Teorema di Varignon

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Il teorema di Varignon trova largo impiego nella statica, in particolare nella scienza delle costruzioni, e nella geometria delle masse per il calcolo analitico del baricentro sia di sistemi di masse continui che discreti, mediante coordinate cartesiane.

Il teorema, che prende il nome dal suo celebre autore, Pierre Varignon (Caen, 1654Parigi, 23 dicembre 1722), comparve per la prima volta nel libro Projet d'une nouvelle mécanique, avec un exposé de l'opinion de M. Borelli sur les propriétez des poids, pubblicato nel 1682.[1]

Enunciato e applicazione[modifica | modifica sorgente]

L'enunciato del teorema è il seguente:

"Un sistema di vettori le cui rette d'azione concorrano in uno stesso punto O è equivalente alla risultante del sistema applicata nel medesimo punto O. E, viceversa, un vettore applicato in un punto O può sempre essere scomposto in un sistema equivalente di n vettori applicati nello stesso punto"

L'enunciato può essere espresso anche come segue: " Il momento statico di un sistema di forze rispetto a un punto o un asse è equivalente al momento statico della risultante dello stesso sistema di forze rispetto allo stesso punto o asse".

Formalizzando e utilizzando l'applicazione alla pratica del teorema: Il momento risultante di più vettori \{\vec{v_1}, \vec{v_2}, ..., \vec{v_n}\} applicati nei punti \{P_1, P_2, ..., P_n\} con le rette d'azione concorrenti in un solito punto P, rispetto al polo Q risulta essere, avvalendosi della legge di trasporto dei vettori e della definizione di momento:

\ \vec{M_{R,Q}} = \sum_{i=1}^n \vec{QP} \wedge \vec{v_i}

Consideriamo ogni vettore scomponibile lungo direzioni principali, per semplicità operiamo nel piano ma può essere fatta la generalizzazione per lo spazio in maniera analoga

 \vec{v_i} = v_{ix} \cdot \vec{i} + v_{iy} \cdot \vec{j}

e ancora scomponiamo il vettore posizione \vec{QP} nelle sue componenti cartesiane

 \vec{QP} = QP_x \cdot \vec {i} + QP_y \cdot \vec{j}

quindi con una banale sostituzione

\ \vec{M_{R,Q}}=\sum_{i=1}^n (QP_x \cdot \vec{i} + QP_y \cdot \vec{j}) \wedge (v_{ix} \cdot \vec{i} + v_{iy} \cdot \vec{j})

Semplificando e sviluppando i prodotti vettoriali si ottiene

 \vec{M_{R,Q}} = (QP_x \cdot  v_y - QP_y \cdot v_x ) \vec{k}

dove  v_x = \sum_{i=1}^n v_{ix} e  v_y = \sum_{i=1}^n v_{iy}

A questo punto calcolare il momento risultante non comporta più l'operare con complessi prodotti vettoriali ma con semplici addizioni e prodotti.

Applicazione alla geometria delle masse[modifica | modifica sorgente]

Analogamente, nella geometria delle masse, le coordinate cartesiane del baricentro, con la formula inversa, possono essere calcolate in questa maniera (dove il momento statico è il prodotto tra le singole masse e la distanza dal rispettivo asse di riferimento):

x_G=\frac{S_y}{\Sigma m}

(momento statico rispetto all'asse y/x fratto somma delle masse)

y_G=\frac{S_x}{\Sigma m}

Nel caso di sistema di masse discreto (con corpi puntiformi) (dove il momento statico è il prodotto tra le singole aree e la distanza dal rispettivo asse di riferimento)


x_G=\frac{S_y}{\Sigma A}

(momento statico rispetto all'asse x/y fratto somma delle aree)

y_G=\frac{S_x}{\Sigma A}

Nel caso di sistemi di masse continui (formati da corpi estesi)

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ http://www.treccani.it/enciclopedia/varignon_(Enciclopedia_Italiana)/

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

Giulio Mattei, Lezioni di meccanica razionale, Servizio editoriale universitario, Pisa.

Tristano Manacorda, Appunti di meccanica razionale, Giordano Pellegrini, Pisa, 1968.

Giovambattista Amendola, Meccanica razionale Lezioni con esercizi ragionati per gli studenti della Facoltà di ingegneria, TEP, Pisa, 2011.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]