeo) è calcolata l'area di un segmento di parabola, figura delimitata da una parabola e una linea secante, non necessariamente ortogonale all'asse della parabola, trovando che vale i 4/3 dell'area del massimo triangolo in esso inscritto.[50]

Si dimostra che il massimo triangolo inscritto può essere ottenuto mediante un determinato procedimento. Il segmento della secante compreso tra i due punti di intersezione è detto base del segmento di parabola. Si considerano le rette parallele all'asse della parabola passanti per gli estremi della base. Viene poi tracciata una terza retta parallela alle prime due e da loro equidistante.[50]

L'intersezione di quest'ultima retta con la parabola determina il terzo vertice del triangolo. Sottraendo al segmento di parabola il massimo triangolo inscritto si ottengono due nuovi segmenti di parabola, nei quali si possono inscrivere due nuovi triangoli. Iterando il procedimento si riempie il segmento di parabola con infiniti triangoli.[50]

L'area richiesta è ottenuta calcolando le aree dei triangoli e sommando gli infiniti termini ottenuti. Il passo finale si riduce alla somma della serie geometrica di ragione 1/4:

 \sum_{n=0}^\infty 4^{-n} = 1 + 4^{-1} + 4^{-2} + 4^{-3} + \cdots = {4\over 3} \; .

È questo il primo esempio conosciuto di somma di una serie.[51][52] All'inizio dell'opera è introdotto quello che oggi è chiamato Assioma di Archimede.[53]

Dimostrazione della quadratura della parabola
Dimostrazione della quadratura della parabola

Dato un segmento di parabola delimitato dalla secante AC, si inscrive un primo triangolo massimo ABC.

Nei 2 segmenti di parabola AB e BC si inscrivono altri 2 triangoli ADB e BEC.

Si prosegue nello stesso modo per i 4 segmenti di parabola AD, DB, BE e EC formando i triangoli AFD, DGB, BHE e EIC.

Sfruttando le proprietà della parabola si dimostra che l'area del triangolo ABC è pari a 4 volte l'area di ADB + BEC e che: ADB + BEC = 4 (AFD + DGB + BHE + EIC)

Ogni passaggio aggiunge all'area del triangolo 1/4 dell'area del precedente.

A questo punto basta mostrare che il poligono che si costruisce in questo modo approssima effettivamente il segmento di parabola e che la somma della serie delle aree dei triangoli è uguale a 4/3 del primo triangolo.[54]

Sull'equilibrio dei piani ovvero: sui centri di gravità dei piani[modifica | modifica wikitesto]

Sull'equilibrio dei piani ovvero: sui centri di gravità dei piani, opera in due volumi, è il primo trattato di statica a noi pervenuto. Archimede vi enuncia un insieme di postulati su cui basa la nuova scienza e dimostra la legge della leva. I postulati definiscono anche, implicitamente, il concetto di baricentro, la cui posizione viene determinata nel caso di diverse figure geometriche piane.[55]

Sulle spirali [modifica | modifica wikitesto]

Ne Sulle spirali, che è tra le sue opere principali, Archimede definisce con un metodo cinematico ciò che oggi è chiamata spirale di Archimede e ottiene due risultati di grande importanza. In primo luogo calcola l'area del primo giro della spirale, con un metodo che anticipa l'integrazione di Riemann.[56] Riesce poi a calcolare in ogni punto della curva la direzione della tangente, anticipando metodi che saranno impiegati nella geometria differenziale. Definizione di Archimede della spirale: una retta che ha un’estremità fissata ruota uniformemente; su di essa si muove di moto uniforme un punto: la curva descritta da questo punto sarà la spirale.[57]

Della sfera e del cilindro[modifica | modifica wikitesto]

I principali risultati di Della sfera e del cilindro, opera in due libri, sono che l'area della superficie della sfera è quattro volte l'area del suo cerchio massimo e che il volume della sfera è due terzi del volume del cilindro circoscritto.

Secondo una tradizione trasmessa da Plutarco e Cicerone, Archimede era così fiero di quest'ultimo risultato che volle che fosse riprodotto come epitaffio sulla sua tomba.[58]

Sui conoidi e sferoidi[modifica | modifica wikitesto]

Nell'opera Sui conoidi e sferoidi Archimede definisce ellissoidi, paraboloidi e iperboloidi di rotazione, ne considera segmenti ottenuti sezionando tali figure con piani e ne calcola i volumi.

Sui corpi galleggianti[modifica | modifica wikitesto]

Il principio di Archimede sul galleggiamento dei corpi

Sui corpi galleggianti è una delle principali opere di Archimede, con essa viene fondata la scienza dell'idrostatica. Nel primo dei due volumi dell'opera si enuncia un postulato dal quale viene dedotto come teorema quello che oggi è impropriamente chiamato il principio di Archimede. Oltre a calcolare le posizioni di equilibrio statico dei galleggianti, si dimostra che in condizioni di equilibrio l'acqua degli oceani assume una forma sferica. Sin dall'epoca di Parmenide gli astronomi greci sapevano che la Terra avesse forma sferica, ma qui per la prima volta essa viene dedotta da principi fisici.[59]

Il secondo libro studia la stabilità dell'equilibrio di segmenti di paraboloide galleggianti. Il problema era stato scelto per l'interesse delle sue applicazioni alla tecnologia navale, ma la soluzione ha anche un grande interesse matematico. Archimede studia la stabilità al variare di due parametri, un parametro di forma e la densità, e determina valori di soglia di entrambi i parametri che separano le configurazioni stabili da quelli instabili. Per E.J. Dijksterhuis si tratta di risultati "decisamente al di là del confine della matematica classica".[60]

Arenario[modifica | modifica wikitesto]

« Alcuni pensano, o re Gelone, che il numero dei granelli di sabbia sia infinito in quantità: non intendo soltanto la sabbia che si trova nei dintorni di Siracusa e del resto della Sicilia, ma anche quella che si trova in ogni altra regione, abitata o deserta. Altri ritengono che questo numero non sia infinito, ma che non possa esistere un numero esprimibile e che superi questa quantità di sabbia. »
(Incipit de L'Arenario)

In Arenario, dedicato a Gelone II, Archimede si propone di determinare il numero di granelli di sabbia che potrebbero riempire la sfera delle stelle fisse. Il problema nasceva dal sistema greco di numerazione, che non permetteva di esprimere numeri così grandi. L'opera, pur essendo la più semplice dal punto di vista delle tecniche matematiche tra quelle di Archimede, ha vari motivi di interesse. Innanzitutto vi s'introduce un nuovo sistema numerico, che virtualmente permette di generare numeri comunque grandi. Il più grande numero nominato è quello che oggi si scrive 108•1016. Il contesto astronomico giustifica poi due importanti digressioni. La prima riferisce la teoria eliocentrica di Aristarco ed è la principale fonte sull'argomento. La seconda descrive un'accurata misura della grandezza apparente del Sole, fornendo una rara illustrazione dell'antico metodo sperimentale.[61]

1° postulato sull’equilibrio della leva fatto da Archimede[modifica | modifica wikitesto]

Dal punto di vista scientifico, le dimostrazioni proposte da Archimede sulle leve, sono alquanto innovative. Infatti, lo scienziato siceliota adotta un metodo rigorosamente deduttivo basato sulla meccanica dell'equilibrio dei corpi solidi. Per farlo dimostra le sue tesi e i suoi concetti di equilibrio e baricentro per mezzo della teoria delle proporzioni e con termini geometrici. Da questi studi venne postulata la 1° legge sull'equilibio della leva[62]:

« Corpi di peso uguali sono in equilibrio quando la loro distanza dal fulcro dei bracci della leva è uguale, nel caso di pesi disuguali questi non saranno in equilibrio »

Principio di leva[modifica | modifica wikitesto]

Il disegno illustra il principio della leva.

Partendo dall'idea di una bilancia, composta da un segmento e da un fulcro, cui sono appesi due corpi in equilibrio, si può affermare che il peso dei due corpi è direttamente proporzionale all'area ed al volume dei corpi stessi. Secondo la leggenda Archimede avrebbe detto: "datemi una leva e vi solleverò il mondo"[63] dopo aver scoperto la seconda legge sulle leve. Utilizzando leve vantaggiose, infatti, è possibile sollevare carichi pesanti con una piccola forza d'applicazione, secondo la legge:

P:R=br:pr

dove P è la potenza e R la resistenza, mentre br e pr sono i rispettivi bracci d'azione.[64][65]

Il metodo[modifica | modifica wikitesto]

Il breve lavoro Il metodo sui problemi meccanici, perduto almeno dal Medioevo, fu letto per la prima volta nel famoso palinsesto trovato da Heiberg nel 1906, poi di nuovo perduto, probabilmente trafugato da un monaco nel corso di un trasferimento di manoscritti, e ritrovato nel 1998.[66] Esso consente di penetrare nei procedimenti usati da Archimede nelle sue ricerche. Rivolgendosi ad Eratostene, spiega di usare due metodi nel suo lavoro.[67]

« Dato che so che sei abile e un eccellente maestro di filosofia e che non ti tiri indietro di fronte a problemi matematici che ti si presentano, ho pensato di esporti per iscritto e illustrarti in questo stesso libro un metodo di natura particolare, grazie al quale sarai in grado di venire a capo di problemi matematici grazie alla meccanica. Sono convinto che questo metodo sia utile per trovare le dimostrazioni dei teoremi; infatti alcune cose che inizialmente ho trovato grazie al metodo meccanico, le ho poi dimostrate geometricamente, perché lo studio con questo metodo non fornisce una dimostrazione effettiva »
(Estratto della lettera di Archimede a Eratostene[68])

Una volta individuato il risultato, per dimostrarlo formalmente usava quello che poi fu chiamato metodo di esaustione, del quale si hanno molti esempi in altre sue opere. Tale metodo non forniva però una chiave per individuare i risultati. A tale scopo Archimede si serviva di un "metodo meccanico", basato sulla sua statica e sull'idea di dividere le figure in un numero infinito di parti infinitesime. Archimede considerava questo metodo non rigoroso ma, a vantaggio degli altri matematici, fornisce esempi del suo valore euristico nel trovare aree e volumi; ad esempio, il metodo meccanico è usato per individuare l'area di un segmento di parabola.[67]

Il metodo possiede anche delle connotazioni filosofiche in quanto si pone il problema di considerare, come un vincolo necessario, l'applicazione della matematica alla fisica. Archimede utilizzava l'intuito per ottenere risultati meccanici immediati e innovativi, che poi però si impegnava nel dimostrarli rigorosamente da un punto di vista geometrico.[69]

Frammenti e testimonianze su opere perdute[modifica | modifica wikitesto]

Stomachion[modifica | modifica wikitesto]

Stomachion è un puzzle a dissezione contenuto nel Palinsesto di Archimede.

Lo Stomachion è un puzzle greco simile al Tangram, a cui Archimede dedicò un'opera di cui restano due frammenti, uno in traduzione araba, l'altro contenuto nel palinsesto di Archimede. Analisi effettuate nei primi anni duemila hanno permesso di leggerne nuove porzioni, che chiariscono che Archimede si proponeva di determinare in quanti modi le figure componenti potevano essere assemblate nella forma di un quadrato.[70] È un difficile problema nel quale gli aspetti combinatori s'intrecciano con quelli geometrici.

Il problema dei buoi[modifica | modifica wikitesto]

Il problema dei buoi è costituito da due manoscritti che presentano un epigramma nel quale Archimede sfida i matematici alessandrini a calcolare il numero di buoi e vacche degli Armenti del Sole risolvendo un sistema di otto equazioni lineari con due condizioni quadratiche. Si tratta di un problema diofanteo espresso in termini semplici, ma la sua soluzione più piccola è costituita da numeri con 206 545 cifre.[71]

La questione è stata affrontata sotto un diverso punto di vista nel 1975 da Keith G. Calkins,[72] ripreso successivamente nel 2004 da Umberto Bartocci e Maria Cristina Vipera, due matematici dell'Università di Perugia.[73] Si fa l'ipotesi che un "piccolo" errore di tradizione del testo del problema abbia reso "impossibile" (alcuni sostengono che tale era l'intenzione di Archimede[74]) un quesito che, formulato in maniera leggermente diversa, sarebbe stato invece affrontabile con i metodi della matematica del tempo.

Secondo Calogero Savarino, non di un errore di tradizione del testo si tratterebbe, bensì di una cattiva interpretazione, o di una combinazione delle due possibilità.[75]

Libro dei lemmi[modifica | modifica wikitesto]

Il Libro dei lemmi è pervenuto attraverso un testo arabo corrotto. Esso contiene una serie di lemmi geometrici il cui interesse è menomato dall'ignoranza odierna del contesto in cui erano usati.[76]

Catottrica[modifica | modifica wikitesto]

Archimede aveva scritto Catottrica, un trattato, di cui si hanno informazioni indirette, sulla riflessione della luce. Apuleio sostiene che era un'opera voluminosa che trattava, tra l'altro, dell'ingrandimento ottenuto con specchi curvi, di specchi ustori e dell'arcobaleno[77]. Secondo Olimpiodoro il Giovane vi era studiato anche il fenomeno della rifrazione.[78] Uno scolio alla Catottrica pseudo-euclidea attribuisce ad Archimede la deduzione delle leggi della riflessione dal principio di reversibilità del cammino ottico; è logico pensare che in quest'opera vi fosse anche questo risultato.[79]

Poliedri semiregolari[modifica | modifica wikitesto]

Un poliedro archimedeo, il dodecaedro camuso

In un'opera perduta, di cui fornisce informazioni Pappo,[80] Archimede aveva descritto la costruzione di tredici poliedri semiregolari, che ancora sono detti poliedri archimedei (nella terminologia moderna i poliedri archimedei sono quindici poiché vi s'includono anche due poliedri che Archimede non aveva considerato, quelli chiamati impropriamente prisma archimedeo e antiprisma archimedeo).

Formula di Erone[modifica | modifica wikitesto]

La formula di Erone, che esprime l'area di un triangolo a partire dai lati, è così chiamata perché è contenuta nei Metrica di Erone di Alessandria, ma secondo la testimonianza di al-Biruni il vero autore sarebbe Archimede, che l'avrebbe esposta in un'altra opera perduta.[81] La dimostrazione trasmessa da Erone è particolarmente interessante perché un quadrato vi viene elevato al quadrato, un procedimento strano nella matematica greca, in quanto l'ente ottenuto non è rappresentabile nello spazio tridimensionale.

Il Libro di Archimede[modifica | modifica wikitesto]

Thābit ibn Qurra presenta come Libro di Archimede un testo in lingua araba tradotto da J. Tropfke.[82] Tra i teoremi contenuti in quest'opera appare la costruzione di un ettagono regolare, un problema non risolubile con riga e compasso.

Altre opere[modifica | modifica wikitesto]

Un passo di Ipparco in cui si citano determinazioni dei solstizi compiute da Archimede, trasmesso da Tolomeo, fa pensare che egli avesse scritto anche opere di astronomia.[83] Pappo, Erone e Simplicio gli attribuiscono vari trattati di meccanica e diversi titoli di opere di geometria sono trasmessi da autori arabi.

Il Palinsesto di Archimede[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Palinsesto di Archimede.
Una pagina tipica del Palinsesto di Archimede. Il testo del libro di preghiere è visibile scritto dall'alto al basso, il manoscritto originale di Archimede è visibile come un testo più tenue scritto da sinistra a destra

Il Palinsesto di Archimede è il documento contenente tutto il lavoro dello scienziato. Nel 1906, il professore danese Johan Ludvig Heiberg esaminando a Costantinopoli 174 pagine di pergamena di pelle di capra contenenti preghiere del XIII secolo, scoprì che su queste pergamene vi erano in precedenza degli scritti di Archimede: il Palinsesto. Visto il prezzo elevato della pergamena durante il periodo medioevale, questi scritti vennero raschiati, con una tecnica allora frequente, per poter riutilizzare la carta.[84] Queste pergamene trascorsero centinaia di anni in una biblioteca del monastero di Costantinopoli prima di essere vendute ad un collezionista privato nel 1920. Il 29 ottobre 1998 sono state vendute all'asta ad un acquirente anonimo per due milioni di dollari.[85]

Il palinsesto contiene sette trattati, tra cui l'unica copia superstite de sui corpi galleggianti nel greco originale. È l'unica fonte conosciuta del Metodo dei Teoremi Meccanici, nominato sulla Suida, e che si riteneva fosse andato perso per sempre. Anche lo Stomachion è stato trovato nelle pergamene, con un'analisi più completa rispetto ai testi precedenti. Il Palinsesto è stato studiato presso il Walters Art Museum di Baltimora, nel Maryland, dove è stato sottoposto ad una serie di test moderni, compreso l'uso di raggi ultravioletti e raggi X per poterne leggere il testo sovrascritto.[86]

I trattati contenuti nel Palinsesto di Archimede sono: sull'Equilibrio dei piani, Sulle spirali, Misura di un cerchio, Sulla sfera e sul cilindro, Sui corpi galleggianti, Metodo dei Teoremi Meccanici e Stomachion.

La tradizione del corpus archimedeo[modifica | modifica wikitesto]

In effetti l'avvincente storia del palinsesto è solo uno degli aspetti della tradizione del corpus delle opere di Archimede, ovvero del processo attraverso il quale le sue opere sono giunte fino a noi.

Bisogna cominciare con l'osservare che già nell'Antichità i suoi testi più avanzati non godettero di grande considerazione, al punto che Eutocio (VI sec. d.C.) sembra non conoscere né la Quadratura della parabola né le Spirali. All'epoca di Eutocio infatti pare fossero in circolazione solo i due libri del Sulla sfera e il cilindro, la Misura del cerchio e i due libri dell'Equilibrio dei piani. In effetti gli Arabi non sembrano aver conosciuto molto di più o di diverso dell'opera di Archimede, tanto che nel Medioevo latino l'unico testo archimedeo in circolazione saranno varie versioni della Misura del cerchio tradotte dall'arabo.

Diversa la situazione nel mondo greco: nel IX secolo, ad opera di Leone il matematico vengono allestiti a Costantinopoli almeno tre codici contenenti opere di Archimede: il codice A, il codice ฿ (b 'gotico') e il codice C, quello destinato poi a divenire un palinsesto nell'XI secolo. A e ฿ si trovavano nella seconda metà del XIII secolo nella biblioteca della corte papale di Viterbo: Guglielmo di Moerbeke li utilizzò per la sua traduzione dell'opera di Archimede eseguita nel 1269. La traduzione di Guglielmo è oggi conservata nel ms. Ottob. Lat. 1850 della Biblioteca vaticana dove fu scoperta da Valentin Rose nel 1882. Il codice ฿ (che era il solo, oltre al codice C a contenere il testo greco dei Galleggianti) andò perduto dopo il 1311. Diversa sorte ebbe il codice A: nel corso del Quattrocento finì prima in possesso del cardinale Bessarione che ne fece trarre uan copia, oggi conservata alla biblioteca Marciana di Venezia; poi dell'umanista piacentino Giorgio Valla che pubblicò alcuni brevi excerpta del commento di Eutocio nella sua enciclopedia De expetendis et fugiendis rebus opus, pubblicata postuma a Venezia nel 1501. Copiato varie altre volte, il codice A finì in possesso del cardinale Rodolfo Pio; venduto alla sua morte (1564) non è più stato rintracciato.

Tuttavia, le numerose copie che di esso restano (e in particolare il ms. Laurenziano XXVIII,4, fatto copiare da Poliziano per Lorenzo de Medici con assoluta fedeltà all'antico modello del IX secolo) hanno permesso al grande filologo danese Johan Ludvig Heiberg di ricostruire questo importante codice perduto (l'edizione definitiva di Heiberg del corpus è del 1910--15).

Un discorso a parte merita la traduzione eseguita a metà del Quattrocento da Iacopo da San Cassiano. Sulla scia di Heiberg, fin qui si riteneva che Iacopo avesse tradotto uutilizzando il codice A. Più recenti studi[87] hanno invece dimostrato che Iacopo si servì di un modello indipendente da A. La sua traduzione viene così a costituire un quarto ramo della tradizione archimedea, insieme ad A, ฿, e il palinsesto C.

Il ruolo di Archimede nella storia della scienza[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Scienza greco-romana e Metodo scientifico.
Ritratto ideale di Archimede

L'opera di Archimede rappresenta uno dei punti massimi dello sviluppo della scienza nell'antichità. In essa, la capacità di individuare insiemi di postulati utili a fondare nuove teorie si unisce con la potenza e originalità degli strumenti matematici introdotti, con un interesse maggiore verso i fondamenti della scienza e della matematica. Plutarco racconta infatti che Archimede fu convinto dal re Gerone a dedicarsi agli aspetti più applicativi e a costruire macchine, di carattere principalmente bellico, per aiutare più concretamente lo sviluppo e la sicurezza della società.[88] Archimede si dedicò alla matematica, alla fisica e all'ingegneria, in un'epoca in cui le divisioni fra queste discipline non erano nette come oggi, ma in cui comunque, secondo la filosofia platonica, la matematica doveva avere un carattere astratto e non applicativo come nelle sue invenzioni.[88] I lavori di Archimede costituirono quindi per la prima volta una importante applicazione delle leggi della geometria alla fisica, in particolare alla statica e all'idrostatica.[89]

Nell'antichità Archimede e le sue invenzioni furono descritte con meraviglia e stupore dagli autori classici greci e latini, come Cicerone, Plutarco e Seneca. Grazie a questi racconti nel tardo medioevo e all'inizio dell'era moderna, un grande interesse mosse la ricerca e il recupero delle opere di Archimede, trasmesse e talvolta perdute durante il medioevo per via manoscritta.[88] La cultura romana rimase quindi impressionata per lo più dalle macchine di Archimede piuttosto che dai suoi studi matematici e geometrici, al punto che lo storico della matematica Carl Benjamin Boyer si spinse ad affermare in modo più che pungente che la scoperta della tomba di Archimede da parte di Cicerone è stato il maggior contributo, forse l'unico, dato alla matematica dal mondo romano.[90]

Piero della Francesca,[91] Stevino, Galileo, Keplero, e altri fino Newton, studiarono, ripresero ed estesero in maniera sistematica gli studi scientifici di Archimede, in particolare riguardo al calcolo infinitesimale.
L'introduzione del moderno metodo scientifico di studio e verifica dei risultati ottenuti fu ispirato da Galileo al metodo con cui Archimede portava avanti e dimostrava le sue intuizioni. Inoltre lo scienziato pisano trovò il modo di applicare i metodi geometrici simili a quelli di Archimede per descrivere il moto accelerato di caduta dei corpi, riuscendo finalmente a superare la descrizione della fisica dei soli corpi statici sviluppata dalla scienziato siracusano.[92] Lo studio delle opere di Archimede, impegnò perciò a lungo gli studiosi della prima età moderna e costituì un importante stimolo allo sviluppo della scienza come è intesa oggi. L'influenza di Archimede negli ultimi secoli (ad esempio quella sullo sviluppo di un'analisi matematica rigorosa) è oggetto di valutazioni discordi da parte degli studiosi.

In onore di Archimede[modifica | modifica wikitesto]

Nel celebre affresco di Raffaello Sanzio, La scuola di Atene, Archimede viene disegnato intento a studiare la geometria. Le sue sembianze sono di Donato Bramante.

Il 14 marzo si festeggia in tutto il mondo il pi greco day, in quanto nei paesi anglosassoni corrisponde al 3/14. In quel giorno vengono organizzati concorsi di matematica e ricordati anche i contributi di Archimede, che di pi greco dette la prima stima accurata. In onore di Archimede sono stati nominati sia il cratere lunare Archimede che l'asteroide 3600 Archimede.[93] È stato realizzato il Progetto Archimede, una centrale solare presso Priolo Gargallo che utilizza una serie di specchi per produrre energia elettrica.

Nella Medaglia Fields, massima onorificenza per matematici, vi è nel verso della medaglia il ritratto di Archimede con iscritta una frase a lui attribuita: Transire suum pectus mundoque potiri.[94]

L'effigie di Archimede compare anche su francobolli emessi dalla Germania dell'Est (1973), dalla Grecia (1983), dall'Italia (1983), dal Nicaragua (1971), da San Marino (1982), e dalla Spagna (1963).[95]

A Siracusa sono stati aperti l'Arkimedeion, un museo dedicato allo scienziato e il Tecnocparco Archimede con la riproduzione delle invenzioni.

Il poeta tedesco Schiller ha scritto la poesia Archimede e il giovinetto.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Periochae, 24.3 e 25.10-11.
  2. ^ Cfr. l'incipit delle opere Quadratura della parabola e Sulle spirali
  3. ^ a b Plutarco, 14, 7.
  4. ^ Chiliades, II, Hist. 35, 105
  5. ^ Astr. Nachr. 104 (1883), n. 2488, p. 255
  6. ^ Geymonat, p. 16
  7. ^ a b Historiae, VIII, 5 e segg.
  8. ^ a b Ab Urbe condita libri, XXIV, 34
  9. ^ a b Plutarco, 15-18.
  10. ^ Geymonat, pp. 22-23.
  11. ^ Geymonat, p. 23.
  12. ^ De architectura, IX, 3
  13. ^ Geymonat, pp.41-42.
  14. ^ Nell'opera anonima Carmen de ponderibus et mensuris, scritto intorno al 400 d.C.
  15. ^ Geymonat, pp. 41.
  16. ^ Collectio, VIII, 1060, 10: Τοῦτο γὰρ Ἀρχιμήδους μὲν εὕρημα λέγεται μηχανικόν, ἐφ'ᾧ λέγεται εἰρηκῆναι δός μοι ποῦ στῶ καὶ κινῶ τὴν γῆν
  17. ^ In Aristotelis Physicorum Libros Commentaria, ed. H. Diels, Berlin 1895, p. 1110: "ὁ Ἀρχιμήδης… ἐκόμπασεν ἐκεῖνο τὸ "πᾷ βῶ καὶ κινῶ τὰν γᾶν".
  18. ^ Il primo autore che riporta una frase pronunciata da Archimede prima di morire è Valerio Massimo (Factorum et dictorum memorabilium libri IX, VIII, 7, 7)
  19. ^ Plutarco, 19.
  20. ^ Ab Urbe condita libri, XXV, 31
  21. ^ Plutarco, 19.
  22. ^ Tusculanae disputationes, V, 64-66: Non ego iam cum huius vita, qua taetrius miserius detestabilius excogitare nihil possum, Platonis aut Archytae vitam comparabo, doctorum hominum et plane sapientium: ex eadem urbe humilem homunculum a pulvere et radio excitabo, qui multis annis post fuit, Archimedem. cuius ego quaestor ignoratum ab Syracusanis, cum esse omnino negarent, saeptum undique et vestitum vepribus et dumetis indagavi sepulcrum. tenebam enim quosdam senariolos, quos in eius monumento esse inscriptos acceperam, qui declarabant in summo sepulcro sphaeram esse positam cum cylindro. ego autem cum omnia conlustrarem oculis - est enim ad portas Agragantinas magna frequentia sepulcrorum -, animum adverti columellam non multum e dumis eminentem, in qua inerat sphaerae figura et cylindri. atque ego statim Syracusanis- erant autem principes mecum-dixi me illud ipsum arbitrari esse, quod quaererem. inmissi cum falcibus multi purgarunt et aperuerunt locum. quo cum patefactus esset aditus, ad adversam basim accessimus. Apparebat epigramma exesis posterioribus partibus versiculorum dimidiatum fere. ita nobilissima Graeciae civitas, quondam vero etiam doctissima, sui civis unius acutissimi monumentum ignorasset, nisi ab homine Arpinate didicisset.
  23. ^ Geymonat, p. 70.
  24. ^ Galeno, III, 2: Οὕτω δέ πως οῑμαι καὶ τὸν Ἀρχιμήδην φασὶ διὰ τῶν πυρείων ἐμπρῆσαι τὰς τῶν πολεμίων τριήρεις.
  25. ^ John Wesley, A Compendium of Natural Philosophy (1810) Chapter XII, Burning Glasses, Online text at Wesley Center for Applied Theology. URL consultato il 14 settembre 2007 (archiviato dall'url originale il 12 ottobre 2007).
  26. ^ Archimedes' Weapon, Time Magazine, 26 novembre 1973. URL consultato il 12 agosto 2007.
  27. ^ Lionel Casson, Ships and seamanship in the ancient world, Baltimore, The Johns Hopkins University Press, 1995, pp. 211–212, ISBN 978-0-8018-5130-8.
  28. ^ Russo, p. 144.
  29. ^ Ateneo, V, 206d-209b.
  30. ^ Geymonat, pp.62-63
  31. ^ D. R. Hill, On the Construction of Water Clocks: Kitab Arshimidas fi`amal al-binkamat, Londra, Turner & Devereux, 1976.
  32. ^ Russo, pp. 129-130.
  33. ^ Russo, p. 131.
  34. ^ Ateneo, V, 207c.
  35. ^ In primum Euclidis Elementorum Librum commentarii, ed.G.Friedlin, Leipzig 1873, p.63
  36. ^ Ateneo, V, 208f.
  37. ^ Diodoro, I, 34.
  38. ^ Andre W. Sleeswyk, Vitruvius' Waywiser, vol. 29, Archives internationales d'histoire des sciences, 1989, pp. 11-22.
  39. ^ Cicerone, De re publica, I, 14.
  40. ^ Cicerone, Tusculanae disputationes, I, 25.
  41. ^ Cicerone, De natura deorum, II, 34.
  42. ^ Collectio, VIII, 1026.
  43. ^ Giovanni Pastore, A Olbia il genio di Archimede in L'Unione Sarda, 20 marzo 2009, p. 45.
  44. ^ Domenico Scinà, Discorso intorno Archimede
  45. ^ L'esposizione, oltre che sulle opere originali, è basata sull'opera citata di Dijksterhuis, che descrive in dettaglio il contenuto degli scritti di Archimede
  46. ^ 1 Re 7,23.
  47. ^ Geymonat, p. 26.
  48. ^ Un'esposizione della dimostrazione di Archimede è in Dijksterhuis, op. cit., pp.180-18. Per una dimostrazione moderna della prima disuguaglianza vedi la voce Dimostrazione che 22/7 è maggiore di π
  49. ^ Geymonat, pp. 26-28.
  50. ^ a b c Geymonat, p. 29.
  51. ^ (EN) O'Connor, J.J. and Robertson, E.F., A history of calculus, University of St Andrews, febbraio 1996. URL consultato il 7 agosto 2007.
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  53. ^ Montanari, Le opere di Archimede, Università di Firenze. URL consultato il 19 settembre 2013.
  54. ^ i grandi della scienza: ARCHIMEDE 9771126545003
  55. ^ Geymonat, pp. 32-33.
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  57. ^ Geymonat, pp. 38-39.
  58. ^ Sfera e cilindro.
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  60. ^ Dijksterhuis.
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  67. ^ a b Geymonat, pp.73-75.
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  75. ^ Calogero Savarino, Una nuova interpretazione del problema dei buoi di Archimede conduce ad una soluzione finalmente "ragionevole, 2010. URL consultato il 18 settembre 2013.
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Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Fonti antiche
Edizioni moderne delle opere
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  • (EN) Knorr W. R., Textual Studies in Ancient and Medieval Geometry, Boston, Birkhäuser, 1989, ISBN 978-0-8176-3387-5.
  • Napolitani Pier Daniele, Archimede: alle radici della scienza moderna - collana "I grandi della scienza" in Le Scienze, IV, n. 22, ottobre 2001.
  • Pastore Giovanni, Il planetario di Archimede ritrovato, 2010, Roma, ISBN 978-88-904715-2-0.
  • Vacca Giovanni, Archimede - Enciclopedia Biografica Universale, Roma, Istituto dell'Enciclopedia italiana, 2006, pp. 664–679. ISBN non esistente
  • Carl Benjamin Boyer, Storia della matematica, Mondadori, 1990, ISBN 978-88-04-33431-6.
  • Lucio Russo, La rivoluzione dimenticata: il pensiero scientifico greco e la scienza moderna, Feltrinelli, 2001, ISBN 978-88-07-81644-4.
  • (EN) Paul Hoffman, Archimedes' Revenge: The Joys and Perils of Mathematics, Fawcett Colombine, 1997, ISBN 978-0-449-00089-2.
  • Σ.Α. Παϊπέτης - M. Ceccarelli (eds.), «The Genius of Archimedes». 23 Centuries of Influence on the Fields of Mathematics, Science, and Engineering. Proceedings of the International Symposium (Syracuse, 8-10/6/2010), Dordrecht, 2010.
  • Migliorato Renato, Archimede. Alle radici della modernità tra storia scienza e mito, Dipartimento di matematica Università di Messina, 2013, ebook scaricabile da [1]

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