Energia potenziale elettrica

In fisica, l'energia potenziale elettrica, anche detta energia potenziale elettrostatica, è l'energia associata al campo elettrostatico. Si tratta dell'energia posseduta da una distribuzione di carica elettrica, ed è legata alla forza esercitata dal campo generato dalla distribuzione stessa. Insieme all'energia magnetica, l'energia potenziale elettrica costituisce l'energia del campo elettromagnetico.

L'energia potenziale elettrostatica può essere definita come il lavoro svolto per creare una distribuzione di carica partendo da una configurazione iniziale in cui ogni componente della distribuzione non interagisce con gli altri. Ad esempio, per un sistema discreto di cariche essa coincide con il lavoro svolto per portare le singole cariche da una posizione in cui esse hanno potenziale elettrico nullo alla loro disposizione finale.
L'energia potenziale elettrostatica può anche essere definita a partire dal campo elettrostatico generato dalla distribuzione stessa, ed in tale caso la sua espressione è indipendente dalla sorgente del campo.

L'energia potenziale elettrica può essere sia negativa che positiva, a seconda che il lavoro svolto per portarle nella configurazione assunta sia positivo o negativo. Due cariche interagenti dello stesso segno hanno energia positiva, poiché il lavoro svolto per avvicinarle deve vincere la loro repulsione, mentre per lo stesso motivo due cariche di segno opposto hanno energia negativa.

Energia elettrostatica di una distribuzione di carica

L'energia elettrostatica è definita come il lavoro necessario per portare un sistema di cariche elettriche, o più in generale una distribuzione di carica, in una data configurazione spaziale.
Data una distribuzione continua di cariche descritta da una densità di carica ρ, l'energia elettrostatica è:

$U_e = \frac {1}{2} \int_{v} dq V = \frac {1}{2} \int_{v} \rho V \cdot dv$

dove v è il volume entro cui è racchiusa la carica elettrica.

Derivazione

Si consideri dunque un sistema di cariche puntiformi. Per disporre nello spazio la prima carica elettrica q₁ non si compie lavoro, e quindi W₁ = 0.
Per portare la seconda carica, tenendo conto della prima, il lavoro è:

$W_2 = \frac{q_1 q_2}{4\pi\epsilon_0 r_{12}}$

per la terza si ha, analogamente:

$W_3 = \frac{q_1 q_3}{4\pi\epsilon_0 r_{13}} + \frac{q_2 q_3}{4\pi\epsilon_0 r_{23}}$

Per un sistema di cariche puntiformi si ha in definitiva:

$W_n = \frac {1}{2} \sum_{i,j = 1}^{n} \frac{q_i q_j}{4\pi\epsilon_0 r_{ij}}$

dove il termine 1/2 è introdotto in quanto il lavoro per r_ij, che è lo stesso per r_ji, è contato due volte nella sommatoria. Dividendo le due sommatorie si riconosce il potenziale elettrico:

$W_n = \frac {1}{2} \sum_{i = 1}^{n} q_i \cdot \sum_{j = 1}^{n} \frac {q_j}{4\pi\epsilon_0 r_{ij}} = \frac {1}{2} \sum_{i = 1}^{n} q_i \cdot V_i$

e l'energia potenziale elettrostatica è data da:

$U_e = \frac {1}{2} \sum_{i = 1}^{n} q_i \cdot V_i$

L'estensione al caso continuo è immediata.

Energia associata al campo elettrostatico

L'energia di sistemi elettricamente interagenti, così come le altre proprietà meccaniche, può essere descritta in modo analogo in termini del campo elettrico. Tale approccio, equivalente al precedente, permette di descrivere l'energia del sistema attraverso il campo che esso genera, indipendentemente dalle sue sorgenti.
Si consideri un volume τ, l'energia del campo elettrostatico contenuta in tale regione è:

$U_e=\int_\tau \frac{1}{2} \epsilon_0 E_0^2 \operatorname{d}\tau = \int_\tau u_e \operatorname{d}\tau$

dove

$u_e=\frac{1}{2} \epsilon_0 E_0^2$

è la densità di energia elettrica nel vuoto.
Nel caso ci si trovi in presenza di un dielettrico, tramite gli stessi passaggi si ottiene:

$U_e=\int_\tau \frac{1}{2} \mathbf E \cdot \mathbf D \operatorname{d}\tau = \int_\tau u_e \operatorname{d}\tau$

dove D è il vettore di spostamento elettrico, e:

$u_e=\frac{1}{2} \mathbf E \cdot \mathbf D$

è la densità di energia elettrica nella materia.

Derivazione

Nel caso di distribuzioni continue di carica si ha:

$U_e= \int_\tau \frac{1}{2} \rho V \operatorname{d}\tau$

con $\rho(x,y,z)\,\!$ densità di carica e $\operatorname{d}\tau=\operatorname{d}x\operatorname{d}y\operatorname{d}z$ volume infinitesimo. Sfruttando la prima equazione di Maxwell:

$U_e= \int_\tau \frac{1}{2} \rho V \operatorname{d}\tau=\int_\tau \frac{1}{2} \epsilon_0 \left( \nabla \mathbf{E}_0 V \right) \operatorname{d}\tau$

applicando poi l'identità vettoriale che coinvolge la divergenza di uno scalare per un vettore:

$= \int_\tau \frac{1}{2} \epsilon_0 \left( \nabla \cdot(V \mathbf{E}_0) - \nabla V \cdot \mathbf{E_0} \right) \operatorname{d}\tau$

Dalla definizione di potenziale tale espressione è pari a:

$=\int_\tau \frac{1}{2} \epsilon_0 \left( \nabla \cdot(V \mathbf{E}_0) + E_0^2 \right) \operatorname{d}\tau$

ed applicando il teorema della divergenza:

$=\int_{\partial \tau} \frac{1}{2} \epsilon_0 \left( V \mathbf{E}_0 \right) \cdot \hat n \operatorname{d}S+\int_\tau \frac{1}{2} \epsilon_0 E_0^2 \operatorname{d}\tau$

A questo punto, si può estendere il dominio di integrazione su tutta la regione dello spazio nel quale il campo elettrico sia apprezzabilmente diverso da zero, e quindi trascurare il primo dei due integrali. Dal punto di vista fisico, l'integrale di flusso che si è trascurato rappresenta il termine energetico aggiuntivo che si deve considerare nel caso la superficie di integrazione non sia sufficientemente estesa da contenere tutto lo spazio in cui il campo non è nullo.

Centrali elettriche

Il processo di avviene all'interno di centrali elettriche. In queste, escludendo il fotovoltaico, qualunque altra sia la fonte da cui si intende generare energia, tre sono le macchine indispensabili allo scopo che si vuole ottenere:

1. turbina
2. alternatore
3. trasformatore

Altro elemento del quale non si poteva fare a meno per produrre energia elettrica è l'acqua, in forma liquida (come nelle centrali idroelettriche) o di vapore (nelle centrali termoelettriche, geotermoelettriche, a fissione nucleare ed a solare termodinamico), ma sempre ad alta pressione, allo scopo di far girare le turbine ad un numero di giri tale da produrre in maniera il più possibile costante la corrente alternata per mezzo dell'alternatore.

L'utilizzo di acqua che, in quasi tutti i casi, deve essere riscaldata fino a divenire vapore presenta due ordini di problemi:

• reperibilità dell'acqua.
• inquinamento termico dell'acqua che, se non viene recuperata in impianti di teleriscaldamento, viene dispersa in atmosfera sotto forma di vapore acqueo oppure reimmessa nei recipienti (laghi, fiumi, mare), da cui è di solito prelevata, a temperature superiori.

Bibliografia

• Corrado Mencuccini; Vittorio Silvestrini, Fisica II, Napoli, Liguori Editore, 2010. ISBN 978-88-207-1633-2
• Gerosa; Lampariello, Lezioni di campi elettromagnetici Roma , Edizioni Ingegneria 2000.

Voci correlate

• Energia magnetica
• Energia del campo elettromagnetico
• Campo elettrico
• Carica elettrica
• Energia potenziale

Altri progetti

• Articolo su Wikinotizie: MIT e Intel creano energia elettrica senza fili 23 agosto 2008

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