Idrostatica

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MECCANICA CLASSICA
Meccanica del continuo

L'idrostatica (anche detta fluidostatica o statica dei fluidi) è una branca della meccanica dei fluidi che studia i fluidi in stato di quiete, cioè ogni corpo continuo per cui sia valida la legge di Pascal con velocità media costante nel tempo e vettorialmente omogenea nello spazio.

Conservazione della densità[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi legge della conservazione della massa (fisica).

La conservazione della quantità di moto globale in un volume finito in cui il campo di velocità sia conservativo porta alla conclusione che in ogni punto l'integrale di volume della variazione temporale della densità sia nullo sia in un riferimento euleriano che in un riferimento lagrangiano:

\int_V \frac{\operatorname d\rho}{\operatorname dt} \operatorname dr^3 = \int_{V} \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0

Cioè nei punti di continuità spaziale della densità, essa risulta anche costante nel tempo in entrambi i tipi di riferimento:

\frac{\operatorname d\rho}{\operatorname dt} = \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0

Legge di Pascal[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Legge di Pascal.

La legge di Pascal è l'equazione costitutiva dei fluidi statici, la più semplice in assoluto se si esclude il caso banale di corpo rigido, per i quali lo sforzo è isotropo e perciò rappresentabile come uno scalare definito pressione sempre positivo[1]:

\bar \bar \sigma = p \bar \bar 1

Equazione fondamentale[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi conservazione della quantità di moto.

Forma globale[modifica | modifica sorgente]

L'equazione fondamentale dell'idrostatica esprime la conservazione della quantità di moto globale in un volume finito in cui sia valida la legge di Pascal, quindi ammette la discontinuità integrabile degli integrandi densità, accelerazione esterna e gradiente di pressione:

\int_{V(t)} \rho \bar g \, \operatorname dr^3 + \int_{V(t)} \nabla p \operatorname d r^3 = 0

ovvero, applicando il teorema della divergenza:

\int_{V(t)} \rho \bar g \, \operatorname dr^3 + \oint_{\partial V(t)} p \operatorname d \bar r^2

Tale espressione è comunemente espressa nella forma[2]:

\bar F_V + \bar F_p = 0

dove:

  • \bar F_V rappresenta la forza risultante di volume.
  • \bar F_p la forza risultante di pressione che agisce sulla frontiera del volume.

Viene definita equazione globale, e stabilisce che la risultante delle forze di volume di un fluido statico è uguale ed opposta alla spinta che agisce sulla superficie che lo delimita, logicamente dall'esterno verso l'interno. Da essa deriva la legge di Archimede.

Forma locale[modifica | modifica sorgente]

La forma locale dell'equazione fondamentale dell'idrostatica è valida nei punti di continuità degli integrandi densità, accelerazione esterna e gradiente di pressione, e può essere ricavata dalla legge di Pascal e dalla conservazione della quantità di moto locale[2]:

\bar g + \frac {\nabla p}{\rho} = 0

che permette di calcolare la pressione:

\Delta p = \int_{z_0}^{z_0 + \Delta z} \rho \bar g \cdot \operatorname d \bar r = \int_{z_0}^{z_0 + \Delta z} \rho g \operatorname d z

Se densità e accelerazione di gravità sono omogenei nel dominio, l'equazione locale dell'idrostatica si traduce nella legge di Stevin:

\Delta p = \rho \, g \, \Delta z

Esempi[modifica | modifica sorgente]

Fluido incomprimibile a riposo in un campo gravitazionale uniforme[modifica | modifica sorgente]

Notazione: nell'esempio che segue, si orienterà l'asse spaziale secondo quello dell'accelerazione esterna gravitazionale (in senso verticale verso il basso: z cresce man mano che si scende).

Essendo il fluido incomprimibile, esso trasmette integralmente gli sforzi. La pressione, ad una profondità z, risulta quindi dalla pressione p0 che esercita l'aria in superficie, e dal peso p della colonna d'acqua al di sopra della membrana.

Supponiamo che la membrana sia orizzontale ed orientata verso l'alto, e che la sua area sia S. La colonna d'acqua situata al di sopra ha volume S·z, quindi massa ρ·S·z se ρ è la densità dell'acqua. Il peso dell'acqua è quindi:

p = \rho \cdot g \cdot (S \cdot z)

dove g è l'accelerazione di gravità, e la membrana è dunque sottoposta ad una forza F

F = p_0 \cdot S +  \rho \cdot g \cdot (S \cdot z)
p = \frac{F}{S} = p_0 +  \rho \cdot g \cdot z

È questa variazione della pressione in funzione della profondità (Legge di Stevino) che crea la spinta di Archimede.

Quando si considerano grandi variazioni di altitudine, non si può più considerare il campo di gravità come costante, g dipende dunque da z. E siccome il fluido è un gas, non lo si può più considerare come incomprimibile, perciò ρ dipende da z; ma il fenomeno è sensibile solo per variazioni di pressione significative, ed essendo piccolo ρ nel caso di un gas, in questo caso interviene solo variazioni di z abbastanza grandi.

Localmente, per piccole variazioni dz di z, si può ancora scrivere:

p(z+dz) = p(z) +  \rho(z) \cdot g(z) \cdot dz

È necessario quindi integrare tale equazione:

p(Z) = p(z_0) +  \int_0^{z_0} \rho(z) \cdot g(z) \cdot dz

se si conosce la legge del gas, per esempio se si tratta di un gas perfetto, allora per una data massa m di gas, si può ricavare il volume V alla pressione p, e quindi la massa volumica ρ alla pressione p:

\rho = \rho_0 \cdot \frac{p}{p_0}

se ρ0 e p0 sono valori ad un'altitudine z0 di riferimento.

Nel caso dell'atmosfera, bisogna inoltre tenere conto della variazione di temperatura e di composizione con la quota.

Spinta su una superficie piana[modifica | modifica sorgente]

Consideriamo una superficie S che giace su un piano inclinato di un angolo α sull'orizzontale; su questa superficie agisce la pressione di un liquido con un peso specifico γ, a questo compete un piano dei carichi idrostatici. Le spinte esercitate dal liquido su ogni infinitesimo elemento della superficie piana valgono:

 dF = p \cdot n \cdot dA = \gamma \cdot h \cdot n \cdot dA

Essendo tutte queste forze infinitesime parallele tra loro ammettono la possibilità di essere integrate ed avranno una spinta totale S che sarà direttamente normale alla superficie, che vale:

F=\int_{A}^{} p\, dA=\int_{A}^{} \gamma h\, dA

La retta che interseca il piano dei carichi idrostatici col piano col piano della superficie viene detta retta di sponda.

\int_{A}^{} \gamma h\, dA =\int_{A}^{} \gamma x sen \alpha \, dA=\gamma x_0 A sen \alpha = \gamma h_0 A


F=\gamma h_0 A=p_0 A

In altre parole la spinta su una generica superficie piana è una forza normale diretta alla superficie stessa con un modulo pari al prodotto della pressione p_0 nel suo baricentro per l'area della superficie.

È possibile ricavare:

F=\gamma h_0 A = \gamma x_0 A sen \alpha = \gamma M sen \alpha

Dove M è il momento meccanico di A rispetto alla linea di sponda.

Per poter calcolare il punto d'applicazione della spinta, cioè il centro di spinta, dobbiamo considerare due assi cartesiani, quello x coincide con una retta di massima pendenza del piano dove giace la superficie, e quello y coincidente con la retta di sponda. Le coordinate x' ed y' del centro di spinta rispetto al sistema di riferimento considerato sopra, si possono ricavare uguagliando i momenti delle risultanti attraverso gli integrali dei momenti delle spinte elementari. Poiché le forze sono parallele, l'equilibrio sarà dato da:

F \cdot x' = \int_{A}^{} p x\, dA=  \int_{A}^{} \gamma h x\, dA= \gamma sen \alpha \int_{A}^{} x^2\, dA

F \cdot y' = \int_{A}^{} p y\, dA=  \int_{A}^{} \gamma h y\, dA= \gamma sen \alpha \int_{A}^{} y^2\, dA

Se consideriamo i due momenti di inerzia:

  • I : momento d'inerzia della superficie A rispetto alla linea di sponda
  • Ixy : momento centrifugo della superficie A rispetto agli assi x ed y

Possiamo scrivere:

x' = {I \over M}

y' = {I_{xy} \over M}

Queste ultime formule ci mostrano:

  • y' si annulla nel caso in cui l'asse x fosse di simmetria rispetto alla superficie A; in altre parole nel caso la superficie ammettesse una asse di simmetria coincidente con una linea di massima pendenza, allora il centro di spinta sarebbe qui;
  • Le coordinate del centro di spinta sono indipendenti dall'inclinazione della superficie α, difatti rimane inalterata se la superficie ruota attorno alla linea di sponda;
  • Il baricentro è sempre più vicino dalla linea di sponda, rispetto al centro di spinta; per dimostrare questo, se consideriamo I0 il momento d'inerzia della superficie rispetto al baricentro, parallelo alla retta di sponda, avremo:

I = I_0 + A x_1^2

x_0 = {I_0 \over M} + x_1 > x_1

Applicazioni[modifica | modifica sorgente]

Spinta su una superficie inclinata

Se consideriamo una superficie rettangolare con due lati orizzontali di lunghezza L, indicando con x una coordinata sulla linea di massima pendenza della superficie, il modulo della spinta lo possiamo scrivere come:

F = L \int_{z_1}^{z_2} p \, dz

Dove integrando rappresentiamo l'area del diagramma delle pressione lungo una delle linee di massima pendenza. Integrando:

F = {\gamma L \over 2 sen \alpha} (z_2^2-z_1^2)

dove:

  • α indica l'angolo tra il piano della superficie con l'orizzontale
  • hzsub>1 ed z2 sono gli affondamenti dei lati orizzontali che sono sotto il piano dei carichi idrostatici.

Nel caso che il lato superiore del rettangolo è sul piano dei carichi idrostatici, cioè nel caso in cui h1 sia uguale a 0:

 F = {\gamma L h_2^2 \over 2 \sin{\alpha} } = {1 \over 2} \gamma  L b^2 \sin{\alpha}

Per calcolare quindi il punto di applicazione della spinta:

x_0 = {b \over 6}

x_1 + x_0 = {2 \over 3} b

Spinta su superfici curve[modifica | modifica sorgente]

SAdifferenza delle superfici piane, qua le spinte sui punti infinitesimi non sempre parallele tra di loro. La loro somma non è in generale riconducibile ad un'unica forza, ma a due forze una verticale ed una orizzontale. Si prende una terna cartesiana con due assi su un piano orizzontale, x ed y, ed un terzo verticale z; la spinta in ogni punto infinitesimo sarà:

dF = p\mathbf{n} dS

Fcomponendolo nelle tre direzioni avremo:

dF_x=p \cos{\hat{nx}} dS

dF_y=p \cos{\hat{ny}} dS

dF_z=p \cos{\hat{ny}} dS

Dove \cos{\hat{nx}}, \cos{\hat{ny}} e \cos{\hat{ny}} sono le proiezioni di dSx, dSy e dSz dell'infinitesima area dS sui tre piani che hanno per normale gli assi x, y e z. Possiamo anche scriverli come:

dF_x=p dS_x

dF_y=p dS_y

dF_z=p  dS_z

Fe sommiamo tutte le componenti elementari dell'intera superficie:

F_x = \int_{S_x}^{} p \, dS_x = \gamma h_x S_x

F_y = \int_{S_y}^{} p \, dS_y = \gamma h_y S_y

F_z = \int_{S_z}^{} p \, dS_z = \gamma W

Che ci dice:

  • Le componenti Fx ed Fy sono uguali a quelle agenti sulle superfici piane verticali, Sx e Sy; che sono le proiezioni della superficie curva sui piani xz ed yz aventi per normali gli assi x ed y;
  • Fz è il peso del volume W del fluido, limitata dai piani dei carichi idrostatici e dalla superficie curva.

La forza verticale sarà data dal modulo:

F_v = F_z

Possiamo comporre le due forse Fx ed Fy grazie al teorema di Pitagora, per trovare la forza orizzontale.

F_0 = \sqrt{F_x^2+F_y^2}

La spinta totale può essere ricondotta al semplice calcolo di due spinte su superfici piane e determinando il peso di un volume del fluido. Nel caso in cui la superficie curva avesse una linea di contorno contenuta in un piano, la spinta esercitata su di essa sarà individuata applicando l'equazione globale dell'equilibrio statico al volume in esame.

Scambio termico[modifica | modifica sorgente]

Il primo principio della termodinamica declinato nell'idrostatica si traduce in una conduzione-convezione statica senza sorgente termica:

S = \int_V \bar \bar \sigma : \bar \bar 0 - \rho \langle \bar v \rangle \cdot \bar 0 \operatorname dr^3 = 0

quindi:

\frac {\partial U(T)}{\partial t} + I(T) = 0

ovvero, esplicitando i due termini:

 \frac {\partial}{\partial t}\int_V \rho \varsigma_v T \operatorname dr^3 + \oint_{\partial V} \rho \varsigma_v \left( \langle \bar v \rangle T - \bar \bar d_T \cdot \nabla T \right) \cdot {\operatorname d \bar r^2}

e applicando il teorema della divergenza:

 \frac {\partial}{\partial t}\int_V \rho \varsigma_v T \operatorname dr^3 + \int_{V} \nabla \left(\rho \varsigma_v \right) \cdot \left( \langle \bar v \rangle T - \bar \bar d_T \cdot \nabla T \right) + \rho \varsigma_v \nabla \cdot \left( \langle \bar v \rangle T - \bar \bar d_T \cdot \nabla T \right)\operatorname d r^3

ovvero applicando la regola di Leibniz:

\int_V \frac {\partial (\rho \varsigma_v)}{\partial t} T + \rho \varsigma_v \frac {\partial T}{\partial t} + \nabla \left(\rho \varsigma_v \right) \cdot \langle \bar v \rangle T - \nabla \left(\rho \varsigma_v \right) \cdot \bar \bar d_T \cdot \nabla T + \rho \varsigma_v \nabla \cdot (\langle \bar v \rangle T) - \rho \varsigma_v \nabla \cdot (\bar \bar d_T \cdot \nabla T) \operatorname d r^3

e infine, considerando la conservazione della massa:

\int_V \rho \varsigma_v \frac {\partial T}{\partial t} - \rho \varsigma_v \bar \bar d_T : \nabla^2 T + \left(\rho \varsigma_v \langle \bar v \rangle  - \nabla \cdot (\rho \varsigma_v \bar \bar d_T) \right) \cdot \nabla T + \rho \left(\frac {\partial (\varsigma_v)}{\partial t} + \langle \bar v \rangle \cdot \nabla(\varsigma_v) \right) T \operatorname d r^3 = 0

che nei punti di continuità di tutte le grandezze coinvolte nell'integrando diventa l'equazione di reazione-trasporto-diffusione omogenea:

\frac {\partial T}{\partial t} - \bar \bar d_T : \nabla^2 T + \bar c_T \cdot \nabla T + f_T T = 0

dove:

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ Walter Moretti, Introduzione alla Meccanica dei Continui, Università di Trento, cap. 4.1, pag. 40
  2. ^ a b Non coinvolgendo alcuna derivata temporale, l'equazione assume un'unica espressione e non una lagrangiana e una euleriana

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

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