Idrostatica

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L'idrostatica (anche detta fluidostatica) è una branca della meccanica dei fluidi che studia i liquidi e, per estensione, i fluidi in stato di quiete.

Indice

1 Pressione in un fluido
- 1.1 Fluido incomprimibile a riposo in un campo gravitazionale uniforme
2 Equazione indefinita dell'idrostatica
3 Equazione globale dell'idrostatica
4 Voci correlate
5 Bibliografia

[modifica] Pressione in un fluido

Sperimentalmente si constata che la pressione nell'acqua dipende solo dalla profondità e non dall'inclinazione del piano su cui agisce. In effetti, se si prende un piccolo contenitore rigido aperto da un lato, sul quale si tende una membrana elastica all'aria, alla pressione atmosferica, e lo si immerge in acqua, la deformazione della membrana permette di visualizzare la differenza di pressione tra l'aria e l'acqua, e che questa aumenta solo con la profondità.

[modifica] Fluido incomprimibile a riposo in un campo gravitazionale uniforme

Convenzione: nell'esempio che segue, si orienterà l'asse verticale verso il basso (z cresce man mano che si scende).

Essendo il fluido incomprimibile, esso trasmette integralmente gli sforzi. La pressione, ad una profondità z, risulta quindi dalla pressione P₀ che esercita l'aria in superficie, e dal peso p della colonna d'acqua al di sopra della membrana.

Supponiamo che la membrana sia orizzontale ed orientata verso l'alto, e che la sua area sia S. La colonna d'acqua situata al di sopra ha volume S·z, quindi massa ρ·S·z se ρ è la densità dell'acqua. Il peso dell'acqua è quindi:

$p = \rho \cdot g \cdot (S \cdot z)$

dove g è l'accelerazione di gravità, e la membrana è dunque sottoposta ad una forza F

$F = P_0 \cdot S + \rho \cdot g \cdot (S \cdot z)$

$P = \frac{F}{S} = P_0 + \rho \cdot g \cdot z$

È questa variazione della pressione in funzione della profondità che crea la spinta di Archimede.

Quando si considerano grandi variazioni di altitudine, non si può più considerare il campo di gravità come costante, g dipende dunque da z. E siccome il fluido è un gas, non lo si può più considerare come incomprimibile, perciò ρ dipende da z; ma il fenomeno è sensibile solo per variazioni di pressione significative, ed essendo piccolo ρ nel caso di un gas, in questo caso interviene solo variazioni di z abbastanza grandi.

Localmente, per piccole variazioni dz di z, si può ancora scrivere:

$P(z+dz) = P(z) + \rho(z) \cdot g(z) \cdot dz$

È necessario quindi integrare tale equazione:

$P(Z) = P(z_0) + \int_0^{z_0} \rho(z) \cdot g(z) \cdot dz$

se si conosce la legge del gas, per esempio se si tratta di un gas perfetto, allora per una data massa m di gas, si può ricavare il volume V alla pressione P, e quindi la massa volumica ρ alla pressione P:

$\rho = \rho_0 \cdot \frac{P}{P_0}$

se ρ₀ e P₀ sono valori ad un'altitudine z₀ di riferimento.

Nel caso dell'atmosfera, bisogna inoltre tenere conto della variazione di temperatura e di composizione con la quota.

[modifica] Equazione indefinita dell'idrostatica

L'equazione indefinita è un'equazione, valida per ogni punto del sistema, la quale mette in relazione fra le grandezze che caratterizzano l'equilibrio.

Si consideri un parallelepipedo elementare con vertice in un generico punto O della massa fluida in quiete (in cui la densità sia ρ e la pressione p) e siano detti dx, dy e dz gli spigoli paralleli rispettivamente a x, y e z, assi cartesiani con origine in O.

Su questo elemento infinitesimo agiscono due tipi di forze:

le forze di massa, cioè quelle forze che dipendono in qualche modo da questa grandezza, di cui sarà considerata la risultante:

$\rho \cdot F \cdot dxdydz$

Dove F rappresenta la forza di massa per unità di massa (nel caso sul volume agisca solo la forza di gravità tale fattore assumerà il valore dell'accelerazione di gravità).

le forze superficiali relative alla superficie di contorno del volume. Tali forze, poiché il fluido è in quiete, saranno ovunque dirette perpendicolarmente alla superficie. Consideriamo singolarmente le spinte che agiscono sulle superfici del parallelepipedo: queste saranno a due a due opposte, e la loro risultante (pari alla loro differenza) sarà:

$p dydz \mathbf{i} - \left( p + \frac{\delta p}{\delta x} dx \right) dydz \mathbf{i} = - \frac{\delta p}{\delta x} dxdydz \mathbf{i}$

$p dxdz \mathbf{j} - \left( p + \frac{\delta p}{\delta y} dy \right) dxdz \mathbf{j} = - \frac{\delta p}{\delta y} dxdydz \mathbf{j}$

$p dxdy \mathbf{k} - \left( p + \frac{\delta p}{\delta z} dz \right) dxdy \mathbf{k} = - \frac{\delta p}{\delta z} dxdydz \mathbf{k}$

dove i, j e k rappresentano i versori degli assi. La risultante delle forze di superficie sarà, dunque, la somma di queste spinte:

$- \left( \frac{\delta p}{\delta x} \mathbf{i} + \frac{\delta p}{\delta y} \mathbf{j}+ \frac{\delta p}{\delta z} \mathbf{k} \right) dxdydz = - grad (p) dxdydz$

Poiché la condizione di equilibrio necessita che la risultante delle forze agenti sul volume sia nulla, poniamo che la somma delle forze di massa e di quelle di superficie sia uguale a zero e, con qualche semplice passaggio, giungiamo all'equazione indefinita dell'idrostatica:

$\rho \cdot F = grad (p)$

[modifica] Equazione globale dell'idrostatica

L'equazione globale dell'idrostatica è l'estensione dell'equazione indefinita ad un volume finito di fluido. Essa deriva, praticamente, dall'integrazione dell'equazione indefinita:

$\int_{W}^{} \rho F dW = \int_{W}^{} grad (p) dW$

Il secondo termine di questa equazione è possibile riscriverlo in questo modo:

$\int_{W} grad (p) dW = \int_{W} \left( \frac{\delta p}{\delta x} \mathbf{i} + \frac{\delta p}{\delta y} \mathbf{j} + \frac{\delta p}{\delta z} \mathbf{k} \right) dW = -\int_{A} p \left( \mathbf{i} cos \hat{nx} + \mathbf{j} cos \hat{ny} + \mathbf{k} cos \hat{nz}\right) dA =$